高中数学 第一章 三角函数 1.5.2 正弦函数的性质课件 北师大版必修4

规律方法 判断函数的奇偶性时，必须先判断其定义域是否 关于原点对称，如果是，再验证 f(－x)是否等于－f(x)或 f(x)，进 而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．
判断函数 f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．
解：∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx， ∴f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx. 即 f(－x)＝f(x)，又 f(x)的定义域为 R， ∴f(x)为偶函数．
复习课件
高中数学 第一章 三角函数 1.5.2 正弦函数的性质课件 北师大版必修4
第一章
三角函数
§5 正弦函数的图像与性质
5.2 正弦函数的性质
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点
正弦函数的图像和性质 [填一填]
[答一答] 1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什 么？
若只有个别
x
满足
f(x＋T)＝f(x)，不能把
T
看作周期，如
π sin(4
＋π2)＝sin4π，但 sin(π3＋2π)≠sinπ3，所以2π不是 y＝sin x 的周期．
(4)周期也可递推，若 T 是 y＝f(x)的周期，那么 2T 也是 y＝
f(x)的周期．这是因为 f(2T＋x)＝f[T＋(T＋x)]＝f(T＋x)＝f(x)，所
规律方法 函数 y＝asin2x＋bsinx＋c，x∈D 型函数可以通过 换元，令 t＝sinx 化为二次函数，用配方法求其值域，但求解过 程中一定要注意中间变量的取值范围，是一个有条件的二次函数 求最值问题．
求函数 f(x)＝2sin2x＋2sinx－12，x∈[π6，56π]的值域．
解：令 t＝sinx，因为 x∈[π6，56π]， 所以12≤sin x≤1，即12≤t≤1. ∴y＝2t2＋2t－12＝2(t＋12)2－1，t∈[12，1]，
提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(2kπ， 2kπ＋π2)(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内， 显然函数值不是随着 x 值的增大而增大的．
2．学习正弦函数的单调性有什么作用？
提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所 比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值， 再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再 比较大小．
以若 T 是 y＝f(x)的周期，k∈Z 且 k≠0，则 kT 也是 f(x)的周期．
(5)并不是所有的函数都是周期函数．
2．对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量 x 要加上 的那个最小正数，这个正数是对 x 而言的，如 y＝sin 2x 的最小 正周期是 π，因为 y＝sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)，即 π 是使函数值 重复出现的自变量 x 加上的最小正数，π 是对 x 而言的，而非 2x.
求函数 y＝2sin(4π－x)的单调递增区间． 解：∵y＝2sin(4π－x)＝－2sin(x－π4)， ∴函数 y＝2sin(4π－x)的单调递增区间就是函数 u＝2sin(x－π4) 的单调递减区间． ∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)．
得 2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)． ∴函数 y＝2sin(4π－x)的单调递增区间为： [2kπ＋34π，2kπ＋74π](k∈Z)．
【思路探究】 (1)满足 2sinx＋1≥0 的 x 的取值集合，即满
足
sinx≥
－
1 2
的
x
的 取 值 集 合 ． (2) 可 转 化 为 解 不 等 式 组
sinx≥0， 25－x2≥0，
先将满足两个不等式的 x 的范围解出，再借助数
轴求交集．
【解】 (1)由题意可知 2sinx＋1≥0，故 sinx≥－12.因为在 一个周期－π2，32π上符合条件的角的范围为－π6，76π，所以该 函数的定义域为2kπ－π6，2kπ＋76π(k∈Z)．
求函数 y＝ 2sinx＋ 3的定义域．
解析：要使函数有意义，只需 2sinx＋
3≥0，即
sinx≥－
3 2.
如图所示，在区间－π2，32π上，适合条件的 x 的取值范围是
－π3≤x≤43π.
所以该函数的定义域是2kπ－π3，2kπ＋43π，k∈Z.
类型二 求函数的值域 【例 2】 求下列函数的值域． (1)y＝3－3sinx；(2)y＝－|sinx|+sinx；(3)y＝sin2x－2sinx＋1. 【思路探究】 充分利用 sinx 的有界性及二次函数区间最
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函 数 f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周 期.
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类型一 求函数的定义域
【例 1】 求下列函数的定义域．
(1)y＝ 2sinx＋1；(2)y＝ sinx＋ 25－x2.
类型五 利用正弦函数的单调性比较大小
【例 5】 比较下列各组数的大小．
(1)sin4π和 sin23π；(2)sin(－1π8)和 sin(－1π0)；
21 (3)sin 5 π
和
sin452π；(4)sin194°和
cos160°.
