高中数学人教A版选修2-1 第三章空间向量与立体几何 测试题.docx

第三章空间向量与立体几何 测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1. 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =u u u r
（ ） A ．a +b －c B ．a －b + c C ．－a + b + c D ．－a + b －c
2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB uuu r 与1C B u u u u r
的夹角为（ ）
A .60°
B .90°
C .135°
D .45° 3. 下列命题中真命题的个数是（ ）. ①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线； ②若向量a ,b ,c 共面,则它们所在的直线共面； ③若a ∥b ,则存在唯一的实数λ,使a =λb .
A.0
B.1
C.2
D.3 4. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AD 的中点，O 为侧面AA 1B 1B 的中心，P 为棱CC 1上任意一点，则异面直线OP 与BM 所成的角等于（ ）
A ．90° B.60° C.45° D.30°
5. 已知平面α的法向量是（2,3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若βα⊥，则λ的值是（ ）
A ．6-
B ．6
C ．103
-
D ．103
6.若向量a ＝（1，λ，2），b ＝（2，－1,2），a ，b 的夹角的余弦值为8
9，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
7. 已知ABCD 为平行四边形，且A （4,1,3），B （2，-5,1），C （3,7，-5），则顶点D 的
坐标（ ） Ａ．（
2
7
，4，-1） Ｂ．（2,4,1） Ｃ．（-2,14,1） Ｄ．（5,13，-3）
8. 直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则有可能使l α∥
的是（ ）
A ．a =（1,0,0），n =（-2,0,0）
B ．a =（1,3,5），n =（1,0,1）
C ．a =（0,2,1），n =（-1,0,1）
D ．a =（1,-1,3），n =（0,3,1） 9. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是1,AA BB 的中点，则1sin ,CM D N 〈〉u u u u r u u u u r
的值为（ ）
A.19
B.459
C.259
D.23
10. 已知正方体ABCD —EFGH 的棱长为1，若P 点在正方体的内部且满足
AE AD AB AP 32
2143++=
，则P 点到直线AB 的距离为（ ） A ．
65 B ．12181 C ．6
30
D ．6
5 11.
.已知在长方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1
中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为（ ） A .60° B .90° C .45° D .以上都不对
12. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，M 、N 分别为AB ，CD 的中点，沿MN 将MNCB 折叠至MN C 1B 1，使它与MNDA 成直二面角，已知AB =2CD =4M N ，则下列等式不正确的是（ ）
A ．AN ·N C 1=0
B ．11
C B ·
AN =0 C ．11C B ·1AC =0 D ．11C B ·
AM =0 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.）
13. 已知a =（1,2,3），b =（2，x ，4），如果a ⊥b ，则x = . 14.已知向量)3,0,(),0,3,2(k b a =-=.若a 与b 的夹角为ο
120，则实数
=k .
15. 在三棱锥A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则
AB +
21BC -2
3
DE -AD 化简的结果为 . 16. 若a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1=（1,1,1），b 1=（-3，4,0），则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为 .
17. 如图2，P —ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中2,6AB PA ==
，
图 1
C 1
B 1
N
M D C
B
A 图 2
S
C
则1B 到平面P AD 的距离为 .
18. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ，若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1
的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图3，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，N M ，分别是B A 1，11C B 上的点，且
12BM A M =，112C N B N =.设AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，1AA =u u u r
c .
⑴试用,,a b c 表示向量MN u u u u r
；
⑵若ο90=∠BAC ，1160BAA CAA ∠=∠=o
，11AB AC AA ===，求MN 的长.
20. 如图4,在四棱锥ABCD P -中,⊥PD 底面ABCD ,平面ABCD 是直角梯形,M 为侧棱PD 上一点.该四棱锥的俯视图和左视图如图5所示.
⑴证明:⊥BC 平面PBD ； ⑵证明:AM ∥平面PBC .
21. 如图6，在四棱锥O-ABCD 中，OA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，且OA =2，M ，N 分别为OA ，BC 的中点.
