广东天河地区高考高三数学(理科)一轮复习试题精选：数列01(含答案解析)

数列 01
1.已知数列｛n a ｝满足11a =，12()
1()n n n
a n a a n +⎧=⎨+⎩为正奇数为正偶数，则其前6项之和是( )
A.16
B.20
C.33
D.120 【答案】C
【解析】2122a a ==，32431326a a a a =+===，，546517214a a a a =+===，，所以6123671433S =+++++=,选C.
2.已知公差不为零的等差数列8
1049
{},,n n S a n S a S a =的前项和为若则等于
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
【答案】A
【解析】由104a S =得11143
94462
a d a d a d ⨯+=+
=+，即10a d =≠。

所以811878828362S a d a d d ⨯=+
=+=，所以8913636489S d d
a a d d
===+,选A. 3.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则
5
3
a a 的值为( ) A.
16 B. 13 C. 35 D. 56
【答案】D
【解析】由5283()S a a =+得，1555()322a a a +=⨯，即3556a a =，所以535
6
a a =，选D. 4.在圆x y x 52
2
=+内，过点（
25，2
3
）有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为d ∈[61，3
1
]，那么n 的取值集合为
A. {4,5,6,7}
B. {4,5,6}
C. {3,4,5,6}
D. { 3.4.5,6,7} 【答案】A
【解析】圆的标准方程为2
2
5
25()2
4x y -+=
，所以圆心为5(,0)2，半径5
2r =，则最大的弦为直径，即5n a =，当圆心到弦的距离为32时，即点（25，2
3
）为垂足时，弦长最小为
4，即14a =，所以由1(1)n a a n d =+-得，1541111n a a d n n n --===---，因为11
63
d ≤≤，所以111
613
n ≤≤-，即316n ≤-≤，所以47n ≤≤，即4,5,6,7n =，选A.
5.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a
的等比中项为，则7112a a +的最小值为
（ ）
A ．16
B ．8
C
．D ．4
【答案】B
【解析】因为24148a a ==，即241498a a a ==
，所以9a =。

则
29711992228a a a a q a q +=
+≥==，当且仅当29922a a q q =，即42q =，时取等号，选B.
6.设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15
152
211,,,a S a S a S 中最大的项为
A ．
66a S B ．77a S Ｃ．99a S Ｄ．88a S
【答案】D 【解析】由11515815()=1502a a S a +=
>，得80a >.由116981615()15()
=022
a a a a S ++=<，得980a a +<，所以90a <，且0d <.所以数列{}n a 为递减的数列.所以18,a a 为正，
9,n a a 为负，且115,0S S >，16,0n S S >，则
990S a <，10100S
a <，8
8
0S a >，又8118,S S a a >>，所以81810S S a a >>，所以最大的项为8
8
S a ，选D. 7.在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于1()n n a a n N +∈*的个位数，则2013a 的值是
（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】122714a a =⨯=，所以3a 的个位数是4，4728⨯=，所以所以4a 的个位数是8，
4832⨯=，所以5a 的个位数是2，2816⨯=，所以6a 的个位数是6，7a 的个位数是2，
8a 的个位数是2，9a 的个位数是4，10a 的个位数是8，11a 的个位数是2，所以从第三
项起，n a 的个位数成周期排列，周期数为6，201333563=⨯+，所以2013a 的个位数和3a 的个位数一样为4，选C.
8.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则
2
1
a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C
【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2142S S S =，即2111(46)(2)a a d a d +=+，即
2112,2d a d d a ==，所以
2111
111
23a a d a a a a a ++===，选C. 9.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于
（A ）1 （B ）5
3
（C ）2 （D ）3 【答案】C
【解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)
1222
a a a S ++==
=，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.
10.在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是 A ．3 B ．6 C ．9 D ．36 【答案】C
【解析】在等差数列中，121030a a a ++
+=，得110
5()30a a
+=，即
110566a a a a +=+=
，由56a a +≥
，所以6≥，即569a a ≤，当且仅当56a a =时取等号，所以56a a 的最大值为9，选C.
11.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*
,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}
n a 成等差数列”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】若1r =，则11n n a a +=+，即11n n a a +-=，所以数列{}n a 成等差数列。

