江苏省盐城中学2016届高三数学周练(4.9)

高三数学练习 (2016.4.9)
班级 学号 姓名
一、填空题（共14题，每小题5分，共70分）
1.已知全集U =Z ，{}1012A =-，，，，{}
2B x x x ==，则U A B ð为 {}12-， . 2.“1x >” 是 “
1
1x
<” 的 条件． 3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为 680
4． 某程序框图如图所示, 若输出的10S =, 则自然数a = 4 . 5．从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是_________．
6．设命题p ：方程
17
62
2=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与
圆
16)1()(22=++-y a x 相交．若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围____________．
解：若p 真，即方程22
167
x y a a +=+-表示双曲线，
则()()670a a +-<，67a ∴-<<． ………………………………5分 若q 真，即圆()2
219x y +-=与圆()()22
116x a y -++=相交，
则17,a <∴-< ………………………………
7. 已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//； ④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）________．
8. 设1,m >在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为
3 ．
画出可行域，可知5z x y =+在点1(
,)11m m m
++取最大值为4，解得3m =。

9．已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ,则=α2tan 43-
10. 若函数⎩⎨⎧>++-≤-=0
,5ln 0
,)()(2x a x x x a x x f 的最小值为)0(f ，则实数a 的取值范围
是 .[]0,3
11．已知(1,7),(3,1)OA OB ==
,D 为线段AB 的中点，设M 为线段OD 上的任意一点，（O 为坐标原点），则MA MB ⋅ 的最大值为___________．
【解析】∵ D 为线段AB 的中点 ∴ 1()(2,4)2
OD OA OB =+=
∵M 为线段OD 上的任意一点，∴(01)OM OD λλ=≤≤ ∴(2,4)OM λλ=
∴(12,74),(32,14)MA OA OM MB OB OM λλλλ=-=--=-=--
22
(12)(32)(74)(14)20401020(1)10
MA MB λλλλλλλ⋅=-⋅-+-⋅-=-+=--
∵01λ≤≤
当0λ=时，MA MB ⋅
有最大值，最大值为10
12. 已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是 ▲ ．[1
5]， 13. 设正数数列{}n a 的前n 项之和是n b ，数列{}n b 前n 项之积是n c ，且1n n b c +=，则数列1
{}
n
a 中最接近108的项是第 项． 解析：111n n n n c c
b
c -=-=-，则1111n n c c --
=，又111
2
c b ==，则111(1)11n n n c c =+-⨯=+， 所以11n c n =+，11n n n b c n =-=+，则111
2
a b ==，1111(1)n n n n n a b b n n n n --=-=-=++ 则
1
(1)n
n n a =+，则最接近108的项显然是第10项为110． 14从点()10,0P 作x 轴的垂线交曲线x
y e =于点()10,1Q ，曲线在1Q
点处的切线与x 轴交于点2P ，现从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：
错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

= . 【答案】11
n e e e ---
二、解答题（共90分，第15，16，17题各14分，第18，19，20题各16分） 15. 如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，角α与β的终边分别与单位圆交于
(,)(,)B B C C B x y C x y 、两点，且满足4
π
βα-=
，其中α为锐
角.
（1）当AOB ∆为正三角形时，求OC AB ⋅
；
（2）当3
5
C x =-
时，求AOB S ∆
.
16.在四棱锥S ABCD -中，已知//AB CD ，,,,SA SB SC SD E F ==分别为,AB CD 的中点.
（1）求证：平面SEF ⊥平面ABCD ；
（2）若平面SAB 平面SCD l =，求证：//AB l
17. 如图，某城市有一个边长为4百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群. 建立坐标系（单位：百米），则雕塑群的左上方边缘曲线AB 是抛物线2
4(13,0)y x x y =≤≤≥的一段. 为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路EF （宽度不计），要求直路EF 与曲线AB 相切（记切点为M ），并且将广场分割成两部分，其中直路EF 左上部分建设为主题陈列区. 记M 点到OC
_ S
_ F
_ E
_ D
_ B
_
A
的距离为m （百米），主题陈列区的面积为S （万平方米）. （1）当M 为EF 中点时，求S 的值； （2）求S 的取值范围.
