人教版八年级下册专题16.4 二次根式(压轴题综合测试卷)(人教版)(解析版)

专题16.4二次根式（满分100）
学校:姓名：班级：考号：
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. （2021秋•麦积区期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A.
B.
C. Va 2 - 1
D. Va 2 + 2
【思路点拨】 根据形如
VH （«>o ）
的式子叫做二次根式判断即可.
【解题过程】
解：A 、当。

+1V0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B 、当。

-ivo 时，不是二次根式，故此选项不符合题意；。

、当。

=0时' a 2 - \ = - KO, 7a 2 - 1不是二次根式,故此选项不符合题意；
D. -.^2>0, .,.672+2>O,
是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D.
2. （2021秋•龙泉驿区期末）下列计算正确的是（
）
A. V3 + V3 = V6
B. 2^2 - V2 = V2
C. 〃 + 鱼=2
D. V6 x V3 = V9
【思路点拨】
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可. 【解题过程】
解:A 、V3 + V3 = 2A /3,故A 不符合题意；
B 、2V2-V2 = V2,故B 符合题意； C> V4 -r V2 = V2,故
C 不符合题意；
D 、V6X V3 = 3A /2,故。

不符合题意；
故选：B.
3. （2021秋•徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A.
B. 7W
C. Vx 2 - 2% + 1
D. y/13ab
【思路点拨】
根据最简二次根式的定义判断即可. 【解题过程】
解：A. 铝,故A 不符合题意；
yj p-l
p —1
历=2回，故B 不符合题意；
C.V%2 - 2% 4- 1 =|x - 1|,故 C 不符合题意；
是最简二次根式，故。

符合题意；
故选：D.
4. （2021秋•鼓楼区校级期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（
）
A.y 和后
B. da2b 和前
C.
率万和VL +炉
D.后和巡
【思路点拨】
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同即可判断. 【解题过程】
解：A.正和后不能合并，故4不符合题意；
B.a7b =|c/|Vb, ，“a2b 与仍能合并,
故B 符合题意；
与后不能合并，故C 不符合题意；
D. VV25 =5,
・・・库与遥不能合并， 故。

不符合题意； 故选：B.
5. （2020•青羊区自主招生）ay/—a + 6ci —5/J —,的值为（
）
B.是负数
D.可为正也可为负
A.是正数 C.是非负数
【思路点拨】
先根据二次根式的意义确定。