⑴求证：直线MN ∥平面OCD ； ⑵求点B 到平面DMN 的距离.
22.如图7，在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，
图 6
O
B
C
D
A
M N 图
3
B 1
C 1
A 1N
M
C
B
A
图
22
==SC SA ，M 为AB 的中点.
（1）证明：SB AC ⊥；
（2）求二面角A CM S --的余弦值； （3）求点B 到平面SCM 的距离.
23.如图8所示，矩形ABCD 的边AB=a ，BC=2，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，现有数据：①
；
②a=1；③；④a=2；⑤a=4．
（1）当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，a 可能取所给数据中的哪些值，请说明理由； （2）在满足（1）的条件下，a 取所给数据中的最大值时，求直线PQ 与平面ADP 所成角的正切值；
（3）记满足（1）的条件下的Q 点为Q n （n=1，2，3，…），若a 取所给数据的最小值时，这样的点Q n 有几个，试求二面角Q n ﹣PA ﹣Q n+1的大小．
24. 在如图9所示的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面
ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，
AC FB ⊥．
⑴求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；
(2)线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1. D
2.B
3. A 4 .A 5.C 6. C 7. D 8. D 9. B 10. A 11. B 12. C 提示：
图 7
1. 1A B =u u u r
A A 1+A
B =-1C
C -CA +CB =－a + b －c .
2. 由于AB ⊥平面BCC 1B 1,所以AB ⊥C 1B ,从而AB uuu r 与1B C u u u r
的夹角为90°.
3. ①中当b =0时,a 与c 不一定共线,故①错误;②中a ,b ,c 共面时,它们所在的直线平行于同一平面即可,故②错误;③当b 为零向量,a 为非零向量时,λ不存在.
4. 以A 为坐标原点，AB ,AD ,AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，且令AB =2，则B （2,0,0），O （1，0，1）,M （0，1，0）,P （2，2，z ），故OP =（1,2，z-1），BM =（-2，1，0）,因为OP ·BM =0，故异面直线OP 与BM 所成的角等于90°，故选A.
5. 因为βα⊥，所以8+3λ+2=0.解得λ=10
3
-
，选C. 6.
根据题意，得2534-2λλ++=89，解得λ=－2或2
55
，选C.
7. 设D （x ，y ，z ），根据题意，得AB =DC ,即（-2，-6，-2）=（3-x ，7-y ，-5-z ），解得x =5，y =13，z =-3，故选D.
8. 在D 中a =（1,-1,3），n =（0,3,1），因为a ·n =0，故选D.
9. 以A 为坐标原点，以AB,AD,AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，且令AB =2，则M （0,0,1），N （2,0,1），C （2,2,0），D 1（0,2,2），CM =（-2，-2,1），N D 1=（2，-2，-1），
1cos ,CM D N 〈〉u u u u r u u u u r =3
31-44-⨯+=-91，故1sin ,CM D N 〈〉u u u u r u u u u r =459，选B.
10. 如图1，过P 作PM ⊥面ABCD 于M ，过M 作MN ⊥AB 于N ，连结PN ，则PN 即为所求， 因为,3
22143AE AD AB AP ++=
所以,32
,21,43===PM MN AN 所以
6
5
)32()21(22=+=PN
11. 以点D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标
系,如图2，由题意知,A 1（1,0,2）,E （1,1,1）,D 1（0,0,2）,A （1,0,0）,所以1E A u u u r =（0,1,-1）,1E D u u u u r
=
（1,1,-1）,EA uu u r
=（0,-1,-1）.设平面A 1ED 1的一个法向量为n =（x ,y ,z ）,
则11·A E 0,·D E 0n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
u u u u r u u u u r ⇒0,0.y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令z=1,得y=1,x=0, 所以n =（0,1,1）,cos <n ,EA uu u r >=·EA 2|||EA |22
n n -=⨯u u u r u u u r =-1.所以<n ,EA uu u r >=180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°.