答案：（1）M 点坐标为(,m
曲线AB 方程为)13y x =≤≤
y
'=
)y x m -=-
则点E F 、坐标分别为(E ，()
,4F m
因为M 为EF =4
3
= 所以点E F 、坐标分别为40,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,49F ⎛⎫
⎪⎝⎭
此时1324128
=
(4)29327
S ⨯⨯-=.................................（5分）
（2）由（1）知点E F 、坐标分别为(E ，()
,4F m
因为)
2
4420F x m -=-=-
<，所以4F x <
又0E y =>，所以直路EF 左上部分为CEF ∆
()((111
48222
S CF CE m m =
⋅==+，13m ≤≤
令t =1t ≤，设()()32
18162
S f t t t t ==-+
()()()()211
3161634422f t t t t t '=-+=--
当413t ≤<时，()0f t '>；当4
3
t <≤()0f t '<
所以()max max 4128
327
S f t f ⎛⎫===
⎪⎝⎭
因为9
(1)2
f f =
<=
所以S 的取值范围为128
]27
...........................（12分）
答：（1）当M 为EF 中点时，S 的值为
128
27
； （2）S
的取值范围为128
]27
..........................（14分）
18.如图，椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，B 、F 分别为其短轴的一个端点
和左焦点，且2||=
BF ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左、右顶点为1A ，2A ，过定点)0,2(N 的直线与椭圆C 交于不同的两点1D ，2D ，直线11D A ，22D A 交于点K ，证明点
K 在一条定直线上．
解（1）由已知，2||=
=BF a ，
2
2=
a c ，且2
22c b a +=，2=∴a ，1=b ， 因此椭圆C 的方程2
212
x y +=
………………………4分
（2）由题意，设直线21D D ：)2(-=x k y ，),(111y x D ，),(222y x D ，
联立2
212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得0288)12(2
222=-+-+k x k x k ，则
1282221+=+k k x x ，1
22
82
221+-=⋅k k x x ①………………………8分
设直线11D A ：)2(211++=
x x y y ，22D A ：)2(2
22
--=x x y y ，
联立两直线方程，消去y 得
)
2()
2(222112-+=
-+x y x y x x ②………………………10分 又221112x y +=，22
2212x y +=，并不妨设1D ，2D 在x 轴上方，则2
1211x y -=，
2
122
2x y -= 代入②中，并整理得：
)2)(2()2)(2()2()2(2221212112x x x x x y x y x x --++-=-+=-+2
1212
121)(22)(22x x x x x x x x ++-+++-=
将①代入，并化简得
1
21
222-+-
=-+x x ，解得1=x ， 因此直线11D A ，22D A 交于点K 在定直线1=x 上．
………………………13分
19．已知各项均不为零的数列{}n a 满足1(0)a a a =>，当2n ≥时，1,0,n n n a S S -⋅成等差数列，其中n S 为数列{}n a 前n 项和. （1）用a 表示23,a a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式（用a 表示）；
（3）{}n a 中是否存在连续的三项11,,k k k a a a -+为等差数列？若存在，求出k 及对应的a 的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）由题可得2
212122()()1
a a a a a a a a a a =-+⋅=-+⋅⇒=-+
22
3123123(+)(+)()()11
a a a a a a a a a a a a a =-+⋅=--
+⋅-++ 2
3(1)(21)
a a a a ⇒=-++...................................（3分）
（2）2n ≥时，11n n n n n a S S S S --=-⋅=-，可得
1
111n n S S --=， 即数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，又111S a =，得1
11n
S n a
=+- 2
11
1
11[(1)1][(2)1]12n n n a a S S n a n a n n a a
-=-⋅=-⋅=--+⋅-++-+-
所以2
,1,2[(1)1][(2)1]n a n a a n n a n a =⎧
⎪
=⎨-≥⎪-+⋅-+⎩
...............（8分） （3）2n ≥时，假设存在12,,n n n a a a ++成等差数列，那么有
2222
=[(1)1][(2)1][1][(1)1][1][(1)1][(+1)1][1]
a a a a n a n a na n a na n a n a na --
-+⋅-++⋅-++⋅-++⋅+ 22=
[(1)1][(2)1][1][1][(1)1][(+1)1]
a a
n a n a na na n a n a ⇒
-+⋅-+⋅++⋅-+⋅+ (2)1(1)1n a n a ⇒-+=++，显然不成立；
当1n =时，若123,,a a a 成等差数列，则有22
2(1)(21)1
a a a a a a -=-
+++， 化简可得2
6410a a ++=，又因为164680∆=-⨯=-<，所以方程无解， 即不存在a 使得123,,a a a 成等差数列.
