【精选试卷】厦门数学高二下期末测试(含答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13896]ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设
1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）
A ．
121126
e e - B ．1211
26
e e -
+ C ．
1211
26
e e + D ．
1217
26
e e + 2．(0分)[ID ：13885]O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）
A ．以A
B 为底面的等腰三角形 B ．以B
C 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形 3．(0分)[ID ：13872]若将函数1()cos 22
f x x =的图像向左平移6π
个单位长度，则平移后
图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(
,0)12
π
B ．(
,0)6
π
C ．(
,0)3
π
D ．(
,0)2
π
4．(0分)[ID ：13869]已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin 02
C
x x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
5．(0分)[ID ：13848]已知函数()(0,0)y sin x ωθθπω=+<为偶函数，其图象与直线
1y =的某两个交点横坐标为1x 、2x ，若21x x -的最小值为π，则（ ）
A ．2,2
π
ωθ==
B ．1,22
=
=πωθ C ．1,24
=
=π
ωθ D ．2,4
==
π
ωθ
6．(0分)[ID ：13846]设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在
[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[
)4,5ππ
B ．[]
4,5ππ
C ．11,54ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
7．(0分)[ID ：13917]若O 为ABC ∆所在平面内一点，
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）．
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．以上答案均错
8．(0分)[ID ：13914]若()
2sin sin
sin
7
7
7
n n S n N π
ππ
︒=+++∈，则在中，正数的
个数是（ ） A ．16
B ．72
C ．86
D ．100
9．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则
=λ
μ
( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
10．(0分)[ID ：13902]已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫
=
⎨⎬⎩⎭
,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3π
B ．2π
C ．π
D ．
π2
11．(0分)[ID ：13901]已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，
21n j a n ⋅=+，其中*n ∈N ，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）
A ．n θ随着n 的增大而增大
B ．n θ随着n 的增大而减小
C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小
D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大
12．(0分)[ID ：13899]若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+
B ．23
C ．4
D ．12
13．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
,则sin 2α=（ ） A ．
310
B ．
35 C ．65
-
D ．125
-
14．(0分)[ID ：13832]如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若
,AB a AC b ==,则AO =（ ）
A ．
1122
a b + B ．
11
24
a b + C ．
11
42
a b + D ．
11
44
a b +
15．(0分)[ID ：13831]设000
20
12tan15cos 22,,21tan 15a b c ===+，则有（ ） A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
二、填空题
16．(0分)[ID ：14004]已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪
⎝
⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________.
17．(0分)[ID ：13993]已知点1,0A ，M ，N 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足
0AN MN ⋅=.若点P 满足2MP NP =，则点P 的轨迹方程是______.
18．(0分)[ID ：13991]在△ABC 中，120A ∠=︒，21
33
AM AB AC =
+，1
2
AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为____________．
19．(0分)[ID ：13970]若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实
数λ=__________．
20．(0分)[ID ：13969]已知1cos()63
π
α+=，则5sin(2)6π
α+=________．
21．(0分)[ID ：13968]函数1ππ
()sin ()cos ()536
f x x x =
++-的最大值为___________. 22．(0分)[ID ：13960]已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，
q ∈Z ）．
定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________； 若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．
23．(0分)[ID ：13955]已知(,)P x y 是椭圆22
143
x y +=上的一个动点，则x y +的最大值
是__________．
24．(0分)[ID ：13943]已知已知sin π3
()25
α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于
__________
25．(0分)[ID ：13941]已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为
3
π
，则|2|a b -=__________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：14108]已知函数f (x )3
2
=
sin2x +cos 2x . （1）求函数f (x )的最小正周期和最大值； （2）求函数f (x )的单调递增区间. 27．(0分)[ID ：14099]已知23cos(),(,)4
1024
x x π
ππ-=
∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3
x π
+的值. 28．(0分)[ID ：14074]已知α∈0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，tanα＝
1
2
，求： (1)tan2α的值； (2)sin 23πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值． 29．(0分)[ID ：14047]已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示
（1）求函数()f x 的解析式； （2）写出函数()f x 的单调递增区间
（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值. 30．(0分)[ID ：14063]已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛
⎫
⎛
⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最大值为1．
（1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．A
2．B
3．A
4．B
5．A
6．A
7．A
8．C
9．B
10．A
11．B
12．B
13．B
14．B
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
17．【解析】【分析】设点MNP三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M坐标（a0）N坐标（0b）点P坐标（xy）则=（-1b）=（-ab）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平
18．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
19．【解析】依题设由∥得解得
20．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力
22．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；
23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
24．【解析】由题意得
25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算求解即可. 【详解】
由题, ()
12111111322626
MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=
+-=-=-.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+
OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为
故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．
点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23
y x π
=
+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.
向左平移
6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，则其对称中心为
(),0122k k Z ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状． 详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22
C
=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=
1
2
x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，
∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．
点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．A
解析：A 【解析】
分析：首先根据12x x -的最小值是函数的最小正周期，求得ω的值，根据函数是偶函数，求得θ的值，从而求得正确的选项.