的取值范围，再化简计算即可. 【解题过程】
（~a - o
解：由题意得：（Q。

，
（aVO
••”VO,
二・原式=
+竽 V^H+5Q J Q 2 .(一:),
=4f/V —+5a\[^R, =9〃V^<0,
故选：B.
6. （2。

2。

•武昌区校级自主招生）已知实数“满足等式第=用,则x 的取值范围是（
1
1
1
A. - 1 <x<
B. - l<x<
C. - l<x<|
乙
乙
乙
【思路点拨】
根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案. 【解题过程】 解:由题意可知：
（% + 1 >0
:.-1 <%<
故选:A.
7. （2020•汉阳区校级自主招生）化简：,6 - 3百+ J6 + 38的结果是（
）
A. 6
B. V6
C. 3V3
D. 3V2
【思路点拨】
【解题过程】
解：y/6 — 3^/3 + V6 + 3\^3
l(3-V3)2 1 I(3+V3)2
1 De X< y
利用完全平方公式将已知二次根式变形为
(3一后)2 I 2十
色士江即可求解. 乙
=-y- （ 3—^3 +3+V3） =3企，
故选：D.
8. （2020•鹿城区校级自主招生）设％ = 与^则代数式工g+1） （x+2）（卢3）的值为（
【思路点拨】
【解题过程】 缶7 • •
V5-3
解：• x= ―2"—， ・・/+1=与1, x+2今
...原式=^X 等x 婴x 婴
,G 巧-3）（追+3）〜G 丐一 1）（通+1）
x =-1x1
故选：C.
-J x —2,^3^
J x+2y[^
9. （2020•镜湖区自主招生）当x=4时:,
— —
=的值为（
V X 2
-4V3X +12
V X 2
+4V3X +12
A. 1
B. 73
C. 2
D. 3
【思路点拨】
yj X-2, yf3 J % + 2
利用完全平方公式先把原式化简得到方函一方福, 复合二次根式化得到看一高，然后分母有理化后合并. 【解题过程】
A. 0
B. 1
C. - 1
D. 2
根据已知条件得出x+l 、x+2和x+3的值,
再代入要求的式子进行计算即可得出答案.
利用尸4得到原式=照-糜，再把
4-2V3 4+2J3
械 庙状_ 点 _ J%+2月 _ J1_2点 _ J%+2百
而 x=4,
4+2点 4+2点
4-2/3 4+2 点
_ >/3-1 A /^+1 -(历-1)2 (V3 + 1)2 _ 1 1
v^3-1 \/3+1 \^3+1 \[3—1 =F 2~ =1.
故选：A.
10. (202()•新华区校级自主招生)如果实数x, y 满足(kTT+x) (VP + 1+y) =1,那么x+y 值为
【思路点拨】
根据平方差公式发现：(V%2 + 1 +x) (V%2 4- 1 -x) =X 2+1 -X 2=l, (Jy2 + 1 +y) (Jy2 + 1 _y) =)2+]
- >2=1,根据已知可得方程组，相加可得结论.
【解题过程】
解：(Vx 2 + 1 4-X ) (Vx 2 + 1 —X )=/+1-/=1, (Jy2 + ( +y) (Jy2 + 1 _y) =)2+1 -),2=1
又：(Vx 2 + 1 +x) (Jy2 + 1 +y )=1,
①+②得：-x - y=x+y, /•2 (x+y) =0,
，x+y=0.
故选：A.
评卷人
A. 0
B. - 1
C. 1
D. 2
所以原式=
(总+1/
J)/2 + 1 + y ①
V%2 + 1 + x@
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. （2021秋•南岗区校级期末）若%布是整数，则正整数〃的最小值是 .
【思路点拨】
因为仲不是整数，且倔元则21〃是完全平方数，满足条件的最小正整数〃为21. 【解题过程】
解：,.・V§赤=27^而，且是整数，
・・.2V^五是整数，即21〃是完全平方数；
・・・〃的最小正整数值为21. 故答案为：21.
12. （2021春•崇川区校级月考）设x, y 是有理数，且x, y 满足等式x+2）一②，=17+4&，则 g+y ） 2021
【思路点拨】
根据题中等式列出关于x 与y 的方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可求出所求. 【解题过程】
解：•."，y 是有理数，且-y 满足等式x+2»，-VIy=17+4&,
.(x + 2y = 17
= -4
则原式=(V25 -4) 2021 =(5 - 4) 2021
= 12021
故答案为：1.
13. （2020•浙江自主招生）设。