【思路探究】 变形主要有两种：一是异名函数化为同名函
数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．
(2)根据函数关系式可得s2i5n－x≥x20≥，0， ∴2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，－5≤x≤5. 如图，可得该函数的定义域为[－5，－π]∪[0，π]．
规律方法 正弦函数 y＝sinx 的定义域为 R，但在求由它们与 其他函数复合而成的函数的定义域时，可由关系式有意义得到关 于正弦函数的三角不等式(组)．而解三角不等式(组)，可以利用 基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线．
且该函数在[12，1]上单调递增． ∴f(x)的最小值为 f(12)＝1，最大值为 f(1)＝72. ∴f(x)的值域为[1，72]．
类型三 求函数的单调区间
【例 3】 求函数 y＝log1 sinx 的单调递增区间．
2
【思路探究】 设 u＝sinx，先由 sinx>0 得出 x 的范围，再
利用 y＝log1 u 的单调性求解．
【错解分析】 求三角函数值时，许多三角函数式本身隐含 了一些条件，在解题过程中若不挖掘出来，就会出现错误．
值求解．
【解】 (1)∵－1≤sinx≤1， ∴－3≤－3sinx≤3， ∴0≤－3sinx＋3≤6，∴y∈[0,6]．
(2)当 sinx≥0 时，y＝0， 当 sinx<0 时，y＝2sinx， ∴y∈[－2,0)， ∴函数的值域为[－2,0]．
(3)y＝(sinx－1)2， ∵sinx∈[－1,1]，∴sinx－1∈[－2,0]， ∴(sinx－1)2∈[0,4]，∴y∈[0,4]．
(2)求三角函数的单调区间．对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k，ω>0 的函数，可把 ωx＋φ 视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法， 结合正弦函数的单调性，直接写出 ωx＋φ 的单调区间，再解关于 x 的不等式即可．
(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如 sin(ωx ＋φ)≥a(ω>0)或 sin(ωx＋φ)<a(ω>0)的正弦函数不等式，可把 ωx＋φ 视为一个整体，借助 y＝sinx，x∈R 的图像和单调性，先在长度为 2π 的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上 2kπ，k∈Z，把 它扩展到整个定义域上，最后解关于 x 的不等式，便可求出 x 的解．
(2)sin(－547π)＝sin(－8π＋27π)＝sin27π， sin(－638π)＝sin(－8π＋8π)＝sinπ8， ∵π2>27π>π8>0，∴sin27π>sinπ8，
即 sin(－547π)>sin(－683π).
——易错警示—— 忽略 y＝sin x 的有界性导致错误 【例 6】 已知 sin x＋sin y＝13，求 sin y－cos2x 的最大值． 【错解】 ∵sin x＋sin y＝13，∴sin y＝13－sin x， ∴sin y－cos2x＝13－sin x－(1－sin2x) ＝sin2x－sin x－23＝(sin x－12)2－1112. ∵－1≤sin x≤1， ∴当且仅当 sin x＝－1 时，sin y－cos2x 取得最大值43.
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°<14°<70°<90°，且 y＝sinx 在[0°，90°]上单调递增，∴
sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，
即 sin194°>cos160°.
规律方法 比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三 角函数式化成同名函数并将角转化到同一单调区间上，然后利用 三角函数的单调性进行比较．
1．对周期函数定义的五点说明 (1)T 是非零常数． (2)任意 x∈D，都有 x＋T∈D，T≠0，所以周期函数的定义 域一定是无界的． (3)任取 x∈D，就是取遍 D 中的每一个 x，所以周期性是函 数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个 x 都满足 f(x＋T)＝f(x)成立才行．
类型四 判断函数的奇偶性
【例 4】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(34x＋32π)； (2)f(x)＝ 1－sinx＋ sinx－1. 【思路探究】 首先判断所给函数的定义域是否关于原点对 称，其次用定义直接判断函数的奇偶性．
【解】 (1)f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos34x，x∈R. 又 f(－x)＝－cos(－34x)＝－cos34x＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(34x＋32π)是偶函数． (2)由1si－nxs－in1x≥ ≥00， ， 得 sinx＝1， 所以 f(x)＝0，x∈{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}， 定义域不关于原点对称． 所以函数 f(x)＝ 1－sinx＋ sinx－1是非奇非偶函数．
【正解】 ∵sin x＋sin y＝13，∴sin y＝13－sin x. 又－1≤sin y≤1，∴－1≤13－sin x≤1， 又－1≤sin x≤1，∴－23≤sin x≤1. ∴sin y－cos2x＝13－sin x－(1－sin2x) ＝sin2x－sin x－23＝(sin x－12)2－1112， ∴当且仅当 sin x＝－23时，sin y－cos2x 取得最大值49.
【解】 (1)sin23π＝sin(π－3π)＝sinπ3.
∵0<4π<3π<2π，且 y＝sinx 在(0，2π)上单调递增，
∴sinπ4<sin3π，即
π 2π sin4<sin 3 .
(2)∵－π2<－1π0<－1π8<0，且 y＝sinx 在区间[－2π，0]上单调递
增，∴sin(－1π8)>si小． (1)sin250°与 sin260°； (2)sin(－547π)与 sin(－683π)．
解：(1)∵sin250°＝sin2158π，sin260°＝sin2168π， y＝sinx 在(π，32π)上为减函数， ∴sin2158π>sin2168π，即 sin250°>sin260°.
(3)sin251π＝sin(4π＋5π)＝sinπ5，
sin425π＝sin(8π＋25π)＝sin25π.
∵0<5π<25π<2π，且 y＝sinx 在(0，2π)上单调递增，
∴sinπ5<sin25π，即
21 42 sin 5 π<sin 5 π.
(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
2
【解】 由 sinx>0 得 2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，
∵12<1，∴函数
y＝log1
2
sinx
的单调递增区间即为
u＝sinx
的
单调递减区间．
∴2kπ＋π2≤x<2kπ＋π，k∈Z，
故函数 y＝log1 sinx 的单调递增区间为：
2
[2kπ＋2π，2kπ＋π)，k∈Z.
规律方法 求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时 还要注意内层、外层函数的单调性．