2019届河南省普通高等学校招生全国统一考试模拟(三)数学(文)试题

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数学（文）试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|A x y ==
，{|12}B x x =-≤≤，则A B =
A.[1,2]-
B. [1,2]
C. (1,2]
D. [1,1]{2}-
2.已知复数z 满足||2z z z =+=，（z 为z 的共轭复数）.下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z = A. 1i + B. 1i - C.1i +或1i - D.1i -+或1i -- 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它 是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块 板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 A ．
932
B ．516
C ．38
D ．716
4．下列命题中，真命题是
A ．0x R ∃∈，使得00x
e ≤ B ．2
2
sin 3(π,)sin x x k k Z x
+
≠∈≥ C ．2
,2x x R x ∀∈>
D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件
5. 一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是
D C B A
1
y
y
y
y
x
x
x
x
6. 按如图所示的算法框图，某同学在区间[0,9]上随机地取一个数作为x 输 入，则该同学能得到“OK”的概率 A.
12 B.19 C.13
18
D.89
7.一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为 2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为
A.
13 B.53 C.5
4
D.2 8．设5
sin π
=a ，3log
2
=b ，3
2
41⎪⎭
⎫ ⎝⎛=c ，则
A.b c a <<
B. c a b <<
C. b a c <<
D. a b c <<
9．
的部分图像大致为
A B C D
10. 已知直线20x y +=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a ⋅=+<，令123||||||||n n S a a a a =+++
+，则m S 的值为
A.60.
B.52
C.44
D.36
11. 知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，
(,),(,)B a a C a a ---，过,,A B C 三点的圆与直线2
a x c
=-相切，则此椭圆的离心率为
A.
13 B. 12 C. D. 23
12. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0
,30
),1ln()(2x x x x x x f ，若0)2()(≥+-x m x f ，则实数m 的取值范围是
A. (]1-∞,
B. []1-2,
C. []0,3
D. )[3,+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(2,)b y =，(2,2)c =-，且a c ⊥，//b c ，则a b += ．
14. 已知,x y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则y x z +=2的最大值为_____．
15. 甲、乙、丙三个同学在看c b a ,,三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”（冠军唯一）。

赛前，对于谁会得冠军，甲说：不是,b 是,c 乙说：不是,b 是,a 丙说：不是,c 是.b 比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是
16.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
，2AB =，
60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于______.
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）
已知函数()cos 22x x f x =
21cos 22
x -+.
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2
f A =
，a =sin 2sin B C =，求c .
18. （本小题满分12分）
如图1，在△ABC 中，D ,E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，
AB AC ==4BC =．将
△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ， F 为1AC 的中点，如图2．
（1）求证： //EF 平面1A BD ； （2）求F 到平面OB A 1的距离．
图1 图2
19.（本小题满分12分）
近些年来，随着空气污染加剧，全国各地雾霾天气增多．《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级：其中，中度污染（四级），指数为151—200；重度污染（五级），指数为201—300；严重污染（六级），指数大于300 ．某气象站观测点记录了某市五月1号—4号连续4天里，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y （单位cm ）的情况如下表1：
该市五月AQI
（1）设100
M
x =
,根据表1的数据，求出y 关于x 的回归直线方程,并利用所求的回归直线方程分析该市五月1号—4号连续4天空气水平可见度的变化情况．
（2）小张开了一家洗车店，生意的好坏受到空气质量影响很大. 经统计，当M 不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M 在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M 大于400时，洗车店平均每天收入约7000元. 将频率看作概率，求小张的洗车店五月某一天能够获利的概率，并根据表2估计五月份平均每天的收入. 附：对于一组数据，其回归直线 a x b y
ˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆˆˆ,n
n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nx y
b
a
y bx x x x
nx ====---⋅
==
=---∑∑∑∑
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E :)0(122
22>>=+b a b
y a x ，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）如图，若直线l 与椭圆相交于AB 且AB 是圆5)1()12
2
=++-y x （的一条直径，求椭圆E 的标准方程.
21. （本小题满分12分） 已知函数)(ln )(R a x x
a
x f ∈-=
（1）若)(x f 的图像与直线0=y 相切，求.a
（2）若2
1e a e <<+且函数x x
a
x f ln )(-=
的零点为0x , 设函数00
ln ln ,0()ln ln ,a
x x x x x x
g x a x x x x
x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩
试讨论函数()g x 的零点个数.（71828.2≈e 为自然常数）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2260x y x +-=，直线1l
：0x =，直线2l
0y -=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；
（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求AOB ∆的面积.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()212f x x x =-++，()1g x x x a a =+--+. （1）解不等式()3f x >；
（2）对于12,x x R ∀∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围.