-〃=2+百，〃-c=2-6，则J+层+J -"--从=.
【思路点拨】
将〃 - Z?=2+8和b - c=2—V5相加，得到。

-c=4,再将〃2+启+/-
- - 转化成关于a - b, b - c, a
的完全平方的形式，再将。

-b=2+8，b-c=2-V5和。

-c=4整体代入即可. 【解题过程】
解:Va-i=2+V3, b - c=2-V3,两式相加得，a - c=4, 原式=。

2+庐+。

2 - ab - be - ac
_ 2a 2+2b 2+2c 2—2ab —2bc —2ca
解得:
% = 25
y = 一4'
二 2
_ (a2-2ab+b2)4-(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)
二 2
_ (a-b)2+(b-c)2 +(q—c)2
= 2
_ (2+V3) +(2-/3) +42
一 2
4+3+4/3+4+3-473+16
: 2
= 15.
14.(2021 秋•郸州区校级期末)已知a + b = V A/2002+2,a-b = 7V2002 - 2, |Z?3+?|=/?3 - ?,则 // -/的值为.
【思路点拨】
根据绝对值的意义分析匕和c的取值，然后利用完全平方公式计算求得"的值，从而进行计算.
【解题过程】
解：・・・(a+b) 2- (a-b) 2=4C”,
：.4ah=(7V2002 4- 2) 2 - (VV2002 - 2) 2
=V2002 +2-V2002 +2
ub= 19
V|/?3+c3|=/?3- c3,且|及+/|=± (/?3+c3),
当|/+c3| = /+c3 = / 一 / 时,C = 0,
原式=(ab) 3.()3=],
当|必+c3|= - b3- c、3 = 〃3 -03 时，b = c=0,
此时出?=0,故此情况不成立，
综上，原式的值为1,
故答案为：1.
15.(2021秋•昌江区校级期中)已知x>0,y>0,/+)2=36,(五一扪)，+(爪+扪)4=250,则町=
【思路点拨】
根据完全平方公式和平方差公式将(4一+ (4 + 4)4 =250变形，然后计算求值即可.
【解题过程】
解:(Vx - 7y)4 + (V% + 7y)4
=[(Vx-y/y) 1 2+(V% +7?)2]2- 2 (Vx-^/y) 2 (4+ 行)2
=(x - 2y[xy +y+x+2yfxy 4-y) 2 - 2 (x - y) 2
=⑵+2y) 2 - 2 (x2 - 2xy+y2)
=4X2+8X)T+4 V2-2X2+4A>? - 2y2
= 2x2+12x}?+2y2,
Vx>(), y>0, 7+,2 = 36, (Vx 一行尸 + (五 + 6)，=25(),
/.2X2+ 12xy+2)r
=2 (7+)2) +]2xy
=2x36+12p
=72+⑵ y
•r
=250,
解得肛=器，
89
故答案为：—.
6
三.解答题(本大题共8小题，满分55分)
16. (8分)(2021秋•牡丹区月考)计算：
]
@|V3-2|+ (-) L (TT-3.14) °-V27;
2
②导电x店;
③百十 ( -2V3) 2- (V48-J|x V6)；
® (2V3 4-3) (2V3-3) - (73-1) 2.
【思路点拨】
①根据实数的运算法则，先计算绝对值、负整数指数第、零指数篇、立方根，然后计算加减.
②根据二次根式的乘除运算法则，从左往右计算.
③根据实数的混合运算法则，先计算乘方、去括号、乘法，再计算加减.
评卷人得分
④根据二次根式的混合运算法则，先计算乘法、乘方，再计算减法.
【解题过程】
③次+(-2次)2 - (V48-V6)
=V3 + 12- (4V3 - V3)
=V3 + 12-3V3
=12-2V3.
④(2V3+3) (2V3-3) -(V3-1)2
=(2V3)2 - 9 - (3 4- 1 - 2V3)
= 12-9-4+273
=-1+2V3.
17.(4分)(2021秋•浦东新区校级月考)已知：％ =噌=叁，丫 =粤唱，求代数式2Q?+55盯+20)2的
V 3 + v L V 3 —V 值.