综上，不存在这样的连续三项为等差数列........................（16分）
20. 设函数3
21()(1)43
f x x a x ax a =
+--+，其中a 为常数. （1）当2a =时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）若函数()f x 在区间[0,3]上的最大值为3，求实数a 的取值集合； （3）试讨论函数'()y f x =的图像与函数21
(1)y a x
=-+的图像的公切线条数. 解：（1）当2a =时，3
21()823
f x x x x =
--+ 2'()28(4)(2)f x x x x x =--=-+，令'()0f x <，解得(2,4)x ∈-
即当2a =时，函数()f x 的单调减区间为(2,4)-....................（3分）
（2）2
'()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a =+--=+-
i ：当0a ≤时，'()0f x ≥在区间[0,3]上恒成立，即()f x 单调递增 令max ()(3)18204
f x f a a 3
==-=3⇒=
，所以0a ≤不符合题意...（4分） ii ：当0a >时，2
'()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a =+--=+-
因为()f x 在区间[0,3]上的最大值为3，所以(0)3f a =≤ 当23a ≥，即3
2
a ≥
时， '()0f x ≤在区间[0,3]上恒成立，即()f x 单调递减 令max ()(0)3f x f ==，求得3
32
a =≥，即3a =符合题意.....（6分） 当023a <<，即3
02
a <<
时， '()0f x ≤在区间[0,3]的解集为[0,2]a ，
即函数()f x 在区间[0,2]a 上单调递减，在区间[2,3]a 单调递增 所以{}max ()max (0),(3)f x f f =，又因为(0)3f a =<， 所以令(3)3f =，求得33
42
a =
<，即34a =符合题意
综上，实数a 的取值集合为33,4⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
...............................（8分） （3）设21()(1)g x a x =
-+，并设切点为2001[,(1)]x a x -+，则020
1'()g x x =- 即切线方程为20200
11
(1)()y a x x x x -
++=-- 整理得2200
12+(1)y x a x x =-
-+ 2'()2(1)4f x x a x a =+--,且由题意，令此直线与'()y f x =的图像相切 即22
2
00
122(1)4=(1)x a x a x a x x +---
+-+ 整理可得2
2
200
12(
22)(1)0x a x a x x ++--+-= 令2224200000
1214(1)8(
22)4[(1)]=0a a a x x x x x -∆=+---+-++= 整理得32
00084(1)10(0)x a x x +-+=≠，由题意可知，此方程根的个数即为函数
'()y f x =的图像与函数21
(1)y a x
=
-+的图像的公切线条数.......（10分） 设3
2
()84(1)1h x x a x =+-+，则2
'()248(1)8(31)h x x a x x x a =+-=+-
令'()0h x =，解得0x =或1
3
a x -= i: 当103a -<，即1a <时，'()0h x <的解集为1
(,0)3
a -，列表如下：
由表易得，当0x =时，()f x 取得极小值，
又因为(0)10h =>，所以方程32
00084(1)10(0)x a x x +-+=≠有且仅有一
个实数根，即公切线条数为一条..............................（12分） ii: 当
1
03
a -=，即1a =时，'()0h x ≥恒成立，即()h x 在R 上单调递增 又因为(0)10h =>，所以方程32
00084(1)10(0)x a x x +-+=≠有且仅有一
个实数根，即公切线条数为一条.............................（13分） iii: 当103a ->，即1a >时，'()0h x <的解集为1
(0,)3
a -，列表如下：
由表得，当0x =时，()h x 取得极大值；当1
3
a x -=时，()h x 取得极小值 因为(0)10h =>，3331844
(
)=(1)(1)1(1)1327927
a h a a a ----+=--+ 当3
14()=(1)0327a h a ---+1>
，即1a <<时， 方程32
00084(1)10(0)x a x x +-+=≠有且仅有一个实数根，即公切线条
数为一条
当3
14()=(1)0327a h a ---+1=
，即2=2
a 时，
方程3200084(1)10(0)x a x x +-+=≠有且仅有两个实数根，即公切线条
数为两条
当314()=(1)0327a h a ---+1<，即a > 方程3200084(1)10(0)x a x x +-+=≠有且仅有三个实数根，即公切线条
数为三条
综上，当22a <时，公切线条数为一条；当2=2
a 时，公切线条
数为两条；当22
a >时，公切线条数为三条................（16分）。