等比数列求和错位相减

等比数列求和错位相减
等比数列求和错位相减是一种利用等比数列的性质来求和的方法。

所谓等比数列是指一个数列中每个数与它前面的数之比都相同，比值
叫做公比。

假设有一个等比数列a1, a2, a3, …… , an，公比为r，那么它
的前n项和Sn为:
Sn = (a1(1 - r^n))/(1 - r)
这个公式可以用错位相减的方法来证明。

具体步骤如下：
1.假设有两个等比数列a1, a2, a3, …… , an和ar, ar+1,
ar+2, …… , ar+n-1，公比均为r。

2.将两个数列错位排列，如下所示：
a1 a2 a3 …… an
ar ar+1 ar+2 …… ar+n-1
3.将两个数列相加，得到：
(a1+ar) (a2+ar+1) (a3+ar+2) …… (an+ar+n-1)
4.将第1项乘以公比r，得到a1r。

再将第2项乘以公比r，得到
a2r+ar。

以此类推，最后一项乘以r就是anr+ar+n-1。

5.然后将上一步得到的结果减去原来的数列中的各项，得到：
(a1r-ar) (a2r-ar-1) (a3r-ar-2) …… (anr-ar-n+1)
6.这个新的数列实际上是一个等差数列，公差为r-1。

7.对这个等差数列求和，得到
S = [(a1+ar)r^(n-1) - (an+ar)n]/(r-1)^2
8.根据a1=Sn, ar=Sn-Sn-1，代入上式，可以得到：
Sn = [(a1^2-a1a2)+(a2^2-a2a3)+...+(an-1)^2-(an-1)an]/(a1-a2)
这个式子就是等比数列求和错位相减的公式，它可以用来直接求出等比数列的和。