(典型题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当
1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当n=7时该命题不成立
B ．当n=7时该命题成立
C ．当n=9时该命题不成立
D ．当n=9时该命题成立
2．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 3．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50
B ．42
C ．-50
D ．-42
4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为
A ．528
B ．1032
C ．1040
D ．2064
5．我们把顶角为
的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作
D ；④以
为圆心，以长为半径作
A 交D 于
，则
为黄金三角形．根据上述作法，可以求出
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，
315N =)，则10N =（ ）
A ．1020
B ．1010
C ．510
D ．505
7．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的
1
3
.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
18
8．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）
A ．0720sin1
B ．0720sin 0.5
C ．0720sin 0.25
D ．0720sin 0.125
9．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质
B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分
D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电
10．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A ．乙
B ．甲
C ．丁
D ．丙
12．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1
D ．都不小于1
二、填空题
13．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第
j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．
14．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.
通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的
根数是 ________． 15．已知函数()11112f x x x x =
++++，由()111111
f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数
()23
7
12
6
x x x g x x x x +++=
+++
+++的图象关于点___________对称. 16．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 17．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为002
2
d A B
=
+，通过类比的
方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________．
18．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n
个三角形数为22
n n
+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中
第n 个数的表达式：
三角形数：211
(,3)22
N n n n =
+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231
(,5)22
N n n n =
-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．
19．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程2
2100a x a x a ++=……①
在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()2
22122120a x a x x x a x x -++=.……②
比较①②可以得到：112
20
122a x x a a x x a ⎧
+=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
类比上述方法，设实系数一元n 次方程1
1100n
n n n a x a x
a x a --++
++=（2n ≥且
*
N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1
n
i i x ==∏ __________．
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S
，且1n S = ， n *∈N . 算出数列的前4项的
值后，猜想该数列的通项公式是__________.
三、解答题
21．已知数列{}n a 中，12a a =．()2
1
22,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；
（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明． 22．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，12
3
a =-，满足12n n n S a S ++=（n ≥2）． （Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．
23．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中
11a =.
（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；
（3）设数列{}n b 满足()1
21n
b n
n N a *=+
∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.
24．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，
1n b +成等比数列（*n N ∈）.
（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；
（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.
25．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.
（Ⅰ）求出()5f ；
（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.
26．已知()()()()2
0121111n
n
n x a a x a x a x +=+-+-+
+-（2,*n n N ≥∈），
（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2
233
,2
n n n n a b T b b b -=
=+++，试用数学归纳法证明：
当2n ≥时，()()
113
n n n n T +-=。

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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P （n ）对n=8不成立，P （n ）对n=7也不成立， 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A ．
点睛：当P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立．
2．C
解析：C 【解析】
试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立， 而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ． 考点：反证法与放缩法．
3．C
解析：C 【解析】
分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：
121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，
则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．B
解析：B 【解析】
第一行数字之和为1112-=；第二行数字之和为2122-=；第三行数字之和为3142-=； 第四行数字之和为4182,...-=，第n 行数字之和为12n n
a ，31041122a a ∴+=+
810241032=+=，故选B.
【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
5．B
解析：B 【分析】
不妨假设2AD =，则1DG =，故cos36︒= 故选B.
6．D
解析：D 【解析】
n阶幻方共有2n个数，其和为
()
22
2
1
12...,
2
n n
n n
+
+++=阶幻方共有n行，∴每行的和为
()
()
22
2
1
1
2
2
n n
n n
n
+
+
=
，即
()()
22
10
110101
,505
22
n
n n
N N
+⨯+
=∴==，故选D. 7．B
解析：B
【解析】
从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的
1
4
．
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×
1
3
S•r=
1
3
•S•h，r=
1
4
h．
（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
故选B．
点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的
1
4
，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）．8．C
解析：C
【解析】
设圆的半径为1，
正多边形的圆心角为
360
0.5
720
︒
︒
=，边长为
()
112cos0.521cos0.52sin0.25
︒︒︒
+-=-=，所以7202sin0.252π
︒
⨯=，即
π720sin0.25
=
故选：C
9．D
解析：D
【解析】
选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;
选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180，归纳出所有三角形的内角和都是
0180,是归纳推理;
选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理; 选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理; 故选D.
10．A
解析：A 【解析】
四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；
若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.