详解：由已知函数sin()(0)y x ωθθπ=+<<为偶函数，可得2
π
θ=
，因为函数
sin()(0)y x ωθθπ=+<<的最大值为1，所以21x x -的最小值为函数的一个周期，所
以其周期为T π=，即
2=π
πω
，所以=2ω，故选A.
点睛：该题考查的是有关三角函数的有关问题，涉及到的知识点有函数的最小正周期的求法，偶函数的定义，诱导公式的应用，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.
6．A
解析：A 【解析】
f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos
3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3
π
） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣
3π）=0，∴φ=3
π
+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=
()m k π
ω
-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,
[]1,1n π
ω
∈-，∴
n ωω
ππ
-
≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ω
πωππ
∴≤<⇒≤< 故答案为A.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据向量的减法运算可化简已知等式为()
0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】
()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+
∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据
数量积为零求得垂直关系.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 令
7
π
α=，则
7
n n π
α=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，
其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而
，其中k=1,2,…,7，所以在
中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
9．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴2
2,,339λ
λμμ
=== 故选B.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2π
ω
的值 【详解】
由题意可得()1
sin 2
x ωθ+=
的解为两个不等的实数1x ，2x
且123ππω⨯
=，求得2
3
ω= 故()f x 的最小正周期是23π
πω
=
故选A 【点睛】
本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】
分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,
因为n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+,所以,21n n x n y n ==+, 则(),21n a n n =+,
n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+=
==+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
, 显然1
tan 2n n
θ=+
为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小. 故选:B. 【点睛】
本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】
因为222
2cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】
本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.
13．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααα
αααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
， tan 1
21tan αα
+=--，解得tan 3α=，
2222sin cos 2tan 63
sin 2sin cos tan 1105
ααααααα=
===++.
故选：B 【点睛】
此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.
14．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴1
2
AE AC =
∵O 是BE 边的中点 ∴1
()2
AO AB AE =+ ∴11
24
AO AB AC =
+ ∵,AB a AC b ==
∴1124
AO a b =+ 故选B.
点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】
()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，
22
2sin15cos15
sin 30cos 15cos 15
b =
=+sin28a >= sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.
【点睛】
本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
二、填空题
16．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力
解析：3
5
【解析】 【分析】
先根据已知求出tan α，最后化简2
sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得
tan 111
,tan 1+tan 32
ααα-=-∴=.
由题得22
2
22sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα
--+
=2
2
11
tan tan 3
421tan 1514
ααα++==++.
故答案为
35
【点睛】
本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．【解析】【分析】设点MNP 三点坐标根据平面向量垂直特性列出方程可得结果【详解】解：设点M 坐标（a0）N 坐标（0b ）点P 坐标（xy ）则=（-1b ）=（-ab ）而==代入可得故答案为【点睛】本题考查了平 解析：24y x =
【解析】 【分析】
设点M,N,P 三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果. 【详解】
解：设点M 坐标（a,0），N 坐标（0，b ），点P 坐标（x,y ）,
则AN =（-1，b ），MN =（-a,b ），∴AN MN ⋅=20a b +=⇒2a b =-， 而MP =(),x a y -,NP =(),x y b -,
2MP NP
=⇒()22()x x a y b y
⎧=-⎨-=⎩⇒2x a y b =-⎧⎨=⎩,代入2a b =-可得24y x =. 故答案为2
4y x =. 【点睛】
本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.
18．【解析】【分析】由可以求出由即可求出答案【详解】由题意知可得则（当且仅当即2时取=）故即线段长的最小值为【点睛】本题考查向量的数量积向量的模向量在几何中的应用及基本不等式求最值属于中档题
解析：
3
【解析】 【分析】
由cos120AB AC AB AC ⋅=︒，可以求出1AB AC =，由
2
2
2222214144142339
99999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC
⎛⎫
=+=++⋅≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭，即可求出答案． 【详解】
由题意知1
cos1202
AB AC AB AC ⋅=-=︒，可得1AB AC =， 则
2
2
2222214
14414444222339
9999999999AM AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅≥⨯+⋅=+⋅=-=
⎪⎝⎭，（当且仅当2241
99
AB AC =，即2AB AC =时取“=”.）
故23AM ≥，即线段AM . 【点睛】
本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题．
19．【解析】依题设由∥得解得
解析：3
4
-
. 【解析】
依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，
由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34
λ=-
. 20．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
解析：7
9
-
【解析】
分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解． 详解：由题意
25sin(
2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366
ππππππ
ααααα+=++=+=+=+-， 又由1
cos()63
π
α+=， 所以22517sin(
2)2cos ()12()16639
ππαα+=+-=⨯-=-． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：
65
【解析】
分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
详解：函数()1ππ1πsin cos 353
656f x x x sin x cos x π⎛
⎫⎛
⎫=++-=++-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（）（） 1ππ6π6
533535
sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为
6
5
． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
22．【解析】（）令∴（）∵∴①又∵∴∴∴是方程组①的一组解∴故答案为；
解析：(0,5) (2,1) (2,1)- 【解析】
（1）令1m =，2n =，2p =，1q =，∴0mp nq -=，5mq np +=,
(0,5)a b ⊗=．
（2）∵(5,0)a b =⊗，∴5
0mp nq mq np -=⎧⎨
+=⎩
，①又∵5a <，5b <，
∴2222
25
25
m n p q ⎧+<⎨+<⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解，∴(2,1)a =，(2,1)b =-．
故答案为()0,5? ，(2,1)a =；(2,1)b =-.