12. 易知C 1N ⊥平面AMND ，故A 正确；假设B 正确，即有11C B ⊥
AN ，又由A 项可得AN ⊥平面B 1MNC 1，这与AM ⊥B 1MNC 1矛盾，则B 不正确；对于C ，
图 1
图 2
连结MC 1，由B 1M =2C 1N =2MN 可得MC 1⊥B 1C 1.又易知11C B ⊥AM ，得B 1C 1⊥平面AMC 1，故11C B ⊥1AC ，C 也正确；由AM ⊥平面B 1MNC 1得AM ⊥B 1C 1，则D 也正确.
二、填空题 13. 7 14. 39-
15. 0 16.
15
3
17. 556 18. 63
提示：
13. 因为a ⊥b ，所以a ⊥b ，所以a ·b =0，即2+2x+12=0，解得x=-7. 14. 提示：由数量积公式可得22139cos120k k =⨯+︒，所以k=39-
15. 延长DE 交边BC 于点F ，则AB +
21BC =AF ，-2
3
DE -AD =-AF ，故AB +
21BC -2
3
DE -AD =0. 16. 由题意知，cos θ=|co s ＜a 1，b 1＞|=
|||a ||b a |1111b ⋅=15
3
.
17.以11B A 为x 轴，
11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系，平面P AD 的法向量是(,,)m x y z =u r ，因为(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==u u u r u u u r
，所以02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-u r
，因为
1(2,0,2)B A =-u u u r ，所以1B 到平面PAD 的距离16
55B A m d m
⋅==u u u r u r
u r
. 18. 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图3,设AB ＝1，则AD ＝AA 1＝2，所以F （1,2,1），E （0,1,2），所以EF ＝（1,1，－1），平面ABB 1A 1的一个法向量n ＝（0,1,0），则cos 〈n ，EF 〉＝|
|||EF n EF n ⋅＝
3
3，设EF 与平面ABB 1A 1所成角为θ，则sin θ＝
33，cos θ＝6
3
. 三、解答题
19. 解：⑴1111MN MA A B B N =++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 1111133
BA AB B C =
++u u u r u u u r u u u u r
11111()()33333
=-++-=++c a a b a a b c . ⑵2
()222++=+++⋅+⋅+⋅2
2
2
a b c a b c a b b c c a
11
1110211211522
=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
图3
||5++=a b c ，15
||||33
MN =++=u u u u r a b c .
20. 证明:⑴因为⊥PD 平面ABCD ,DC DA ⊥,建立如图4的空间直角坐标系xyz D -. 在△BCD 中,易得60CDB ︒∠=,所以 30ADB ︒∠=. 因为 2=BD , 所以1AB =,
3AD =.
由俯视图和左视图可得， )4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ，
所以 )0,3,3(-=BC ,)0,1,3(=DB .
因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ,所以BD BC ⊥. 又因为 ⊥PD 平面ABCD ,所以 PD BC ⊥,
所以⊥BC 平面PBD .
⑵设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ,则有 0,
0.
PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
n n 因为 )0,3,3(-=BC ,)4,4,0(-=PC ,
所以 440,
330.
y z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取1=y ,得=n )1,1,3(
因
为
)3,0,3(-=AM ,所以
⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅
因为⊄AM 平面PBC , 所以直线AM ∥平面PBC .
21. 建立如图5的空间直角坐标系，则各点坐标为B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），O （0，0，2），M （0，0，1），N （2，1，0），
所以MN =（2，1，-1），DO =（0，-2，2），DC =（2，0，0），AB =（2，0，0），BN =（0，1，0）.
⑴证明：设平面OCD 的法向量n =（x ，y ，z ），
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00DC n DO n 得⎩
⎨⎧==+-.02022x z y ，
令y=1，得平面OCD 的法向量n =（0，1，1），所以MN ·n =2×0+1×1+（-1）×1=0. 所以MN ⊥n .
