全国卷2017-2010文科数学试题及详细答案分类汇编九圆锥曲线

全国卷2017-2010文数试题及详细答案分类汇编九、圆锥曲线
1、(2010全国文数1)（8）已知1
F 、
2
F 为双曲线C:
221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠
1F P 2F =0
60，则
=
21PF PF
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2、(2010全国文数1)（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为
(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
3、(2010全国文数1) (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且FD BF 2=，则C 的离心率为 .
4、(2010全国文数2)（12）已知椭圆C ：22a x +2
2b y =1（a ＞b ＞0）的离心率为23
，过右焦点F 且斜率k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 亮点，若AF =3FB ，则k =
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2
5、(2010全国文数2)（15）已知抛物线
2
:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜若AM MB =, 则p 2），则它的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、(2010全国文数3)（13）圆心在原点上与直线x+y ﹣2=0相切的圆的方程为 ． 12F AF ∠2||AF =10、(2012全国文数1)(4) 设F 1、F 2是椭圆E ：的左、右焦点，P
为直线
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
|
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
12、（2012全国文数2）（4）设1F ,2
F 是椭圆E ：22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0）的左、右
焦点，P 为直线32
a x =上一点，△21F PF
是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为
A .12
B .23
C .34
D .45
13、（2012全国文数2）（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为
A .2
B .22
C .4
D .8
14、(2013全国文数1)（4）已知双曲线C ：2222=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
，
则C 的渐近线方程为( )．
A ．y ＝14x ±
B ．y ＝13x ±
C ．y ＝1
2
x ± D ．y ＝±x
15、(2013全国文数1)（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )． A ．2 B ．22 C ．23 D ．4
16、(2013全国文数2)（5）设椭圆C ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．
A ．36
B ．13
C ．12
D ．33
17、(2013全国文数2)（10）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝
3
(1)3
x -或y ＝3(1)3x -- C ．y ＝
3(1)3x -或y ＝3(1)3x --D ．y ＝2(1)2x -或y ＝2(1)2
x -- 18、(2013全国文数3)（8）已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．
A ．22x ＋y 2
＝1 B ．
22132x y += C ．22143x y += D ．22154
x y += 19、（2014全国文数1）（4）已知双曲线﹣=1（a ＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A ． 2
B ．
C ．
D ． 1
20、（2014全国文数1）（10）已知抛物线C ：y2=x 的焦点为F ，A （x0，y0）是C 上一点，|AF|=x0，x0=（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 4
D ． 8
21、(2014全国文数2)（10）设F 为抛物线C ：y 2
=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于C 于A ，B 两点，则|AB|=（ ） A ． B ． 6 C ． 12 D ． 7 22、(2013全国文数3)（12）已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝( )． A ．
1
2
B ．2
C ．2
23、（2014全国文数2）（12）设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得
∠OMN=45°，则x 0的取值范围是（ ） A ． [﹣1，1]
B ．[﹣
21，2
1
] C ．[﹣2，2] D ．[﹣
22，2
2] 24、（2015全国文数1）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=（ ）
A ． 3
B ． 6
C ． 9
D ． 12 25、（2015全国文数1）已知F 是双曲线C ：x 2﹣=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，
A （0，6
）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．
26、(2015全国文数2)(7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心
（A ）
13 （B ）12 （C ）23 （D ）3
4
33、（2016全国文数3）（15）已知直线l ：60x +=与圆x2+y2=12交于A 、B
两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD|=
34、（2017全国文数3）（11）已知椭圆)0(,1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右顶点分别
为21,A A ，且以线段21A A 为直径的圆与直线02=+-ab ay bx 相切，则C 的离心率为（ ）
A
36 B 33 C 32 D 3
1
35、（2017全国文数3）（14）双曲线2221(0)9x y a a -
=>的一条渐近线方程为3
5
y x =，则a = 。

