第十届素质杯解析

第十届素质杯全国数学邀请赛五年级初赛试卷
一、选择题（本大题共4个小题，每题5分， 共20分）
1、
10
91431321211⨯++⨯+⨯+⨯ = （） A.97 B. 98 C. 107 D. 10
9 【解析】1091431321211⨯++⨯+⨯+⨯ =10
91011101913121211=-=-++-+- 本题考查的是分数裂项，()a b b
a a
b a ab b ab a b >-=-=-11 【答案】D.
2、用一个平底锅煎饼，每次可以放3张饼，每面要煎2分钟，如果有4张饼，两面都要煎，那么至少需要_______分钟． （）
A.5
B. 6
C. 7
D. 8
【解析】我们假如按照一次煎饼煎3个，煎好3个以后再煎第四个，则需 要8分钟。

能不能更快一些呢？我们可以第一次煎好3个的第一面，需要两分钟；再煎另外一个的第一面以及两个的第二 面，又需要两分钟；最后还差两个面，再需要两分钟。

共需6分钟。

还能更快吗？我们知道第一次最多只能煎3个饼的第一面，需要两分钟，还有一个饼一面都没煎，又至少需要4分钟，则至少需要6分钟。

【答案】B.
3、筐子里有60个桔子，若果不一次拿出，也不一个一个拿，要求每次拿出的个数一样多，拿到最好正好不多不少，共有________种拿法． （）
A.10
B. 12
C. 14
D. 16 次数
煎饼 时间 1
① ① ① 2 2
② ② ① 2 3 ② ② ② 2
【解析】本题考查分解因数
61051241532023016060⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=
60和1都不可以，所有共有2、3、4、5、6、10、12、15、20、
30,共10种
可能。

【答案】A.
4、在a ⨯⨯⨯196325175的结尾恰好有5个连续的0，则a 最小是____
（）
A.10
B. 20
C. 40
D. 80
【解析】积有5个连续的0，因数中还出现了175、325、196；由于1052=⨯， 我们找结尾的0可以转换为找2、5；755175⨯⨯=；755325⨯⨯=； 7722196⨯⨯⨯=；发现因数中已经出现了4个5还有2个2，需要结尾5个连续的0，即需要5个1052=⨯，也就是5个2和5个5，还差1个5和3个2，即a 最小为 402225=⨯⨯⨯
【答案】C.
二、填空题（本大题共10个小题，每题6分， 共60分）
5、从1-6中选出5个数，填入下式，使得算式的结果尽量最大，则结果等于________.
○×（○-○）×（○-○）
【解析】算式是乘积的形式，要求积最大，则要求乘数比较大，乘数有的是两数之差，则可以选择6、5、4、2、1这5个数，而1、2肯定是被减数，所以三个乘数的和为6+5+4-2-1=12，当三个乘数均为12÷3=4时，积最大，即4×（6-2）×（5-1）=64
【答案】64
6、计算：
()()()()()4.11001004.199994.13324.124.11⨯++⨯+++⨯++⨯+++ =________.
【解析】通过观察，发现可以运用两次乘法分配律，进行巧算求得结果。

可以先运用乘法分配率律，得到1004.2994.234.224.24.2⨯+⨯++⨯+⨯+ ，再次运用乘法结合律，计算出()100214.2+++⨯ ，运用等差数列求和，得到
()10021+++ 的和5050，即计算1212050504.2=⨯
【答案】()()()()()4.11001004.199994.13324.124.11⨯++⨯+++⨯++⨯+++
=1004.2994.234.224.24.2⨯+⨯++⨯+⨯+
=()100214.2+++⨯
=12120
7、两个自然数之和是350，把其中一个数的最后一位去掉，就和另外一个数相同，那么这两个数的差是________.
【解析】本题可以运用位值原理。

由题目可知，两个自然数一个是两位数，一个是三位数，且他们的前两位数字相同，则可以假设这两个自然数分别是abc 和ab ，他们的和是350，即35010=++⨯ab c ab ，这里运用整体方法，将ab 看作一个整体。

即35011=+c ab ，ab c 11350-=，由于ab c <,所以c 可以看作11除350的余数，即9=c ，求得31=ab .两个自然数分别是319、31，他们两个的差为28831319=-
【答案】288
8、若果m 、n 表示两个数，那么规定()24++-=⊕n m m n m ，则()=⊕⊕643________.
【解析】本题为定义新运算，而且他们的运算也遵循运算顺序，从左到右运算，但是有小括号时先算括号里面。

()()82644464=++-⨯=⊕，
()()3211122834383643=+-=++-⨯=⊕=⊕⊕
【答案】3
9、已知六位数4433∆∆是89的倍数，则这个六位数是________，是89的_______倍.
【解析】本题考察整除特征和位值原理，4433∆∆可以看作△△100330044+，将△△看作两位数a ，即a 100330044+是89的倍数，32370889330044+⨯=，即321137088989100330044++⨯+=+a a a 是89的倍数，即3211+a 是89的倍数，
n a 893211=+，11
138113289++-=-=n n n a ，n a 、均为整数，7810==a n ，，六
位数为337844，379689337844⨯=
【答案】六位数为337844，是89的3796倍。