【思路点拨】
直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形进而代入得出答案.
【解题过程】
解：・.”=左宏=(8一&)2=5-2历,
产学噌=(V3 + V2) 2=5+2遍，
・••原式=20?+4Qrj+20/+15 盯
=20 (x+y) 2+15xy
= 20x (5 - 2V6 +5+2乃)2+15x (5 - 2A/6) (5+2付
=20X102+15X (25 - 24)
= 2000+15
=2015.
18.(4分)(2021秋•高州市期中)已知|2018 - 一2020 =小求a - 20182+2020的值.
【思路点拨】
根据二次根式有意义确定〃的取值范围，再化简二次根式，进而得出〃的值，然后代入所求式子计算即可.
【解题过程】
解：・・・迎一2020有意义,
：.a - 2020>0,
解得:生2020,
・・・|2018 -2018,
:.原式化简为a - 2018 + Va- 2020 = a,
则Ja - 2020 = 2018,
J a=20182+2020,
：.a- 2()182+2O2O=2O182+2()2O - 20182+2020 =4040.
19.(6分)(2022•丛台区校级开学)已知加，〃是两个连续的正整数，m<n, a=mn,求证：+九一)a - m
是定值且为奇数.
【思路点拨】
先由m和n是两个连续的正整数和V〃得到n=m+\,然后得到a=m (/w+1),进而将a和m代入+)—— m中化简证明.
【解题过程】
证明：・・・〃?和〃是两个连续的正整数，"V”，
.\n=m+ \,
^.a=mn=m (/w+1),
二. Ja + 几—Va — m = [m(jn + 1) + (m + 1) —yjm(m + 1) — m = -/(m + I)2— Vm2 = (〃?+l) - m= 1,
：.7a + n — 7a — m是定值且为奇数1.
1 1 1 1
20.(6 分)计算： ------ 7= + -7= ---- 产 + -7= ------ F+ …+ --------- 7= ------ ^=.
2+V2 3V2+2V3 473+3^4 100^99+99/100
【思路点拨】
将每个二次根式分母有理化，再将每个式子拆分为两个式子，寻找抵消规律.
【解题过程】
2-72 , 3V2-2右. (100^/99-99^/100
2 十 2x
3 干 干 99x100
42 ^42 热工 工、丽同5
2十2 3十 十99 100
=i 一焉=粉
21. （8分）（2021秋•崇川区校级月考）已知x 为实数且7+3x+l=0.
①求X+!的值;
人
②求x 2 + —- 2% + 3 -1的值.
J -I) “一1
【思路点拨】
①先将已知等式两边同时除以x,可得结论;
②将原式的被开方数化简成完全平方数，根据①中的结论：x+：=—3,可知x 是负数，则
X- •/V 简可得结论.
【解题过程】
解：@V?+3x+l=0,
・・・/3+30,
・•・"=-3 X
② 4 -------- - — 2% + 3 ----- r J (X-l)2 -
1 4
%2 — 2% + 1 + 2 H ------ -------- r
(x-1)2 %T = J©T )+4 2 一为
1 4
-)+hb
1
Vx+-= -3, x .XO,
1
1<(),——<D, x —1 解：原式= 3^-275 2-72 (2+四(2-@ 十(3/2+25/3)(3>/2-25/3) ________ 100 回-99 同5 _________
…十(100回+99\/TUG)(100\/55-997IGU)
1是负数，化
・,・原式=1…占+占
=1 - r-| ---- -
1 "l—x
(lr)2+5
1—x
1—2X+/+5
1—x
•・・7+3/+1=0,
；•/= - 3x - 1,
• o -u 1—2x—3x—1+5
.•原式二 ----- 匚^ ------
5-5x
— 1-x
=5.
22.（8分）（2021秋•泰宁县期中）我们规定，若。