x y =22
-1=120°，则m 的取值范围是 （ ）3][9,)+∞ C (0,1][4,)+∞ 全国文数14）曲线
1
y x 在点（1）处的切线方程为
_______________________
（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；
（Ⅱ）设，求△BDK 的内切圆M 的方程． 2、(2010全国文数2)（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线与双曲线相交于B,D 两点,且BD 的中点为M(1,3).(I)求C 的离心率;(II)设C 的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17,证明:过A 、B 、D 三点的圆与轴相切.
3、(2010全国文数3)(20)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． （Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．
4、(2011全国文数1) (22)(本小题满分l2分)
已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2
2
1
2y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为
2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.
(I)证明：点P 在C 上；
(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
5、(2012全国文数1)(20)（本小题满分12分）
设抛物线C ：
py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点， 求坐标原点到m ，n 距离的比值。

6、(2013全国文数1)（21）(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
7、(2013全国文数2)（20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为(1)求圆心P 的轨迹方程；
(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2，求圆P 的方程．
8、(2013全国文数3)（22）(本小题满分12分)已知双曲线C ：22
221x y a b -=(a ＞0，b ＞
0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y ＝2与C .
(1)求a ，b ；
(2)设过F2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
9、（2014全国文数1）（20） (本小题满分12分) 已知点P （2，2），圆C ：x2+y2﹣8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积． 10、（2014全国文数2）（20））（本小题满分12分）
设F1，F2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N ．
（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a ，b ． 2+（y ﹣3）2=1交于点M 、N 两点．
（1）求k 的取值范围；（2）若•=12，其中O 为坐标原点，求|MN|． 12、(2015全国文数2)（20）（本小题满分12分）
22
)n r =及定点(1,0)N
·＝0． （1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；
（2）若动圆M 和k^s*5#u （1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
15、(2016全国文数3)（20）（本小题满分12分） 已知抛物线C ：y2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l1，l2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 16、(2017全国文数3)（20）（12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2+mx –2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
17、（2017全国文数2）（20）（12分）
：2
2x 满足2NP NM =. 上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点焦点F.
）（12分）设 GQ
NP
答案 1、解：B 设
2
1,PF PF 分别为m,n,则由双曲线定义及余弦定理有
2
022)22(60cos 2,2=-+=-mn n m n m ,联立方程组解之得mn=4.
2、D 解：如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=2
1x +，
2sin 1x α=
+，
||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=42
21x x x -+，令PA PB y •=，
则4221x x y x -=+，即42
(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以 2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.
故
min ()322PA PB •=-+.此时21x =
-.
解二：
42
2
1x x y x -=+到此也可用导数来解。

3、2
3
解：如图，
22
||BF b c a =+=, 作
1DD y
⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得
1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c
==,
即32D c
x =
,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a =-=- 又由||2||BF FD =,得
2
32c c a a =-
,整理得22320c a ac -+=. P
A
B
O
x
y
O
A
B
C
D
E
两边都除以2a,得2
320
e e
+-=,解得1()
e=-舍去，或
2
3
e=
.
4、答案：B
解：如右图所示,分别过点A、B作椭圆右准线
的垂线段AD、BC,过点B作BE⊥AD于点E,
由椭圆的第二定义可得
,
BF AF
BC AD
e e
==
,
2
AF BF BF
AE AD BC
e e e
=-=-=
,
∴
2
11
cos
423
BF
AE e
BAE
AB BF e
∠====
,
2
sin
3
BAE
∠=
, 则tan2
k BAE
=∠=, 故应选B.
5、答案：2
解：由题意可得过点M的直线方程为
3(1)
y x
=-,
将2
p
x=-
代入可得点A的坐标为(
3(2)
,
22
p p+
--
),
x
y O M
B A l
由AM MB =可得点B 的坐标为(
3(2)2,22p p ++
),
代入2
2y px =可得23(2)2(2)42p p
p +=+, 解之得6p =-(舍去)或2p =.
6、解：∵渐近线的方程是y=±x ，
∴2=•4，=，a=2b ，
c==a ，e==，
即它的离心率为．
故答案选D ．
7、解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x 2+y 2=2．
故答案为：x 2+y 2=2
8、答案：C
解析：由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则
22(4)(1)a a a =-+-,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出
21212122[()4]2(100417)8C C a a a a =+-=⨯-⨯=.
9、答案：6
解析：
AM 为12F AF ∠的平分线，∴
2211||||41
||||82
AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===.
10、解析：如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，
212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2
a
F Q c =
-， 所以
32a c c -=，解得34c a =，因此3
4
c e a ==，故选择C 。