若数列{}
n a
成等差数列，设公差为d ，则11
1
()()n n n n n n a a r a r r a
r r a a
+---=⋅+-⋅+=-，即d dr =，
若0d ≠，则1r =，若0d =，则111n n a a a +=== ，即12r r r =+=，此时1
2
r =。

所以1r =是数列{}n a 成等差数列的充分不必要条件，选A.
12.已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于
（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 【答案】D
【解析】由222112(2)
n n n a a a n +-=+≥可知数列2
{}n a 是等差数列，且以
211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为
2
13(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。

选D.
13.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
【答案】C
【解析】在等差数列数列中，5131132
48,33362
a a d S a d a d ⨯=+==+
=+=，即12a d +=，解得10,2a d ==.所以9188216a a d =+=⨯=，选C.
14.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()2
3
(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且
21n n S a
n n
=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

则=+)()(65a f a f ( )
A ．3-
B ．2-
C ．3
D ．2
【答案】C
【解析】由)()23
(x f x f =-，可知函数的对称轴为3
4
x =
，又函数为奇函数，所以有33()()()22f x f x f x -==--，所以3
()()2
f x f x -=-，即(3)()f x f x -=，函数的周期为 3.由21n n S a
n n
=⨯+得2n n S a n =+，所以当2n ≥时，
1112(21)221n n n n n n n a S S a n a
n a a ---=-=+-+-
=-+，即121n n a a -=-，所以
234563,7,15,31,63
a a a a a =-=-=-=-=-，所以
56()()(31)(63)(1)(0)(1)(0)f a f a f f f f f f +=-+-=-+=-+，因为函数为奇函
数，所以(0)0f =，由3)2(-=-f ，可得(2)(1)3f f -==-，所以56()()3f a f a +=，选C.
15.已知各项均为正数的等比数列{n a }中,1237895,10,a a a a a a ==则456a a a =( )
A. B.7 C.6
【答案】A
【解析】由123789
5,
10,a a a a a a ==得33285,10,a a ==又34565a a a a =，所以332851050a a =⨯=，即333628285()=50a a a a a ==
，所以35a = A.
16.已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则
2
12
b a a +的值为 .
【答案】
310
【解析】因为121,,,9a a 是等差数列，所以121910a a +=+=。

1231,,,,9b b b 是等比数列，
所以22199b =⨯=，因为12
20b b =>，所以23b =，所以
2123
10
b a a =+。

17.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n m
n m
a a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____. 【答案】1
8,2
2n +-
【解析】由
n m
n m
a a a +=可得
2
11
a a a =，所以222124a a ===。

所以312248a a a ==⨯=。

由n m
n m
a a a +=得
n m m n a a a +=，令1m =，得112n n
a
a a +==，即数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以11(1)2(12)
22112
n n n n a q S q +--===---。

18.对任意x ∈R ，函数()f x 满
足1
(1()]2
f x x ++，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为31
16
-
，则(15)f = ． 【答案】34
【解析】
因为
1
(1)2f x +=
，
所以
1(1)0
2f x +-=
≥，，
即
1
(1)2
f x +≥。

两边平方得
22
1
[(1)]()[()]2f x f x f x +-=-，即
221
[(1)](1)()[()]4
f x f x f x f x +-++
=-，即
221[(1)](1)[()]()4f x f x f x f x +-++-=-
，即11
4n n a a ++=-，即数列{}n a 的任意两项
之和为
14-
，所以15151317()416S a =⨯-+=-，即153
16a =-。

