创新设计文科 第五章 第2节

第2节 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论与微点提醒]1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(2018·三明月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析 2a ＋b ＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D. 答案 D3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A4.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －35.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC →(2)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13bD.13a ＋23b解析 (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13，∴DF ＝13AB .∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →) ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC → ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ，∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b . 答案 (1)A (2)C规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.解析 (1)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →) ＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .(2)由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案 (1)14a ＋34b (2)34 考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A.(－3，4) B.(3，4) C.(3，－4)D.(－3，－4)(2)(2017·北京西城模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.答案 (1)A (2)D规律方法 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)D.(5，14)(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案 (1)D (2)－3考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)(2018·安徽江南十校联考)已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________. 解析 (1)a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)， ∴a ＋c ＝(m ＋1，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)， 又(a ＋c )∥(a －b )，∴(m ＋1)(m －5)＋m ＋3＝0，即m 2－3m －2＝0， 解之得m ＝3±172.(2)设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 答案 (1)3±172 (2)(8，－15)规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)(2018·福州质检)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.4B.6C.8D.9解析 (1)AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. (2)∵OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →，即(a －1，1)＝λ(－b －1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝λ（－b －1），1＝2λ，可得2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号，故1a ＋2b 的最小值为8，故选C. 答案 (1)A (2)C基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B2.已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)D.(－7，0)解析 3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A. 答案 A3.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A. 答案 A4.(2018·淮南质检)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析 ∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)， ∴OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.5.(2017·衡水中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23B.43C.－3D.0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 答案 D6.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( ) A.(－2，7) B.(－6，21) C.(2，－7)D.(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－P A →＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2，7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21). 答案 B7.如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A.e 1＋e 2B.－2e 1＋e 2C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析 以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1，0)＋y (－1，1)＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.8.(2018·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析 如图， ∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C 二、填空题9.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则向量BD →的坐标为________.解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5). 答案 (－3，－5)10.设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0<θ<π2，∴cos θ>0，∴2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12. 答案 1211.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案 4312.已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________.解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD →＝(－2，－4).答案 (－2，－4)能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2017·成都诊断)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP→＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 P A →，则( )A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，且BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A14.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( )A.2B.52C.3D.4解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3.答案 C15.(2018·河南名校联盟质检)已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________.解析 设|OC →|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC →＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1. 答案 116.(2018·长沙一模)矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析 设点P 在AB 上的射影为Q ，∠P AQ ＝θ，则AP →＝AQ →＋QP →，且|AQ →|＝cos θ，|QP →|＝sin θ.又AQ →与AB →共线，QP →与AD →共线，故AQ →＝cos θ3 AB →，QP →＝sin θ2AD →，从而AP →＝cos θ3 AB →＋sin θ2AD →，故x ＝cos θ3，y ＝sin θ2，因此3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故3x ＋2y 的取值范围是(1，2]. 答案 (1，2]。