11、解析：设等轴双曲线C的方程为
22
22
1
x y
a a
-=，
即222
x y a
-=（0
a>），
抛物线216
y x
=的准线方程为4
x=-，
联立方程
222
4
x y a
x
⎧-=
⎨
=-
⎩
，解得22
16
y a
=-，
因为||
AB=，
所以222
||(2||)448
AB y y
===，从而212
y=，
所以2
1612
a
-=，24
a=，2
a=，
因此C的实轴长为24
a=，故选择C。

12、解析：∵△
21
F PF是底角为0
30的等腰三角形，
∴0
2
60
PF A
∠=，
212
||||2
PF F F c
==，∴
2
||
AF=c，∴
3
2
2
c a
=，∴e=
3
4
，故选C.
13、解析：由题设知抛物线的准线为：4
x=，设等轴双曲线方程为：222
x y a
-=，将4
x=代入等轴双曲线方程解得y=，∵||
AB=
解得a=2，
∴C的实轴长为4，故选C.
而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，
∴3
2a x =
=，∴3c e a ===
. 17、答案：C
解析：由题意可得抛物线焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.
当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线，垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.
l
、答案：C
解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝3
2
，|F 1F 2|＝2， 由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －
3
2
.① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2
＝|AF 2|2
＋|F 1F 2|2
＝2
32⎛⎫
⎪⎝⎭
＋22.②
由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2
＝3.∴椭圆C 的方程为22143
x y +=，应选C ． 19、答案：D 解析：双曲线的离心率e=
=2，解答a=1
20、答案：A
解析：由抛物线的定义，可得|AF|=x 0+，∵|AF|=x 0，∴x 0+=x 0，∴x 0=1 21、答案： C
解析：由y 2=3x 得其焦点F （，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y 2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程
为y=tan30°（x ﹣）=
（x ﹣）．代入抛物线
方程，消去y ，得16x 2﹣168x+9=0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=，所以|AB|=x 1++x 2+=++
=12
22、答案：D
解析：设AB ：y ＝k (x －2)，代入y 2
＝8x 得： k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
∴x 1＋x 2＝22
48
k k
+， x 1x 2＝4.(*)
∵MA ·MB ＝0，
∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0， 即(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.
∴x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.① ∵1122
2,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②
y 1·y 2＝k 2
(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③ 由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．
23、答案： A
解析：由题意画出图形如图：∵点M （x 0，1），∴若在圆O ：x 2+y 2
=1上存在点N ，使得∠OMN=45°，
∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M ′显然不满足题意， 当MN 垂直x 轴时，满足题意，∴x 0的取值范围是[﹣1，1]．
24解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c ，0）与抛物线C ：y 2=8x 的焦点（2，0）重合，
可得c=2，a=4，b 2=12，椭圆的标准方程为：
，抛物线的准线方程为：x=﹣2，
由，解得y=±3，所以a （﹣2，3），B （﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B ．
25、解：由题意，设F′是左焦点，则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A ，P ，F′三点共线时，取等号）， 直线AF′的方程为与x 2﹣=1联立可得y 2+6y ﹣96=0，
∴P 的纵坐标为2
，
∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为﹣
=12．
故答案为：12．
26、解：根据题意，三角形ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为D ，则D （1，3
3
2）所以，
.3
2137341==+
=OD 故选B. 27、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（
1
422
=-∴y x 双曲线的标准方程为
28、
答案:B 如图，由题意得在椭圆中，
11
OF c,OB b,OD 2b b
42===⨯= 在Rt OFB ∆中，|OF||OB||BF||OD |⨯=⨯，且222
a b c =+，代入解得
22a 4c =，所以椭圆得离心率得：
1
e 2=
，故选B.
29、答案:4π
圆22:220C x y ay +--=，即
222
:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由
解析:由题意
22
2
222
11
1
c a
e
a a
a
+
===+，因为1
a>，所以
2
1
112
a
<+<，则1e
<<
37、答案：C
解析：由题知:1)
MF y x
=-，与抛物线24
y x
=联立得2
31030
x x
-+=，解得12
1
,3
3
x x
==
所以(3,
M，因为MN l
⊥，所以(1,
N-，因为(1,0)
F，所以:1)
NF y x
=-
所以M到NF=
38、答案:D
解析:由题意双曲线方程为，如图所示，因为，，所以
，即右焦点。