所以
2153[(15)](15)16a f f =-=-
，解得3(15)4f =或1
(15)4f =
（舍去）。

19.在等比数列{}n a 中，141
=
,=42
a a -，则公比=q ， 123++++=n a a a a L
【答案】11222
n ；---
【解析】在等比数列中33
411=42a a q q =
=-，所以38
q =-，即2q =-。

所以
1111(2)2n n n a a q --==
-，所以121
(2)22n n n a --=-=，即数列n a 是一个公比为2的等比
数列，所以
11231
(12)
1
2++++=2122n n n a a a a --=--L 。

20.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则
k =______．
【答案】6
【解析】设公比为q ，因为0n a >，所以0q >，则22314a a q q ===，所以2q =，又
126312
k
k S -==-，即264k =，所以6k =。

21.已知等比数列}{n a 中，⎰-=6
2)2
32(dx x a ，2433=a ，若数列}{n b 满足n n a b 3log =，则数列}1
{
1+n n b b 的前n 项和=n S ． 【答案】
21
n
n + 【解析】6
2
6
20
33(2)()2722
a x dx x x =
-=-=⎰，所以32a a q =，解得9q =，所以
222122793n n n n a a q ---==⨯=，所以2133log log 321n n n b a n -===-，所以
111111
()(21)(21)22121n n b b n n n n +===--+-+，所以数列的前n 项和12
11
111111
11
()21335
2121
n n n S b b b b n n +=++
=-+-++
--+11112()212122121
n n n n n =
-=⨯=+++. 22.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且936S =-,13104
S =-，等比数列{}n b 中，55b a =，
77b a =，则6b = ．
【答案】±
【解析】在等差数列中，由936S =-,13104S =-得，11
989362
131213104
2
a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，即
11
44
68a d a d +=-⎧⎨
+=-⎩，解得14,2a d ==-。

所以5144a a d =
+=-，7
168a a d =+=-，所以574,8b b =-=-，在等比数列中265732b b b ==，所以6b ==±
23.已知等比数列{}n a 的各均为正数，且21243723,4a a a a a +==，则数列{}n a 的通项公式
为 ； 【答案】
32
n 【解析】由24374a a a =得，222243754444a a a a a q ===，所以2
11
,42
q q ==。

又1211223a a a a q +=+=，
即123a =，所以132a =，所以1
11313()222
n n n n a a q --==⨯=。

24.设数列{}n a 满足132n n n a a +=+，(n ∈N ﹡
)，且11a =，则数列{}n a 的通项公式为 .
【答案】32,n n n a n N =-
∈
【解析】设1123(2)n n n n a x a x +++=+，即11332232n n n n n n a a x x a x ++=+-=+，所以1x =，即1123(2)n n n n a a +++=+，所以数列{2}n n a +是以123a +=为首项，公比3q =的等比数列，所以12333n n n n a -+=⨯=，所以32,n n n a n N =-∈.
25.在数列{}n a 中，7
(1)()8
n
n a n =+，则数列{}n a 中的最大项是第 项。

【答案】6或7
【解析】假设n a 最大，则有11
n n n n a a a a +-≥⎧⎨
≤⎩，即11
77(1)()(2)()8877(1)()()88n n n n n n n n +-⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩
，所以
7(1)(2)8
7(1)8n n n n ⎧
+≥+⨯⎪⎪⎨
⎪+≥⎪⎩
，即67n ≤≤，所以最大项为第6或7项。

26.已知数列{}n a 为等比数列，且21137
25a a a π+=，则)cos(122a a 的值为
_________________.
【答案】12
【解析】在等比数列中222211377772235a a a a a a π
+=+==，所以
2753a π
=
.所以
2212751
cos()cos()cos
cos 332
a a a ππ====. 27.已知数列{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，则15S ＝ ． 【答案】211
【解析】由1112()
n n n S S S S +-+=+
得
，111()()22
n n n
n
S S S S
S +----==,即12(2)n n a a n +-=≥，数列{n a }从第二项起构成等差数列，15S =1+2+4+6+8+…+28=211.。