最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形小结与复习》优质教学课件
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∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF. ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC. ∴ OE＝OC，OF＝OC. ∴ OE＝OF. 当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形.
(2) 当点 D 在边 BC 的延长线上时，如图②；当点 D在 边 BC 的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、 图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3) 若 AC = 6，DE = 4，求 DF 的值． 解：(2) 图②中：AC + DE = DF．
图③中：AC + DF = DE． (3) 当如图①的情况，
且 AD = BC，这样能使雨刷 EF 在运动时，始终垂
直于玻璃窗下沿 BC，请证明这一结论．
证明：∵ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC.
又∵ EF⊥AD， ∴ EF⊥BC．
图 图
考点二 三角形的中位线 例3 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB， BC，CA 的中点，AH 是边 BC 上的高． (1) 求证：四边形 ADEF 是平行四边形； (2) 求证：∠DHF=∠DEF． 证明：(1) ∵点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
B O
BD=6，则菱形ABCD的面积为__3_0___． A
C
D
9. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1) 求证：△ABE≌△DAF； (2) 若∠G＝30°，求EF的长. (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD. 在△ABE 和△DAF 中，
证明：∵ DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴ DE∥AB，DF∥AC， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形， 又∵∠BAC = 90°， ∴ 平行四边形 AEDF 是矩形， ∴ EF = AD．
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC， 两线相交于点 E． 求证：四边形 AODE 是菱形. 证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
DF = AC - DE = 6 - 4 = 2； 当如图②的情．
针对训练 1.如图，在▱ABCD 中，∠ODA = 90°，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为 （ A ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．8 cm
∴ DE∥BC，DE =1 BC，DC =1 AB.
∵
CF
=
1 2
BC，
2
2
∴ DE ∥FC，DE = FC，
∴四边形 DEFC 是平行四边形.
∴DC = EF，∴ EF =1 AB = 6．
2
针对训练 4.如图，等边三角形 ABC 中，点 D，E 分
别为 AB，AC 的中点，则∠DEC 的度数为( B )
∠DHA +∠FHA =∠DHF， ∴∠DHF = ∠BAC， ∴∠DHF = ∠DEF．
例4 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别
是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF = 1 BC．
若 AB = 12，求 EF 的长．
2
解：连接 CD，
∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
5.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，
立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB = 4 m，∠A = 30°，
则 DE 等于
（ A）
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
6.如图，在△ABC 中，∠CAB = 90°，DE、DF 是 △ABC 的中位线，连接 EF、AD，求证：EF = AD．
∴△ABE≌△DAF (ASA).
(2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠1＝∠G＝30°. 在 Rt△ADF 中，AD＝2， ∴ DF＝1，AF＝ 3 . 由 (1) 得△ABE≌△DAF， ∴ AE＝DF＝1. ∴ EF＝AF－AE＝ 3－1.
是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形 CEBO 是矩形.
理由如下：已知四边形 ∴AC⊥BD.
ABCD
是菱形.
A
∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， D
B
O
E
C
∴ 四边形 CEBO 是平行四边形.
∴ 四边形 CEBO 是矩形.
例6 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂 直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE.
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD. ∴ OA = OC = OD. ∴ 四边2 形 AODE 是菱形.2
【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作
BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO
2.如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，
AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的
周长是
（ B）
A．45 cm B．59 cm
C．62 cm D．90 cm
3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作
原理如图．雨刷 EF⊥AD，垂足为 A，AB = CD，
∴ DE、EF 都是△ABC 的中位线，
∴ EF∥AB，DE∥AC，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形.
(2) ∵四边形 ADEF 是平行四边形， ∴∠DEF =∠BAC， ∵ D，F 分别是 AB，CA 的中点，
AH 是边 BC 上的高， ∴ DH = AD，FH = AF， ∴∠DAH = ∠DHA，∠FAH = ∠FHA， ∵∠DAH +∠FAH =∠BAC，
2
2
即 GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形 DEGF 是平行四边形.
(2)∵ 点 G 是 BC 的中点，BC＝12，
∴ BG＝CG＝ 1 BC＝6.
∵四边形
2
AGCD
是平行四边形，DC＝10，
AG＝DC＝10，
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB＝8，
∴四边形 AGCD 的面积为 6×8＝48.
2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝ 90°，AG∥CD 交 BC 于点 G，点 E、F 分别为 AG、CD 的中点，连接 DE、FG.
(1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； 解：四边形 BECF 是菱形． 理由如下：∵ EF 垂直平分 BC， ∴ BF＝CF，BE＝CE. ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°. ∴∠2＝∠A.
∴ CE＝AE，∴ BE＝AE. ∵ CF＝AE， ∴ BE＝CE＝CF＝BF. ∴ 四边形 BECF 是菱形.
(2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正 方形？请回答并证明你的结论． 解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°. ∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形).
例2 在△ABC 中，AB = AC，点 D 在边 BC 所在的直 线上，过点 D 作 DF∥AC 交直线 AB 于点 F， DE∥AB 交直线 AC 于点 E． (1)当点 D 在边 BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC.
