角动量守恒例题备课讲稿

长为L 的均匀直棒，质量为M ，上端用光滑水平轴吊起静止下垂。

今有一质量为m 的子弹，以水平速度v 0 射入杆的悬点下距离为a 处而不复出。

（1）子弹刚停在杆中时杆的角速度多大？
（2）子弹冲入杆的过程中（经历时间为Δt ），杆上端受轴的水平和竖直分力各多大？
（3）要想使杆上端不受水平力，则子弹应在何处击中杆？
解：把子弹和杆看作一个系统。

系统所受的力有重力和轴对杆的约束力。

在子弹射入杆的极短时间内，重力和约束力均通过轴，因而它们对轴的力矩均为零，系统的角动量守恒，于是有
ω)31(2
20ma Ml a mv +=
22033ma ML a
mv +=∴ω
（2）解法1：对子弹与杆系统，根据动量定理，在水平方向有
0p p t F x -=∆
ωωmd l
M mv Mv p mv p c +=+==2,00
t v
m t ma l M F x ∆-∆+=∴0
)2(ω
此即为轴在水平方对杆上端的作用力，与v 0的方向相反。

在竖直方向上有
222)(ωωmd l
M g m M F y +=+-
)(222g d m Mg l
M F y +++=∴ωω
如略去m ，则 Mg l M F y +=2
2ω
（2）解法2：子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力的大小为：
t mv ma t mv mv f ∆-
=∆-=0
0'ω
杆受子弹的水平冲力为 t ma mv f f ∆-=-=ω
0'
对杆用质心运动定律
t l
M Ma f F C x ∆==+2ω )
2(l
t r a t t ∆==∆=∴∆=ω
αω
ααω
t v m t ma l
M Ma f F C x ∆-∆+=+-=∴0
)2(ω
此即为轴在水平方对杆上端的作用力，与v 0的方向相反。

在竖直方向上有
222
)(ωωmd l M g m M F y +=+- )(2
22g d m Mg l M F y +++=∴ωω 如略去m ，则 Mg l M F y +=22
ω
（3）由0=∴x F 可得：
m ML
v a 20-=ω 将22033md ML a
mv +=ω代入得
m Ml
md Ml ma a 2332
2-+=解得
l a 32=。