+6=2,则称。

与6是关于1的平衡数.
（1）若3与x是关于1的平衡数，5-或与y是关于1的平衡数，求x, y的值；
（2）若（m+痘）x （1-V3） = -2/?+3（V3-1）,判断机+6与5〃一次是否是关于1的平衡数，并说明
理由.
【思路点拨】
（1）根据题意列式计算即可；
（2）将已知等式化简可得，6+2〃-2B-相b=0,然后分三种情况分别列式计算：①当相和"均为有理数时，②当〃z和〃中一个为有理数，另一个为无理数时，③当相和〃均为无理数时，当m+5〃=2时，进而可得结论.
【解题过程】
解：（1）根据题意可知：3+式=2,
解得x= - 1,
5-a+y=2,
解得y=- 3+V2；
(2)(加+遍)x (1-V3) =-2〃+3(V3-1),
//?—V3//2+V3 -3 —- 2/1+3V3 —3,
/.m+2n - 2V3 — V3m=0,
①当〃2和〃均为有理数时，
则有机+2〃=0, - 2 -加=0,
解得：m= - 2,〃=1,
当m= - 2, n= \时，
痘 +5/?—V3 = —2+V3 +5—V3 =3#2,
所以m+百与5〃-遮不是关于1的平衡数；
②当相和〃中一个是有理数，另一个是无理数时，
+5〃—V5 =〃?+5〃，而此时m+5n为无理数，故〃?+5〃#2,
所以加+b与5〃-遮不是关于1的平衡数；
③当相和〃均为无理数时，当〃+5〃=2时，
m+2n - 2^3 - V5m=(),
Anzg —69 —5>/3 27+点
解得m= ----- 23 --- ，〃= -33—，
使得m+8与5〃-遮是关于1的平衡数，
M/ , —69—5>/3 27+x/3u L
当"渚 ---- 云--- ，评一on-时，
利+8与5〃-百不是关于1的平衡数，
综上可得：当m= 6,5、3, 〃二名炉时，m+百与5〃一遍是关于1的平衡数，否则〃?+百与5〃-遮不是关于1的平衡数.
23.(11分)(2021春•莆田期中)阅读下面材料：
同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像Up,，血2+上等代数式,如
果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式.
他还发现像"F+M, (/n - 1) (n- I)等神奇对称式都可以用〃?+〃表示.例如：加2+〃2=(〃?+〃)2 -
2mm {tn - 1) (〃-1) =mn - (m+n) +1.于是丽丽把〃〃7和〃2+〃称为基本神奇对称式.
请根据以上材料解决下列问题：
(1)代数式①^②〃产〃2,③@y/xy 4- y[yz 4- Vxz(x > 0, y > 0, z2 0)中，属于神奇对称式的是
(填序号)；
(2)已知(x - m) (x - /?) =x^ - px+q.
1 1
①若p=3, q= - 2,则神奇对称式一+ — =；
m n
771,3 + 1 i -1
_
②若亚-4=0,求神奇对称式-------------- + ------ 的最小值.
m n
【思路点拨】
(1)根据神奇对称式的概念进行判断；
(2)①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得团〃，加+〃的值，然后利用分式的计算法则进行计算;
②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值.
【解题过程】
2 2
解：(1 ) --------- = /---- ,故①是神奇对称式；
7mn 7nm
只有当m+n=0或tn - /?=0 时，m2 - it1=n2 - m1,
：.m2 - n2不一定等于n2 -川，故②不是神奇对称式；
n m
只有当m=n^0或m=- 〃时，一=一,
m n
n m
；.一不一定等于一，故③不是神奇对称式；
m n
yjxy + y[yz + 4xz = y/yx + y[zy + Vzx,故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
(2)①; (x - m)(x - /?)=f-(m+n) x^mn==x2- px+q9• •/%+〃=〃=3, mn=q = - 2,
1 1 m+n 3
•二一+ -= ------- 二一—，
m n mn 2
故答案为：-9；
②•: (x - m)(x - n)=，- (771+/1)x+mn==，- px+q, /• m+n=p, 〃m=q,
原式+后+:
f f V / V
/ • 、2 c . m+n
=(m+n)- 2〃〃?H --------
mn
=p2 - 2q+/
又,：= q,
• • P = ^Cf,
当〃=4 时，原式=p2-2q+l= (/? - 1) 2>0,
・・.此时，原式的最小值是0；
当P= - q 时，原式=〃2 - 2q - 1 = (/? - 1 ) 2 - 2> - 2, ・・・此时，原式的最小值是-2；
m^ + 1 n3+1
综上，——+——的最小值是-2。