中学九年级数学(上)北师大版第一章《证明二》复习教学案

中学九年级数学(上)北师大版第一章《证明二》复习教学案
第一讲全等三角形的性质和判定
知识梳理
1、两边夹角对应相等的两个三角形全等（sas）；
2、两角及其夹边对应相等的两个
三角形全等（asa）；
3.两个角和其中一个角的对边对应两个相等的三角形全等（AAS）；
4.三边相等的两
个三角形的同余（SSS）；5.全等三角形具有相等的对应边和角。

6、等腰三角形性质定理：（等边对等角）；
7、推论（三线合一）：；
8等边三角形判定定理：。

经典例子
例1.如图，已知∠d=∠c，∠a=∠b，且ae=bf。

求证：ad=bc。

cd
baef
例2．如图，在△abc中，ab=ac，ad⊥ac∠bac=100°。

a求∠1、∠3、∠b的度数。

12
三
bcd
例3。

如图所示，在△ ABC，D是高于AC的点，ab=ad，DB=DC。

如果∠ C=29°，找
到∠ A.
a
D
bc即学即练
1.填空：
a（1）如图，在△abc中，ab=ac，点d在ac上，且bd=bc=ad。

请找出所有等腰三角形。

（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为。

d（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。

（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

bc2．如图，在△abc中，ab=ac，d是bc边上的中点，且de⊥ab，df⊥ac。

核实：∠ 1 = ∠ 2.
ef12巩固与提高
Bcd1。

当等腰三角形的顶角为40°时，底角等于一个底角
为50°，则顶角等于。

2.如果等腰三角形的两侧分别为7cm和3cm，则周长为。

3.如右图，d在ac上，且ab=bd=dc，∠c=40°，则∠a=，
∠abd=
a
D
bc
3标题图4标题图
4、在△abc中，ab=ac，d是ab上一点，de⊥bc，e是垂足，ed的延长线交ca的延长线于点f，求证：ad=af.
第二讲等腰三角形的性质与判定
一．知识梳理
1.等腰三角形的两个底角的平分线相等；
2.等腰三角形的腰部高度相等；
3.等腰三角形腰上的中线相等；
4、两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）
5.推理和论证：等腰三角形腰上的中线相等；（画一幅画，写下已知的，验证和证明过程）
二、典例精讲
如图所示：，？在ABC，BD⊥ 行政长官⊥ E中的AB，BD=CE。

验证：？ABC是等腰三角形。

A.
de
公元前
三、即学即练
1.如图所示△ ABC，ab=AC，de‖BC，确认△ 艾德是一个等腰三角形。

abc
a2、如图，e是△abc内的一点，ab=ac，连接ae、be、ce，且be=
Ebdcce，延伸AE，相交BC，D点边缘。

验证：ad⊥ 公元前。

四、巩固与提高
1.如图所示，∠ a=∠ B、CE‖Da，CE与E中的AB相交。

验证：CE=CB。

dcaeb2、把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

a）三角形中必须有不小于60度的内角；b）三角形中的两个角不能是钝角；c）垂直于同一条线的两条线是平行的。

3、如图，在?abc中，∠abc的平分线交ac于点d，de∥bc。

求证：△ebd是等
腰部三角形。

e
4.用反证来证明三角形中不可能有两个直角。

B
dc
第三课等边三角形的确定和性质
一、知识梳理
1.等边三角形的确定
1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

3）角度等于60的等腰三角形是等边三角形。

2、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是60°的特殊性质。

3.在直角三角形中，如果锐角等于30，则与之相对的右侧等于斜边的一半。

二、典例精讲
1.已知：如图所示，△ ABC是一个等边三角形，在D和E中与AB和AC相交。

求证：△ade是等边三角形。

de
Bade是一个等边三角形C2，如图所示，△ ABC是一个等边三角形，BD=CE，∠ 1 = ∠ 2.核查：△ aeb1d2c形状。

3、如图，在rt?abc中，∠b=30°，bd=ad，bd=12，求dc的长。

a30？？bdc
三、即学即练1、填空：
（1）如图1所示，BC=AC，如果△ AB C是一个等边三角形。

（2）如图2，ab=ac，bc⊥ad，bd=4，若ab=，则△abc是等边三角形。

（3）如图3所示，在RT中？在美国广播公司，∠ B=30°，AC=6cm，则AB=；如果AB=7，那么AC=。

aaa
bcbbccd
图1图2图3
2.如右图所示，已知△ ABC和△ BDE是等边三角形。

验证：AE=CD。

巩固与提高1、填空：
（1）如图1所示，ab=AC，ad是△ ABC，ab=5。

如果BD=，那么△ ABC是一个等边三角形。

（2）如图2，∠bac＝120°，ab＝ac，ab＝14，则ad=。

Aabdc图1图2
2、已知：?abc中，?acb?90?，cd?ab，?a?30?，ab=40，
求DB的长度。

bdcc第四讲直角三角形（一）adb一．知识梳理
1.直角三角形两条右边的平方和等于斜边的平方。

2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么三角形就是直角三角形。

3.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则两个命题称为互反命题，一个命题称为另一个命题的逆命题。

4、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称
为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

二、典例剖析
121.如图所示，BA⊥ Da是a，ad=12，DC=9，CA=15。

核实：BA∥ 华盛顿。

a15
b
2.如果直角三角形的三条边分别是6、8和a，那么a=______;。

3.已知：如图所示，
△ ABC，CD⊥ D中的AB，AC=4，BC=3，DB=9。

5d9c（1）求dc的长；（2）求ad的长；（3）求ab的长；（4）求证：△abc是直角三角形.
三、学习并练习1。

填空：
（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，其中一
条直角边为5，则另一条直角边为。

（2）如果三角形的三条边分别是6、10和8，那么三角形就是三角形。

2.说出下列
命题的倒数，并判断每对命题的正确性。

1）三年级六班有62名学生；2）等边等角；
3）对顶角相等；4）平行四边形的两组对边相等；
5）正方形的四边相等；
3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠acb＝90°，ac＝80米，bc＝60米，若线段cd是一条小渠，且d点在边ab上，已知水渠的造价为10
元/米，问d点在距a点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？图5四、巩固与
提高
1.找出下列哪个定理有逆定理，并找出它们。

（1）矩形是平行四边形。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）如果x?y，则x2?y2。

（4）全等三角形对应角相等。