23．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
【解析】
P x y （，）是椭圆22
143
x y +=＝1上的一个动点，
设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+=+（），
24．【解析】由题意得
解析：4
-5
【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255
ααααα=
∈∴=+=-=- 25．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
【解析】 【分析】 【详解】
由已知得到向量a ，b 的数量积为1
cos 3
2
a b π
⋅==
，所以22
2|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.
三、解答题 26．
（1）T =π，最大值32（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
利用降次公式和辅助角公式化简()f x 表达式， （1）根据()f x 表达式求得()f x 的最小正周期和最大值. （2）根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. 【详解】
21cos 2()2cos sin 2222
x
f x x x x +=
+=+
1112cos 2sin 22262x x x π⎛
⎫=
++=++ ⎪⎝
⎭ （1）所以()f x 的最小正周期22T π
π==，最大值为13122
+=. （2）令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，解得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，所以
()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查三角函数最小正周期、最值和单调区间的求法，属于基础题.
27．
(1)
4
5
；
(2). 【解析】
【分析】 【详解】
试题分析：（1）先判断4
x π
-
的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出
sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44
x x ππ
=-+，最后由两角和的正弦公式进行计
算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍
角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(
,
)24x ππ
∈，所以(,)442
x π
ππ
-
∈，于是
sin()410
x π-==
sin sin[()]sin()cos cos()sin
4444x x x x ππ
ππππ
=-+
=-+-
410210
25
=+=
（2）因为3(
,
)24x ππ
∈，故3cos 5
x ===- 2247
sin 22sin cos ,cos 22cos 12525
x x x x x ==-
=-=-
所以中sin(2)sin 2cos
cos 2sin
3
3
3
x x x π
π
π
+
=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.
28．
（1）
43（2 【解析】 (1)因为tanα＝12，所以tan2α＝2
24
13
tan tan αα＝－. (2)因为α∈0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，所以2α∈(0，π)． 又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝3
5
.
所以sin 23πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
＝sin2αcos
3π＋cos2αsin 4133525π⨯＝＋ 29．
（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76
π；
【解析】 【分析】
（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；
（2）利用正弦函数的递增区间可解得；
（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果. 【详解】
（1）由函数()f x 的图象可得4A =， 又因为函数的周期72(
)1212T ππ
π=-=，所以22πωπ
==， 因为函数的图象经过点(,4)12
P π
，即4sin(2)412
π
ϕ⨯
+=，
所以2,6
2
k k Z π
π
ϕπ+
=+
∈，即2,3
k k Z π
ϕπ=+
∈，
所以()4sin(22)4sin(2)33
f x x k x π
π
π=++=+.
（2）由222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈，
可得5,1212
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈， 可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212
k k k Z ππ
ππ-+∈， （3）因为(0,)x π∈，所以72(,)333
x π
ππ
+∈， 又因为()2f x =-可得1sin(2)32
x π
+=-， 所以723
6x π
π+=
或11236
x ππ
+=， 解得512x π
=
或34
x π=，、 因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-， 所以1253147124126
x x ππππ
+=+==. 【点睛】
本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.
30．
（1）1a =-，（2）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
Z 【解析】 试题分析：（1）
()(sin cos
cos sin )(sin cos cos sin )cos 6666
f x x x x x x a π
πππ
=++-++
cos x x a =++2sin()6
x a π
=++
∴max ()21f x a =+=，∴1a =- （2）∵()2sin()16f x x π
=+-，∴2sin()106x π+-≥，∴1
sin()62
x π+≥， ∴522,6
6
6k x k k π
π
πππ+
≤+
≤+
∈Z ，解得222,3
k x k k π
ππ≤≤+∈Z ， ∴使()0f x ≥成立的x 的取值集合为2|22,3x k x k k πππ⎧
⎫≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
Z 考点：本题考查了三角函数的变换及三角不等式的解法
点评：，对三角函数性质和图象的综合考查主要体现为一个题目中考查三角函数的多种性质及图象的变换、作法等.在其具体的解题过程中，一般都需要先将三角函数的解析式转化为只含有一种函数、一个角(ωx ＋Φ)的形式，再根据题目具体的要求进行求解.。