2019届普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（三）
文科数学答案
一．选择题 BCCDA CBCAB DB
二．填空题13.10 14.4 15.C 16. π8 三．解答题
17.解：（1）1
()cos 22
f x x x =-sin()6x π=-.……………………………………2分
由
226k x ππ
π+≤-
322k ππ≤
+，k Z ∈，得223k x ππ+≤523
k π
π≤+，k Z ∈.…4分 ∴函数()f x 的单调递减区间为25[2,2]33
k k ππππ++，k Z ∈.………………………6分 （2）∵1()sin()62f A A π=-=，(0,)A π∈，∴3
A π
=.………………………………8分
∵sin 2sin B C =，∴由正弦定理sin sin b c
B C
=，得2b c =.……………………………9分
又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，a =222
13442
c c c =+-⨯.解得1c =.…12分
18.解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点
H ，连接HD ， HF ． 因为在△ABC 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，所以 //DE BC ， 1
2
DE BC =． 因为 H ， F 分别为1A B ， 1AC 的中点，所以 //HF BC ， 1
2
HF BC =
， 所以 //HF DE ， HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ．
因为 EF ⊄平面1A BD ，
HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．……… 6分 （Ⅱ） O 为DE 的中点，11A D A E =DE O A ⊥∴1 又 平面1A DE ⊥平面BCED ，DE BCED ADE =⋂面面
BCED O A 面⊥∴1.由图有，C B A OB A C OB A F V V V 01
1
1
2
1
21---==，则
2422
1
31212222131⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h 2=∴h
…………… 12分
19．（12分）
解：（Ⅰ）由所给数据计算得：()1973154x =
+++=， ()1
0.5 3.5 6.59.554
y =+++= (注：考生x ，y 至少算出一个得1分) …..……………………………..1分 (1分)
()
4
2
116441640i
i x x =-=+++=∑…………….……………….…….…..1分 (2分)
()()
()()()4
1
4 4.52 1.52 1.5(4) 4.5
i
i
i x x y y =--=⨯-+⨯-+-⨯+-⨯∑42=-.….…….…....1分 (3分)
(
)()()
4
1
42
1
4221
ˆ 1.054020i i i i
i x x
y y b
x x ==∑--==-=-=-∑-…………………… ….…..1分 (4分)
(注：考生42
40
-
不约分不扣分，约分计算错误扣1分得3分) 2141ˆˆ5510.25204
a y bx ⎛⎫=-=-⨯-== ⎪
⎝⎭…..……….………………….…..1分 (5分) 所求回归直线方程为 2141
ˆ204
y x =-+………………...……….…..1分 (6分) 由上可知，21
ˆ020
b
=-<，故该市五月1号—4号连续4天空气水平可见度随x 的降低逐步增加，x 每降低1个单位，空气水平可见度就增加21
20
cm. ……….2分 (8分)
（Ⅱ）由题意可知，小张的洗车店该月某一天能够获 利的概率为0.9，……1分 (9分) 根据表2估计五月份平均每天的收入：
20000.140000.270000.75500()-⨯+⨯+⨯=元 ………………3分 (12分)
20.解：（Ⅰ）由题意得椭圆上的点P 坐标为,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入椭圆方程可得221144a b +=，即22
3a b =，
∴2222
33()a b a c ==-，∴2
2
23a c =
，∴e =
……………… 4分
（Ⅱ）设椭圆方程为1322
22=+b
y b x ，直线AB 为1)1(--=x k y ，),(),,(2211y x B y x A
⎩⎨⎧=+--=2
22331)1(b
y x x k y ⇒()
()0313)1(6132
222=-+++-+b k x k k x k （*）
2
2
121222
6(13(133131
k k k b x x x x k k ++-∴+==++））， 又31221=∴=+k x x ， 2
121694
b x x -∴=
则()
524
91644310412212
212
=-⋅-=-++=b x x x x k
AB
10.0,3102
2
=∆=∴a b 则此时 ，椭圆方程为110
31022=+y x . ……………… 12分
21. （Ⅰ）设切点)
0,(0x P 2'(),a x f x x +=
-k ∴.,002
x a x x a -=∴=-+= 又切点在函数()f x 上，0()0,f x ∴=即
,1ln 0ln 000
-=⇒=-x x x a
.1
,10e
a e x -=∴=∴ ……………… 4分
（Ⅱ）若2
1e a e <<+且函数x x
a
x f ln )(-=
的零点为0x ，则显然01x > 由函数00
ln ln ,0()ln ln ,a
x x x x x x
g x a x x x x
x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩
① 当00x x <≤时,222211ln ln (1)()
'()a x x x a h x g x x x x x x
---+=-
--== 011
'()10,01;'()10,1.h x x h x x x x x
=
-><<=-<<< 则()h x 在(0,1)上单调递增，()01x ，上单调递减，则()(1)1(1)0h x h a <=--+<, 所以()g x 在(]0x 0，上单调递减 ② 当0x x >时，22211ln ln (1)
'()0a x x x a g x x x x x
-++-=
+-=> 所以()g x 在区间0(,)x +∞上单调递增 又0
000000
ln ln ()ln 0x x a g x x x x x =-
-=-<，且20e x e << 又1()10a g e e e
=-->， 2
222
22()220a e g e e e ++=->->
所以函数()g x 在区间0(,]e x 上存在一个零点1x ， 在区间20(,)x e 上存在零点2x . 综上，()g x 有两个不同的零点. ……………… 12分 22.解：（1）依题意，曲线C ：22(3)9x y -+=，
故曲线C 的参数方程是33cos 3sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），………………………………2分
因为直线1l
：0x =，直线2l
0y -=，故1l ，2l 的极坐标方程为
1l ：()6
R πθρ=∈，2l ：()3
R πθρ=∈.………………………………………………5分
（2）易知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 把6
π
θ=代入6cos ρθ=
，得1ρ=
)6
A π，…………………………7分
把3
π
θ=
代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以(3,
)3
B π
，…………………………8分
所以121
sin 2
AOB S AOB ρρ∆=
∠.…………………10分
23.解：（1）由2313x x ≤-⎧⎨-->⎩或12233x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩
或12313
x x ⎧≥⎪⎨⎪
+>⎩，解得0x <或2
3
x >
， ∴()3f x >的解集为2(,0),3
⎛
⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭
.………………………………………5分 （2）当12x =
时，min 5
()2
f x =；max ()1
g x a a =++.……………………7分 由题意，得min max ()()f x g x ≥，即512a a ++≤，即5
12
a a +≤-……………………8分
∴225
025(1)2a a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎛⎫
⎪+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得3
4
a ≤.………………………………………………………10分。