因为与轴垂直，所以设。

由点在双曲线上，解得或，则的长为，在中，边上的高，所以。

39、答案:A
解析:当时，长轴在轴上，考虑边界情况当点在轴上时取最大值为，画出图如图所示，
因为
，
，所以，又因为
，
，
，所以
，故短轴长只能小于此边界情况才能满足题目条件上存在点满足
，故。

当
时，长轴在轴上，考虑边界情况当点
在轴上时
取最大值为
，画
出图如图所示，
同理可得
，所以
，故长轴只能大于此边界情况才能满
足题目条件上存在点满足，故。

综上有。

40、1y x =+ 因为
，所以。

当
时，，即曲线在点处的切线方程
斜率为，故该切线方程为，即。

解答题：
1、解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（-1，0）的直线L：x=my-1，
代入①，整理得
y2-4my+4=0，
设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1+y2=4m，y1y2=4，
点A关于X轴的对称点D为（x1，-y1）．
BD的斜率k1==，
BF的斜率k2=．
要使点F在直线BD上
需k1=k2
需4（x2-1）=y2（y2-y1），
需4x2=y22，
上式成立，∴k1=k2，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）=（x1-1，y1）（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（my1-2）（my2-2）+y1y2=4（m2+1）-8m2+4=8-4m2=，
∴m2=，m=±．
y2-y1==4=，
∴k1=，BD：y=（x-1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y-1和到BD的距离相等，即
|a+1|×=|（（a-1）|×，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=．
∴半径r=，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x-）2+y2=．
2、解：(I)由题设知,的方程为代入C的方程,并化简,得
设, 则
①由为BD的中点知
故即②
故所以C的离心率(II)由①、②知C的方程为:故不妨设
又
故解得(舍去)
故
连结MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,
从而MA=MB=MD,且MA⊥轴,因此以M为圆主,
MA 为半径的圆经地A、B、D三点,且在点A处与轴相切, 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切
3、解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4
又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得
（2）L的方程式为y=x+c，其中
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，
化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．
则．
因为直线AB的斜率为1，所以
即．
则．
解得
．
4、解析：(I)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2
212
y x +=并化简得
2410x --=. …………………………2分 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,
则12x x =
121212)21,x x y y x x +=
+=++=
由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-
所以点P 的坐标为(1)-.
经验证点P 的坐标(1)
-满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上 …6分
(II)由P
(1)-和题设知，Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为 |221|||x x -=|211|)(+-|
（II ）法二：22tan (1)(1)
11PA PB PA PB k k APB y y k k -∠==
----+ 214()3x x -==
同理
22tan 1111QB QA QA QB k k AQB y y k k -∠==
--+ 214()3x x -==-
所以,APB AQB ∠∠互补，
因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

依题意设直线n 的方程为3
y x b =
+， 联立22y b x py
⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
，得2203x px pb --=， 因为直线n 与C 只有一个公共点，所以24803p pb ∆=+=，从而6
p
b =-。