11．A
解析：A 【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
12．B
解析：B 【分析】
用反证法证明，假设同时大于1，推出矛盾得出结果 【详解】
假设()21a b ->，()21b c ->，()21c a ->，
三式相乘得()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->，
由()02a b c ，，，∈，所以()2
20212a a a a -+⎛⎫
<-≤= ⎪⎝⎭
，同理()21b b -≤，
()21c c -≤，则()()()2221a a b b c c -⋅-⋅-≤与()()()2221a b b c c a -⋅-⋅->矛
盾，即假设不成立，所以()()()222a b b c c a ---，，不能同时大于1，所以至少有一个不
大于1， 故选B 【点睛】
本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合
二、填空题
13．72【解析】分析：先求出2018排在第几行再找出它在这一行的第几列即得的值详解：第1行有1个偶数第2行有2个偶数第n 行有n 个偶数则前n 行共有个偶数2018在从2开始的偶数中排在第1009位所以当n=
解析：72 【解析】
分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得i j +的值. 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，
，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有
(1)
1+2+3+
+2
n n n +=
个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位， 所以
(1)
1009,45.2
n n n +≥∴≥ 当n=44时，第44个偶数为44(441)
219802
+⨯=，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,
由题得2018排在第45行的第27位，所以i j +=45+27=72. 故答案为72.
点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式
(1)
10092
n n +≥找到2018所在的行. 14．31【解析】分析：由图形的特点只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒点睛：本题主
解析：31 【解析】
分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在4的基础上增加几个3即可．
详解：第1个图形中有4根火柴棒； 第2个图形中有437+= 根火柴棒； 第3个图形中有43210+⨯= 根火柴棒；
第10个图形中有43931+⨯= 根火柴棒．
点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在4的基础上增加几个3的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
15．【解析】由题得所以是奇函数所以函数的图象关于点对称故填
解析：7,62⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】 由题得234567
()6111111123456
x x x x x x g x x x x x x x ++++++-=
-+-+-+-+-+-++++++ 111111
123456
x x x x x x =
+++++++++++ 7111111()67777772123456222222g x x x x x x x --=+++++
-+-+-+-+-+-+ 7111111
()6()
5311352222222g x f x x x x x x x --=+++++=---+++ 111111
()()
531135222222
f x f x x x x x x x ∴-=+++++=--------+-+-+
所以()f x 是奇函数，所以函数()23
712
6x x x g x x x x +++=+++
+++的图象关于点7,62⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称. 故填7,62⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 16．3【解析】由①②可知甲取出的小球编号为2乙取出的小球编号可能是3或4又|1－4|＝3>2|1－3|＝2所以由③可知乙取出的小球编号是4丙取出的小球编号是1故丁取出的小球编号是3
解析：3 【解析】
由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3>2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.
17．【解析】类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离为故答案为
【解析】
类比点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =
，可知在空间中，点
()0,1,3到平面2330x y z +++=
的距离为d =
=
.
18．176【解析】原已知式子可化为：正方形数:五边形数六边形数……由此推测
由归纳推理可得故
解析：176 【解析】
原已知式子可化为：211
,322
N n n n =
=+（） 正方形数:()2
2,402
N n n n ==
+ 五边形数()2
31,5?2
2N n n n ==-
六边形数()2
42,6?2
2
N n n n ==-
……由此推测由归纳推理可得
()224,22k k
N n k n n --=
+ 故()264
8,88817622
N =
⨯+⨯= 19．【解析】计算可得：①设方程a0x+a1=0的1个根是x1则；②设方程a0x2+a1x+a2=0的2个根是x1x2则；③设方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的3个根是x1x2x3则；④设方程a0 解析：()
1n
n
a a - 【解析】 计算可得：
①设方程a 0x +a 1=0的1个根是x 1,则1
10
a x a =-
； ②设方程a 0x 2+a 1x +a 2=0的2个根是x 1,x 2,则2
120
a x x a =
； ③设方程a 0x 3
+a 1x 2
+a 2x +a 3=0的3个根是x 1,x 2,x 3,则3
1230
a x x x a =-
；
④设方程a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=0的4个根是x 1,x 2,x 3,x 4,则4
12340
a x x x x a =； …
观察式子的变化规律，
发现每一个方程的一个根都可能写成规律性的式子， 是首项与尾项的分式形式，且符号是正负相间：
3
12000
,,a a a a a a -
- 依此类推,第n 个式子是()
1n
n
a a -. 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
20．;【解析】；；…猜想该数列的通项公式是故答案为【方法点睛】本题主要考查归纳推理属于中档题归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想
解析：n a = 【解析】
1121221,1S a S a a a ===+=⇒=
；
3233S S a a =+⇒=
；4344S S a a =+⇒猜想该数列的通项公式
是n a =
n a =
【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
三、解答题
21．（1）232a a =，343a a =，454a a =；（2）猜想1
n n a a n
+=
，证明见解析. 【分析】
（1）利用递推公式可计算出2a 、3a 、4a 的值； （2）根据数列{}n a 的前四项可猜想出()1
n n a a n N n
