人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元测试基础卷试题

一、选择题
1．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）
A ．22.5°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
2．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于
,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．
54
C ．
74
D ．
254
3．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（ ）
A ．5
B ．53
C 53
D 53
4．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A 22d S d + B 2d S d - C ．22d S d +
D ．(
)
22
d S d +
5．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ） A ．3
B 3
C 5
D 356．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）
A ．22
B ．32
C ．62
D ．82
7．已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足2
2
2
()()0a b a b c ---=，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3-
B ．5-
C ．13-
D ．15-
9．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定
ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．以上都不对
10．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）
A ．杨辉
B ．刘徽
C ．祖冲之
D ．赵爽 二、填空题
11．如图，在△中，
，∠
90°，是
边的中点，是
边上一动
点，则
的最小值是__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．
13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．
15．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．
16．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 17．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.
18．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．
19．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
20．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 25．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
26．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．
（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=︒；
②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．
27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）若OA ＝52，求点B 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3
（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
30．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝
()()()()
a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．
（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】 连接AB
∵22125AM =+=22125AB =+=221310BM =+=∴22210AM AB BM +==∴AMB ∆为等腰直角三角形 ∴45AMB ∠=︒ 故选C ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ∆为直角三角形．
2．C
解析：C 【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴2222228610AC BC AB +=+==, ∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD=BD ，
在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,
∴222
(8)6CD CD -=+,
解得CD=7
4
，
故选：C.
【点睛】
此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.
3．C
解析：C
【分析】
在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴△AB’B是等边三角形，
∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，
∴∠B’AD=∠BAE，
∴△AB’D≌△ABE（SAS），
∴∠ABE=∠B’=60°，
∴点E在直线BE上运动，
过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，
∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BH=1
2
BC=
5
2
，
∴CH．
即BE．
故选C．
【点睛】
本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB 构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E 的运动轨迹是直线是解决此题的关键．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

【详解】
解：设直角三角形的两条直角边分别为x 、y ， ∵斜边上的中线为d ，
∴斜边长为2d ，由勾股定理得，x 2+y 2=4d 2， ∵直角三角形的面积为S ， ∴1
2
S xy =
,则2xy=4S ，即（x+y ）2=4d 2+4S ， ∴22x y d S +=+ ∴这个三角形周长为：(
)
22d S d ++ ，故选：D.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.
5．D
解析：D 【解析】
当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；
当两直角边长为1和2时，第三边==
；
故选：D ．
6．B
解析：B 【解析】
由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．
7．D
解析：D
【分析】
由（a-b ）（a 2-b 2-c 2）=0，可得：a-b=0，或a 2-b 2-c 2=0，进而可得a=b 或a 2=b 2+c 2，进而判断△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形．
【详解】
解：∵（a-b ）（a 2-b 2-c 2）=0，
∴a-b=0，或a 2-b 2-c 2=0，
即a=b 或a 2=b 2+c 2，
∴△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a 2+b 2=c 2的三角形是直角三角形．
8．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出AB 的长，即为AC 的长，再根据数轴上的点的表示解答.
【详解】
由勾股定理得，AB ==
∴AC AB ==∵点A 表示的数是1
∴点C 表示的数是1-故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.
【详解】
解：由已知可得CD=BD=5,
22251213+=
即222BD AD AB +=,
ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，
90
ADC
∴∠=︒
222
AD CD AC
∴+=
22
51213
AC
∴=+=
13
AB AC
∴==
故ABC是等腰三角形.
故选C
【点睛】
本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.
10．D
解析：D
【分析】
3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【详解】
由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．
故选D．
【点睛】
考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．
二、填空题
11．
【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴∠90°.根据勾股定理可得
．
12．(21009，0)．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到OA1=1，OA2=
1
2，OA3=2
2，
OA 4=()32，…OA 2019=()2018
2，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的
正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．
【详解】
∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 2=2，OA 3=（2）2，…，OA 2019=（2）2018，
∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，
∴2019÷8=252…3，
∴点A 2019在x 轴正半轴上．
∵OA 2019=（2）2018，
∴点A 2019的坐标为（()20182,0）即(21009，0)．
故答案为：(21009，0)．
【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 13．310或10
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，
∴BC=310；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，
∴BC=10；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．
14．75或6或9 4
【分析】
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【详解】
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，
∴BC＝6（cm）；
①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.5
2
＝3.75（秒）；
②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，
解得：t＝9
4
，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝9
4
．
故答案为：3.75或6或9
4
．
【点睛】
此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.
15．36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】
解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
∵BC 边上的高为8cm ，
∴AD=8cm ，
∵AC=17cm ，
由勾股定理得： 22221086BD AB AD =-=-=cm ，
222217815CD AC AD =-=-=cm ，
如图1，点D 在边BC 上时，
BC=BD+CD =6+15=21cm ，
∴△ABC 的面积=12BC AD =12
×21×8=84cm 2， 如图2，点D 在CB 的延长线上时，
BC= CD −BD =15−6=9cm ，
∴△ABC 的面积=
12BC AD =12
×9×8=36 cm 2， 综上所述，△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2，
故答案为：36或84．
【点睛】
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．
16．1425+或825+【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；
如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，
∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++=+
综合上述，△ABC 的周长为：145+85+
故答案为：145+825+
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
17．
103
. 【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，
CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()2
3S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.