证明：∵ DF∥AC，DE∥AB， ∴ 四边形 AFDE 是平行四边形． ∴ AF = DE. ∵ DF∥AC，∴∠FDB = ∠C. 又∵ AB = AC， ∴ ∠B = ∠C， ∴ ∠FDB =∠B，∴ DF = BF. ∴ DE + DF = AF + BF = AB = AC.
第十八章 平行四边形
小结与复习
要点梳理 一、几种特殊四边形的性质
项目 四边形
边
对边平行 且相等
对边平行 且相等
角
对角相等 四个角 都是直角
对角线 互相平分 互相平分且相等
对称性 轴对称图形
对边平行 且四边相等
对角相等
互相垂直且平分，每一条 对角线平分一组对角
轴对称图形
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角
考点四 本章解题思想方法
分类讨论思想 例8 在一个平行四边形中，若一个
角的平分线把一条边分成长是2 cm和3 cm的两条线
段，求该平行四边形的周长是多少. 解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB = CD， AD = BC ，AD∥BC， ∴∠AEB = ∠CBE． 又∠ABE =∠CBE， ∴ ∠ABE =∠AEB，∴ AB = AE． (1) 当 AE = 2 时，则平行四边形的周长= 2×(2+5) = 14. (2) 当 AE = 3 时，则平行四边形的周长= 2×(3+5) = 16.
菱形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂 直的平行四边形，3.四条边都相等的四边形
正方形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且 一组邻边相等
四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离叫做两条平行线之间的距离.
方法总结 正方形的判定方法： ① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组 邻边相等； ② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个 角为直角； ③ 先判定四边形是平行四边形，再证明邻边相等 且有一角为直角，或对角线互相垂直且相等．
例7 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E， 交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.
(1)求证：四边形 DEGF 是平行四边形； (2)如果点 G 是 BC 的中点，且 BC＝12，DC＝10，求
四边形 AGCD 的面积． 解：(1)∵ AG∥DC，AD∥BC， ∴ 四边形 AGCD 是平行四边形， ∴ AG＝DC.
∵ E、F 分别为 AG、DC 的中点，
∴ GE＝ 1 AG，DF＝ 1 DC，
针对训练 7.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板 ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ B ） A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，
(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？
解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角 时，四边形 AECF 是正方形．
由 (2) 知四边形 AECF 是矩形， 而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时， ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形．
互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角
轴对称图形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
矩形
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
(1) 求证：∠ECF＝90°； (2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请
说明理由； (1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF
平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ 1×180°＝90°.
2
(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是 矩形. 理由如下：
(2) 当点 D 在边 BC 的延长线上时，如图②；当点 D在 边 BC 的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、 图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3) 若 AC = 6，DE = 4，求 DF 的值． 解：(2) 图②中：AC + DE = DF．
图③中：AC + DF = DE． (3) 当如图①的情况，
且 AD = BC，这样能使雨刷 EF 在运动时，始终垂
直于玻璃窗下沿 BC，请证明这一结论．
证明：∵ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC.
又∵ EF⊥AD， ∴ EF⊥BC．
图 图
考点二 三角形的中位线 例3 如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB， BC，CA 的中点，AH 是边 BC 上的高． (1) 求证：四边形 ADEF 是平行四边形； (2) 求证：∠DHF=∠DEF． 证明：(1) ∵点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，
B O
BD=6，则菱形ABCD的面积为__3_0___． A
C
D
9. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1) 求证：△ABE≌△DAF； (2) 若∠G＝30°，求EF的长. (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD. 在△ABE 和△DAF 中，
证明：∵ DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴ DE∥AB，DF∥AC， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形， 又∵∠BAC = 90°， ∴ 平行四边形 AEDF 是矩形， ∴ EF = AD．
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC， 两线相交于点 E． 求证：四边形 AODE 是菱形. 证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
DF = AC - DE = 6 - 4 = 2； 当如图②的情．
针对训练 1.如图，在▱ABCD 中，∠ODA = 90°，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为 （ A ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．8 cm
∴ DE∥BC，DE =1 BC，DC =1 AB.
∵
CF
=
1 2
BC，
2
2
∴ DE ∥FC，DE = FC，
∴四边形 DEFC 是平行四边形.
∴DC = EF，∴ EF =1 AB = 6．
2
针对训练 4.如图，等边三角形 ABC 中，点 D，E 分
别为 AB，AC 的中点，则∠DEC 的度数为( B )
∠DHA +∠FHA =∠DHF， ∴∠DHF = ∠BAC， ∴∠DHF = ∠DEF．
例4 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别
是边 AB，AC 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF = 1 BC．
若 AB = 12，求 EF 的长．
2
解：连接 CD，
∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
5.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，
立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB = 4 m，∠A = 30°，
则 DE 等于
（ A）
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
6.如图，在△ABC 中，∠CAB = 90°，DE、DF 是 △ABC 的中位线，连接 EF、AD，求证：EF = AD．
∴△ABE≌△DAF (ASA).