*+=∈，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1）()2122,n n a a a n n a *
-=-≥∈N ，12a a =，则222132222
a a a a a a a a =-=-=， 2232242223332a a a a a a a a a a =-=-=-=，224335
2224443
a a a a a a a a
a a =-=-=-=； （2）猜想()1
n n a a n N n
*+=
∈，下面利用数学归纳法证明. 假设当()
n k k N *
=∈时成立，即1
k k a a k
+=
， 那么当1n k =+时，2212
222111k k a a k k a a a a a a
k a k k a
k
++=-=-=-=+++， 这说明当1n k =+时，猜想也成立. 由归纳原理可知，()1
n n a a n N n
*+=∈. 【点睛】
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 22．（Ⅰ）123S =-，234S =-，345S =-，12
n n S n +=-+（Ⅱ）见解析 【分析】
（Ⅰ）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得11
2
n n S S -=-+（n ≥2），依次代入数据，
即可求解．
（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可． 【详解】 （Ⅰ）由112n n n n n S a S S S -++==-，得112
n n S S -=-+（n ≥2）． ∵ 123a =-
， ∴ 123
S =-， 2111322423S S =-
=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-
+-+， 猜想：1
2n n S n +=-+．
（Ⅱ）证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝1112
2123
n n ++-
=-=-++，猜想成立．
② 假设当n k =（*k N ∈）时猜想成立，即1
2
k k S k +=-
+， 那么，
()()()()1111122
1212231222
k k k k k S k S k k k k k +++++=-
=-=-=-=-
++-++++++-++， 即当1n k =+时猜想也成立．
根据①②，可知猜想对任何*n N ∈都成立． 【点睛】
本题考查数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】
（1）解：141n n n S a a +=+①；1141n n n S a a --=+②；①－②,化简可得114n n a a +--=，53314a a a a -=-=，得证；
（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，可得21n a n =-，即{}n a 是等差数列；
（3）解：根据题意，2
2log 21
n n b n =-，22462log 13521n n
T n =⨯⨯⨯⨯-…；
要证2122log log (21)n n T a n +>=+
，即证246213521
n n ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =
时，2> 假设当n k =
时，246213521
k
k ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n k =+
时，
24622222
135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++
…=
>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立．
24．(1) 26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b = (2) 猜想(1)n a n n =+，
2(1)n b n =+，证明见解析
【解析】
分析：（1）根据条件中n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．
详解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，2
11n n n a b b ++=，
由此算出26a =，312a =，420a =，
29b =，316b =，425b =.
（2）由（1）的计算可以猜想()1n a n n =+，()2
1n b n =+，
下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立. ②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立， 即()1k a k k =+，()2
1k b k =+.
则当1n k =+时，
()()2
12211k k k a b a k k k +=-=+-+ ()()2
3212k k k k =++=++，
()()()
()22
2
2112
1221k
k k k k a b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.
由①②知，对一切*n N ∈都有()1n a n n =+，()2
1n b n =+成立．
点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
25．（I ）()541f =；（II ）()2
221f n n n =-+.
【解析】
试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，
()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出
()2221f n n n =-+.
试题 解：（I ）
()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，
∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，
()()541644f f -==⨯
∴()5254441f =+⨯=．
（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．
∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，
()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-
∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦，
∴()2221f n n n =-+．
考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 26．（1）5532- （2）见解析 【解析】 试题分析：
(1)由题意可得：()()5
5
123452132a a a a a f f ++++=-=-；
(2)利用题意首先证得2n = 时命题成立，然后由归纳法证明命题成立即可. 试题
（1）记()()5
1f x x =+，
则()()5
5
123452132a a a a a f f ++++=-=-
（2）设1x y -=，则原展开式变为：()20122...n
n n y a a y a y a y +=++++， 则2
2
22n n a C -=
所以()2
3
12
n n a b n n -=
=- 当2n =时，222,2T b ==，结论成立 假设n k =时成立，即()()
113
k k k k T +-=
那么1n k =+时， ()()
()111113
k k k k k k T T b k k +++-=+=++
()()()1211133k k k k k k ++-⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
()()()111113
k k k ⎡⎤⎡⎤++++-⎣⎦⎣⎦=
，结论成立。

所以当2n ≥时，()()
113
n n n n T +-=。