借助代换法，妙解三角题

明的结 论 中 以 分 析 证 明．而 通 过 巧 妙 降 次 代 换 ｃｏｓ２犃
＝犪 和ｃｏｓ２犅 ＝犫，结合已知的关系式，把三角函数问题
转化为代 数 式 问 题，得 出 对 应 的 关 系 式，代 入 要 证 明
的关系式，通过代数的方法加以分析与证明．
证
明：设ｃｏｓ２犃
因为狓＋狔 ≠０，所以狓－狔＝１ ２，即ｃｏｓ３６°－ｃｏｓ７２°＝
１ ２．故填答案：１ ２．
点评：把对应 的 三 角 函 数 值 加 以 代 数 化，巧 设 未
知数，利用代数代换，合理构建函数、方程或不等式问
题是求解此 类 问 题 的 最 基 本 的 思 维 方 法，简 单 易 操
作，不失为一种理想的技巧方法．
教学
２０２０年８月 解法探究
参谋
即ｓｉｎ狋ｃｏｓ１π２＝－２ｃｏｓ狋ｓｉｎ１π２，可得ｔａｎ狋＝－２ｔａｎ１π２，则
（ ） ｔａｎ狋＝－２ｔａｎ
π ４
－
π ６
ｔａｎ４π －ｔａｎ６π ＝－２× １＋ｔａｎ４πｔａｎ６π ＝
（ ） ２槡３－４，因此ｔａｎ ＋１π２ ＝２槡３－４．故填：２槡３－４．
角函数的 定 义 代 换，可 以 把 一 些 复 杂、不 易 操 作 的 三 角函数问 题 加 以 转 化，目 标 更 为 明 确，方 法 更 为 直 观
快捷，处理起来更加合理可行．
二、三角函数值的代数代换
通过代数代换，把相应的三角函数问题转化为代 数问题进行分析与处理，这样可以避开解三角函数问 题的绪多麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的．
一、三角函数的定义代换
通过三角函数的定义代换，把相应的三角函数值
问题转化为相应的定义中有关参数狓，狔，狉 的关系式， 利用关于狓，狔，狉 的代数运算，并结合方程的思想来处 理与转化，进 而 求 解 相 应 的 三 角 函 数 值．这 是 解 决 三 角函数问题的特殊思维，回归定义．
例１ 已知ｓｉｎα＋槡２ｃｏｓα＝槡３，则ｔａｎα＝
三、角的整体代换
在三角函数的学习中，往往可以把已知式或待求 式（经常是一些 角 的 和 或 差 的 形 式 ）作 为 一 个 整 体 进
行变 形 代 换，结 合 相 应 的 三 角 公 式 等 加 以 分 析 求 解，
可以达到直接求解，方便巧妙．
（ ） （ ） 例３
已知ｓｉｎ＝３ｓｉｎ
＋
π ６
教学 参谋 解法探究 ２０２０年８月
借助代换法，妙解三角题
? 浙江省慈溪市赫威斯育才高级中学 张贤军
在破解三角函数问题中，经常通过引入变量进行 相应的代换处理，把不易处理的三角函数问题转化成 新变量且易 于 处 理 的 三 角 函 数 问 题．三 角 函 数 问 题 中，借助代换法，往往可以架起已知通向未知的桥梁， 进而合理 转 化 原 问 题 的 结 构，有 效 简 化 解 题 过 程．代 换法用得巧妙，可以起到事半功倍的效果．
．
分析：常规方法 是 利 用 条 件 关 系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式 的 变 换，代 入
三 角函数的平方关系式来分别确定ｓｉｎα 和ｃｏｓα 的值，
从而得以求解ｔａｎα 的值．而通过三角函数定义的代
换，借助三角函数的定义的回归，可以巧妙破解问题．
解析：结合三角函数的定义ｓｉｎα＝狉狔 ，ｃｏｓα＝狉狓 ，
可得ｓｉｎα＋槡２ｃｏｓα＝狉狔
论中的各项次数较高时，可用降次代换达到降次的目
的，这是简化问题的最佳策略．
例４
已 知ｃｏｓ４犃 ｃｏｓ２犅
ｓｉｎ４犃 ＋ｓｉｎ２犅
＝１，求
证：ｃｏｓ４犅 ｃｏｓ２犃
＋
ｓｉｎ４犅 ｓｉｎ２犃 ＝１．
分析：常规 方 法 是 通 过 已 知 条 件 的 转 化 与 变 形，
探究对应的三角函数式之间的关系，再代入到所要证
例２ 计算ｃｏｓ３６°－ｃｏｓ７２°的值为
．
分析：常规方法是借助三角恒等变换中的二倍角
公式加以合 理 转 化 与 应 用，再 通 过 诱 导 公 式 加 以 转
化，处理起来比较复杂．而借助代数的引入代换，转化
为函数问题，破解起来简单易懂．
解析：设 狓 ＝ｃｏｓ３６°，狔 ＝ｃｏｓ７２°，则 由 ｃｏｓ７２°＝ ２ｃｏｓ２３６°－１，可 得 狔 ＝２狓２ －１．又 由 ｃｏｓ３６°＝１－ ２ｓｉｎ２１８°＝１－２ｃｏｓ２７２°，可得狓＝１－２狔２，而狓＋狔＝（１ －２狔２）＋ （２狓２ －１）＝２（狓２ －狔２）＝２（狓＋狔）（狓－狔），
，则ｔａｎ ＋１π２ ＝
． 分析：常规方法是利用已知三角关系式结合三角
恒等变换公式展开，进而求解ｔａｎ的值，再利用ｔａｎ１π２ 的求解，结 合 两 角 和 的 正 切 公 式 来 分 析 与 处 理．而 通 过整体代 换 的 引 入，借 助 参 数 代 换，引 入 参 数 利 用 换
元思维，解题思维就比较清晰有效．
狓 ＋槡２×狉
＝槡３，整理可得狔＋
槡２狓＝槡３狉，两边平方有（狔＋槡２狓）２ ＝狔２ ＋２槡２狓狔＋
２狓２ ＝３狉２ ＝３（狓２ ＋狔２），即２狔２ －２槡２狓狔＋狓２ ＝０．
（ ） （ ） 上式两边同除以狓２，得２ 狔 狓
２
狔
－２槡２ 狓
＋１＝
０，解得狓狔 ＝ｔａｎα＝槡２２．故填答案：槡２２． 点评：巧妙通过 三 角 函 数 的 定 义 的 回 归，借 助 三
点评：引入中间 参 数 作 为 一 个 整 体，利 用 换 元 思
维引入参数将目标角整体换掉，将问题转换为另一个
角的 三 角 函 数 的 求 值 问 题，处 理 起 来 目 标 更 为 明 确，
解答过程变得更为简单易懂，思路独特，解法巧妙，值
得回味．
四、三角函数的降次代换
在破解一些三角函数时，当所求问题的条件或结
解析：设狋＝ ＋１π２，则 ＝狋－１π２，因 为 ｓｉｎ＝
（ ） （ ） （ ） ３ｓｉｎ
＋
π ６
，则有ｓｉｎ狋－１π２ ＝３ｓｉｎ狋＋１π２
，那么
（ ） 有ｓｉｎ狋ｃｏｓ１π２－ｃｏｓ狋ｓｉｎ１π２＝３ｓｉｎ狋ｃｏｓ１π２＋ｃｏｓ狋ｓｉｎ１π２ ，
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