(2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠1＝∠G＝30°. 在 Rt△ADF 中，AD＝2， ∴ DF＝1，AF＝ 3 . 由 (1) 得△ABE≌△DAF， ∴ AE＝DF＝1. ∴ EF＝AF－AE＝ 3－1.
是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形 CEBO 是矩形.
理由如下：已知四边形 ∴AC⊥BD.
ABCD
是菱形.
A
∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， D
B
O
E
C
∴ 四边形 CEBO 是平行四边形.
∴ 四边形 CEBO 是矩形.
例6 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂 直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE.
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD. ∴ OA = OC = OD. ∴ 四边2 形 AODE 是菱形.2
【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作
BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO
2.如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，
AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的
周长是
（ B）
A．45 cm B．59 cm
C．62 cm D．90 cm
3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作
原理如图．雨刷 EF⊥AD，垂足为 A，AB = CD，
∴ DE、EF 都是△ABC 的中位线，
∴ EF∥AB，DE∥AC，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形.
(2) ∵四边形 ADEF 是平行四边形， ∴∠DEF =∠BAC， ∵ D，F 分别是 AB，CA 的中点，
AH 是边 BC 上的高， ∴ DH = AD，FH = AF， ∴∠DAH = ∠DHA，∠FAH = ∠FHA， ∵∠DAH +∠FAH =∠BAC，
2
2
即 GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形 DEGF 是平行四边形.
(2)∵ 点 G 是 BC 的中点，BC＝12，
∴ BG＝CG＝ 1 BC＝6.
∵四边形
2
AGCD
是平行四边形，DC＝10，
AG＝DC＝10，
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理得 AB＝8，
∴四边形 AGCD 的面积为 6×8＝48.
2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝ 90°，AG∥CD 交 BC 于点 G，点 E、F 分别为 AG、CD 的中点，连接 DE、FG.
(1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； 解：四边形 BECF 是菱形． 理由如下：∵ EF 垂直平分 BC， ∴ BF＝CF，BE＝CE. ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°. ∴∠2＝∠A.
∴ CE＝AE，∴ BE＝AE. ∵ CF＝AE， ∴ BE＝CE＝CF＝BF. ∴ 四边形 BECF 是菱形.
(2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正 方形？请回答并证明你的结论． 解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°. ∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形).
例2 在△ABC 中，AB = AC，点 D 在边 BC 所在的直 线上，过点 D 作 DF∥AC 交直线 AB 于点 F， DE∥AB 交直线 AC 于点 E． (1)当点 D 在边 BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC.
证明：∵ DF∥AC，DE∥AB， ∴ 四边形 AFDE 是平行四边形． ∴ AF = DE. ∵ DF∥AC，∴∠FDB = ∠C. 又∵ AB = AC， ∴ ∠B = ∠C， ∴ ∠FDB =∠B，∴ DF = BF. ∴ DE + DF = AF + BF = AB = AC.
第十八章 平行四边形
小结与复习
要点梳理 一、几种特殊四边形的性质
项目 四边形
边
对边平行 且相等
对边平行 且相等
角
对角相等 四个角 都是直角
对角线 互相平分 互相平分且相等
对称性 轴对称图形
对边平行 且四边相等
对角相等
互相垂直且平分，每一条 对角线平分一组对角
轴对称图形
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角
考点四 本章解题思想方法
分类讨论思想 例8 在一个平行四边形中，若一个
角的平分线把一条边分成长是2 cm和3 cm的两条线
段，求该平行四边形的周长是多少. 解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB = CD， AD = BC ，AD∥BC， ∴∠AEB = ∠CBE． 又∠ABE =∠CBE， ∴ ∠ABE =∠AEB，∴ AB = AE． (1) 当 AE = 2 时，则平行四边形的周长= 2×(2+5) = 14. (2) 当 AE = 3 时，则平行四边形的周长= 2×(3+5) = 16.
菱形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂 直的平行四边形，3.四条边都相等的四边形
正方形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且 一组邻边相等
四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直 线的距离叫做两条平行线之间的距离.
方法总结 正方形的判定方法： ① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组 邻边相等； ② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个 角为直角； ③ 先判定四边形是平行四边形，再证明邻边相等 且有一角为直角，或对角线互相垂直且相等．
例7 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E， 交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF.
(1)求证：四边形 DEGF 是平行四边形； (2)如果点 G 是 BC 的中点，且 BC＝12，DC＝10，求
四边形 AGCD 的面积． 解：(1)∵ AG∥DC，AD∥BC， ∴ 四边形 AGCD 是平行四边形， ∴ AG＝DC.
∵ E、F 分别为 AG、DC 的中点，
∴ GE＝ 1 AG，DF＝ 1 DC，
针对训练 7.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板 ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ B ） A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，
(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？
解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角 时，四边形 AECF 是正方形．
由 (2) 知四边形 AECF 是矩形， 而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时， ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形．
互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角
轴对称图形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
平行 四边形
矩形
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
(1) 求证：∠ECF＝90°； (2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请
说明理由； (1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF
平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ 1×180°＝90°.
2
(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是 矩形. 理由如下：