【详解】
∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形
∴CG=NG ，CF=DG=NF
∴()2
222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =
()2
2232S NG NF NG NF NG NF =-=+-
∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =
故2103
S = 故答案为
103
. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.
18．
258
【分析】 先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】
∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴=5；
∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，
∴FA=12AC=52
，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，
∴△AFD ∽△CBA ， ∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258
． 【点睛】
本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19．49
【分析】
先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
20．23或2或4
【分析】
根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．
【详解】
解：如图1：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC 是等边三角形，
∴23CP BC ==；
如图3：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB ， ∵23BC =， ∴222213,(23)(3)32
AB BC AC BC AB =
==-=-=， 在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=, 即222()AC PC AB PC -+=, 即222(3)(3)PC PC -+=，解得2PC =，
如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°， ∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴12
BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=,
即222
1()(23)2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．
综上所述，CP 的长为232或4．
故答案为：32或4．
【点睛】
本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键． 三、解答题
21．（132）150°；（313
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；
（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，
∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 与△ACE 中，
∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△ACE ，
∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE =
==， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2
， ∴∠AED ＝90°，
∵∠DEC ＝60°，
∴∠AEC ＝150°，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，
∵△CDE 是等边三角形，
∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，
∴AE ＝CP ，
在△AEG 与△CPG 中，
∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，
∴△AEG ≌△CPG ，
∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12，
∴AG ＝()2
22211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG ＝13．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米
【解析】
试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；
（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.
试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴22CD CE -222520-，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
23．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH 2EF ，CH ＝2CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，
∴AB ＝AC ＝AE ，
∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，
∵∠AED ＝20°，
∴∠ABE ＝∠AED ＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH2EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH2CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH2AF，
∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
2AF）2+2EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AE2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
24．（1）①见解析；②DE ＝
297；（2）DE 的值为 【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，
∴∠DCF ＝90°，
∵△AED ≌△AFD （SAS ），
∴DE ＝DF ＝x ，
∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，
∴x 2＝（7﹣x ）2+32，
∴x ＝297
， ∴DE ＝
297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝35；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝317，
综上所述，DE的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD≌△BCF；
②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF
②证明：连接EF，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，
3
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+1
2 BF，
∴EF2=（EB+1
2
BF）2+（
3
2
BF）2
∴DE2=（EB+1
2
AD）2+（
3
2
AD）2
∴DE2=EB2+AD2+EB·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
26．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；
（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有
∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；
②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积
=1
2
BC CG
⋅，而BC和CG可得，问题即得解决．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
当D、E两点重合时，则AD=CD，∴
1
30
2
DBC ABC
∠=∠=︒，
∵CF CD
=，∴∠F=∠CDF，
∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，
∴∠CBD=∠F，∴BD DF
=；
（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，
∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，
∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，
又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），
∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，
∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，
∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，
∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；
②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，
∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，
∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3
∴BF 226BE =232GF =，
过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形， ∴6BM ME MF ===
∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==
∴262312CN FN ===， ∴)
2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==
∴△BCG 的面积=
116262222BC CG ⋅==． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由见解析
【分析】
（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明
△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；
②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；
【详解】
解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴a2+a2＝（52）2，
解得a＝5，
∴点B坐标为（5，0）．
（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．
∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，
∴CH＝CF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BC∥OE，
∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，
∵CG⊥BA，CF⊥BF，
∴CG＝CF，
∴CG＝CH．
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．
由（2）可知AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝1
2
∠DAE＝
1
2
（180°﹣45°）＝67.5°，
由OC平分∠AOB得到∠DOB＝1
2
∠AOB＝22.5°，
∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，
∴AC＝DC，
∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，
∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
在△ACP和△CDB中，
AC AD
ACP DB CP DB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△CDB（SAS），
∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，
∴AP＝AB＝OB＝2，
∴P （4，2）．
②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．
理由：如图4中，
由题意：AP 1＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 1＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 1≌△CDB ； AP 2＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 2＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 2≌△CDB ；
AC ＝CD ，∠ACP 3＝∠BDC ，BD ＝CP 3根据SAS 可得△CAP 3≌△DCB ；
故答案为P 1、P 2，P 3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.
【分析】
（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.
（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．
【详解】
（1）CF FH =
证明：延长DF 交AB 于点G
∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，
∴45A B ∠=∠=︒
∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，
∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．
∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，
∴135CEF FGH ∠=∠=︒，
∵点D 是AC 的中点，∴1
32
CD AD AC ==
=，∴CD DG = ∴CE FG = ∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒
∴DCF GFH ∠=∠
∴CEF FGH ≌
∴CF FH =；
（2）依然成立
理由：设AH ，DF 交于点G ，
由题意可得出：DF=DE ，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC ，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF ∥BC ，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，
∴DG=
12BC,DC=12
AC ， ∴DG=DC ，
∴EC=GF ，
∵∠DFC=∠FCB ，
∴∠GFH=∠FCE ，
在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GF
ECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，
∴HF=FC.
由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形
当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233
DE DF CF CD ==-=
∴333CE DE DC =-=-
∴点E 与点C 之间的距离为333-．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.
29．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）25CM =
【解析】
【分析】
(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，
∴BC ∥EF ，
∴∠EFM ＝∠HBM ，
在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△FME ≌△BMH （ASA ），
∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，
∵CD ＝BC ，
∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，
∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
（2）如图2，连接BD ，。