图 5
O
B C
D
A
M N y
z
x
图4
又MN ⊄ 平面OCD ， 所以MN ∥平面OCD . ⑵设面DMN 的法向量为n′=（x /，y /，z /），
由DM =（0，-2，1），DN =（2，-1，0），得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00DN n DM n 即⎪
⎩⎪⎨⎧=-=+-.0202/
///y x z y ，
令x /=1，得平面DMN 的法向量n′=（1，2，4）.
所以点B 到平面DMN 的距离d=|||
|//n n BN ⋅=212=21
212. ..
22.解析：（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB OS , 因为SC SA =，BC BA =，所以SO AC ⊥且BO AC ⊥.
因为平面⊥SAC 平面ABC ，平面⋂SAC 平面AC ABC =，所以⊥SO 平面ABC 所以BO SO ⊥.
如右图所示，建立空间直角坐标系xyx O - 则)0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,2(B S C A - 所以)2,32,0(),0,0,4(-=-=BS AC 因为0)2,32,0()0,0,4(=-⋅-=⋅BS AC 所以SB AC ⊥
（2）由（1）得)0,3,1(M ，所以)2,0,2(),0,3,3(==CS CM 设),,(z y x n =为平面SCM 的一个法向量，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=⋅=+=⋅0
220
33z x CS n y x CM n ，取1=z ，则3,1=-=y x 所以)1,3,1(-=n 又因为)2,0,0(=OS 为平面ABC 的一个法向量，所以5
5
,cos =
⋅=
OS
n OS n OS n 所以二面角A CM S --的余弦值为
5
5. （3）由（1）（2）可得)0,32,2(=CB ，)1,3,1(-=n 为平面SCM 的一个法向量.
所以点B 到平面SCM 的距离5
5
4=
⋅=
n
CB n d .
23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A （0，0，0，），B （a ，0，0），C （a ，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）， 设Q （a ，x ，0）．（0≤x ≤2） （1）∵
，
∴由PQ ⊥QD 得
∵x ∈[0，2]，a 2=x （2﹣x ）∈（0，1] ∴在所给数据中，a 可取
和a=1两个值．
（2）由（1）知a=1，此时x=1，即Q 为BC 中点， ∴点Q 的坐标为（1，1，0），从而，
又
为平面ADP 的一个法向量，
∴
， ∴直线PQ 与平面ADP 所成角的正切值为．
（3）由（1）知，此时
，即满足条件的点Q 有两
个，其坐标
∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AQ 1，PA ⊥AQ 2， ∴∠Q 1AQ 2就是二面角Q 1﹣PA ﹣Q 2的平面角．
由，
得∠Q 1AQ 2=30°，∴二面角Q 1﹣PA ﹣Q 2的大小为30°．
24. ⑴解：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=
，所以 BC AC ⊥．又因为
AC FB ⊥， 所以⊥AC 平面FBC ．
因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ．
所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图6的空间直角坐标系xyz C -．在等腰梯形
ABCD 中，可得 CB CD =．
设1BC =，所以3131
(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(
,,0),(,,1)2222
C A B
D
E --． 所以 )1,2
1
,23(
-=CE ，)0,0,3(=CA ，)0,1,0(=CB ． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
n n 所以 31
0,22
30.x y z x ⎧-+=⎪
⎨⎪=⎩
取1z =，得=n (0,2,1)． 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则 ||25
sin |cos ,|5||||
CB CB CB ⋅=〈〉==
u u u r
u u u r u u u r θn n n ， 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为
5
5
2． （2）线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下：
假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(
t Q - )10(≤≤t ，所以),2
1
,23(t CQ -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,
0.
CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
m m 所以 0,
31
0.22
b a b t
c =⎧⎪
⎨-+=⎪⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,3
2
(t -
． 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ，即 2
0021103
t -
⨯+⨯+⨯=，该方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．
图6。