10、李刚读一本书，用一天读80页的速度，需要读5天读完，用一天90页的速度，需要4天读完，现在要是每天读的页数跟能读完这本书的天数相同，则每天应读_______页.
【解析】这道题审题之后感觉像是牛吃草问题，但是一想，读书怎么可能是牛吃草问题（没有均匀增加或减少的书）。

仔细读题，发现这道题可能出错了，一本书一天80页读5天读完，书就是400页。

但是一本书一天90页读4天读完，书就是360页。

一本书只能有一个确定的总页数，我们肯定是想错了。

再仔细回想我们学过的知识并联系实际。

假如一本书380页，我们一天读80页也是需要5天，就会发现这道题是一道最值问题（找范围），设总页数是a 页，一本书一天80页读5天读完，则400320≤<a ，一本书一天90页读4天读完，则360270≤<a ，所以我们可以确定360320≤<a 。

求的是每天读的页数跟能读完这本书的天数相同，即每天读b 页，读了b 天读完。

()21b a b b ≤<-，我们一般考虑360320≤<a 内的平方数，会找到324182=。

符合要求，即每天读18页，读了18天读完。

【答案】18
11、红光小学五年级2班数学期末考试的平均分是90分，总分是B A 95，这个班有________人. 【解析】由题意可知B A 95是90的倍数，本题考查的还是整除特征，由90是10的倍数，可以知道0=B ，进一步得到95A 是9的倍数，由9的整除特征得到1459+=++A A 是9的倍数，4=A ,总分是4950，这个班共有55人
【答案】55人
12、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别是
131=S ,222=S ,143=S ,则图中阴影部分面积是________. 131=S ,222=S ,143=S ,则图中阴影部分面积是________.
【解析】本题是求面积常用的方法之一-----间接法。

寻找所求的量和已知的量之间的关系。

本题考查的长方形和长方形内三角形的面积关系。

根据长方形和三角形的面积公式可得：三角形ADE的面积+三角形ABF的面积=这个长方形的面积，其中阴影部分的面积在三角形ADE和三角形ABF中重复加了2次，而三块面积分别为13、22、14的部分没有加进去，所以可得阴影部分的面积就等于这三块面积之和，由此即可解答．
【答案】S=13+22+14=49
13、甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，甲车比乙车每小时多行30千米，且距中点60千米处相遇，则两车开出后________小时相遇.
【解析】本题考查的是行程问题。

本题虽然是相遇类的问题，但是我们解题时确是通过追击思想去解题。

由于题目给的信息比较少，而且仅仅知道速度差，求时间，我们想到的就是
路程差=速度差×时间。

求出路程差是关键，恰好我们知道C是AB中点，AC=BC，CD=60，可以得到路程差（AD-BD）=AC+CD-(BD-CD)=2CD=120（千米），
时间=路程差÷速度差=120÷30=4（小时）
【答案】4小时
13、有50个人按照编号1-50排成1队，进行1、2、3报数，报“3”的退出队列，其余的人靠拢后继续进行1、2、3报数，报“3”的退出队列，以后继续上述活动，直至队列里剩下3人为止，这3个人的编号分别是________、________、________.
【解析】本题是一道策略题。

它的前两个空非常容易填写，理解题意后，再操作两次，就可以发现1、2肯定会被剩下。

关键是找第三个人的编号。

这里老师给两个方法，第一种：实际操作。

第一次我们1、2、3、1、2、3循环数数，去掉数到3的那个数，用红色标出。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
现在红色的数字已经被去掉了，第二次数数时直接跳过就好。

重复数1、2、3、1、2、3，数到3的数用蓝色标出。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
第三次重复，用黄色标出。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
第四次重复，用鲜绿色标出；
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、
39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
第五次重复，用粉红色标出；
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
第六次重复，用青绿色标出;
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
第七次重复，用灰色标出；
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
最后一次，用绿色标出。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50.
第二种：倒推法
1,2 肯定会留下，关键是找第三个数，用倒退法，这个数一定是最后三个数里的第三个。

再前一次是第四个（因为第三个会退出去），再前一次是第五个（同样因为第三个会退出去），再前一次是第七个（因为第三个和第六个会退出去）。

再前一次是第十个（7+3，三个被3整除的数），再前一次是第 14 个（10+4，四个被3整除的数），再前一次是第 20个（14+6，六个被3整除的数）。

再前一次是第 29 个（20+9，九个被3整除的数）。

再前一次是第 43 个（29+12，十二个被三整除的数）。

【答案】1、2、43
三、解答题（本大题共2个小题，每题10分，共20分）
15、如图所示，是一副三角板，将其拼在一起，可以重叠，问：
⑴从中可以拼出大于0°，且不超过180°的角一共有多少个（含三角板上原有的角）？
⑵请把你能拼出的角从小到大写出来；
⑶除三角板上原有的角外，请举出两个大小不同的角，并用加法或减法算式表明他们是怎样形成的.
【解析】本题主要考察角度的加减。

首先我们需要理解题意，我们现在有4个角度：30°、45°、60°、90°，我们可以自然得到两个角度之和以及两个角度之差，即：15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°。

我们可以看到这些度数恰好都是15°的倍数，而恰好缺了一个165°，我们可以尝试把这个角度拼出来。

60°角∠MPQ画一条过PQ的直线，
则∠MPN=120°，如下图构造出∠NPC=165°。