所以直线n 的方程为6p y x =-，原点O 到直线n 的距离2p
d = 因此坐标原点到m ，n 距离的比值为12236
p d
p
d ==。

当直线m 的斜率为-m ，n 距离的比值也为
3。

综上，|AB |＝|AB |＝187
. 7、解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.
从而y 2＋2＝x 2
＋3.
故P 点的轨迹方程为y 2－x 2
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)2=
. 又P 点在双曲线y 2－x 2
＝1上，
从而得0022
1
0||1,1.x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由0022
001,1x y y x -=⎧⎨
-=⎩得00
0,
1.x y =⎧⎨=-⎩ 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
由0022
001,1x y y x -=-⎧⎨-=⎩得00
0,1.x y =⎧⎨=⎩ 此时，圆P 的半径r =故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.
故
2
2
62
83
k
k
=-
-
，
解得24 5
k=，从而x1·x2＝
19
9 -.
由于|AF2|
＝1－3x1，
|BF2|
＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
9、解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则，．
由题意可得：．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．由于点P在圆C内部，
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．
∵k ON=3，∴直线l的斜率为﹣．∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．
10、解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），
若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2﹣﹣a2=0，
则，解得e=．
（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，
则，即代入椭圆方程得，
将b2=4a代入得，解得a=7，b=
11、（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由=1，解得：k1=，k2=．
故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于
M，N两点．
（2）设M（x，y）；N（x，y），
2
可得（1+k）x﹣4（k+1）x+7=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，
由•=x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．
上面两个式子相减得：
.2222121.0)()(2212112122
1222122n
m
n m y y x x x x y y x x y y -==⨯-=++-=--=-+-变形得
.2
1
)2(1212-=⨯-=⨯--=
⋅∴m n n m m n x x y y k k om l （定值）
13、先确定),(2
t p t N ,ON 的方程为x t
p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得
01=x ,p t x 2
22=,得)2,2(
2t p t H ,由此可得N 为OH 的中点,即2|
||
|=ON OH .（II ）
（Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 、解：（1）点，
或点与又∴点的轨迹是以2,NP NQ =∴Q 0GQ NP ⋅=G Q |||||||||GM GN GM GP +=+=G ,M N
且，
∴的轨迹方程是
…………6分 （2）解：不存在这样一组正实数，下面证明： ……7分
由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时， 设之为，故直线的方程为：
，设，中点，
则，两式相减得：．…………9分
注意到
，
且 ， 2,1a c ==b G ==∴22
1.43x y +=MN k MN (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y AB 00(,)D x y 22
1122
221431
4
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=12121
y y x x k -=--12012
022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
由题设可得
2
21211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .
当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a .
而y b a =+2
，所以)1(12≠-=x x y .
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12 16、解析：
（1）令）（0,1x A ，）（0,2x B ，又）
（1,0C 1x ，2x 为022=-+mx x 的根
0∆>
⎩⎨
⎧-=-=+22
121x x m
x x ………………………..2 假设BC AC ⊥成立，0=⋅∴C B C A
)1,()1,-011x x C A -==（ ，)1,()1,-022x x C B -==（ 0121≠+=⋅∴x x C B C A
∴不能出现BC AC ⊥的情况 (4)
（2）令圆与y 轴的交点为）
（1,0C ，）（3,0y D 令圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ………………………………..6 令0=y 得02=++F Dx x 的根为1x ，2x
2-==∴F m D ，
令0=x 得02=++F Ey y ……. ①……………………………..8 点）
（1,0C 在①上，021=-+∴E 1=∴E 022=-+∴y y 解得1=y 或2-=y ………………………….10 23-=∴y
∴在y 轴上的弦长为3，为定值 (12)
17、⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又0
NM ⎛== ⎝
∴
M x y ⎛⎫
⎪⎝
⎭，又M 在椭圆上．
∴2
21
2x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，，
()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=． 设直线OQ ：3
Q
y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y =
当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±
从而12||AB x x -=.
由题设知||2||AB MN =，即2(1)m +，解得7m =. 所以直线AB 的方程为7y x =+.。