2018-2019学年湖南省醴陵二中、醴陵四中高一下学期期中联考数学试题(解析版)

2018-2019学年湖南省醴陵二中、醴陵四中高一下学期期中联
考数学试题
一、单选题
1．下列说法正确的是（）
A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角
C．终边相同的角一定相等D．不相等的角，终边必定不同
【答案】A
【解析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
逐一考查所给的选项：
A. 锐角是第一象限角，题中说法正确；
B. 是第二象限角，但不是钝角，题中说法错误；
C. 和是终边相同的角，但是不相等，题中说法错误；
D. 和不相等，但是终边相同，题中说法错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查角的概念的推广与应用，属于基础题.
2．下列区间中，使函数为增函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解:因为使函数为增函数，则结合正弦函数图像可知，选C
3．下列函数中最小正周期为的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意逐一考查所给函数的最小正周期即可.
【详解】
逐一考查所给函数的最小正周期：
A. 的最小正周期为；
B. 的最小正周期为；
C. 的最小正周期为；
D. 的最小正周期为；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的最小正周期及其判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．设向量，，且，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得到x的方程，解方程即可确定x的值.
【详解】
由向量垂直的充分必要条件可得：
，解得：.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量垂直的充分必要条件，属于基础题.
5．下列各式中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】逐一考查所给的不等式是否成立即可.
【详解】
由三角函数的单调性和性质可得：
,而，所以，选项A错误；
，，
故，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的单调性，三角函数值的大小比较问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知是第二象限角，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意结合同角三角函数基本关系和三角函数的符号即可确定三角函数式的值.
【详解】
由题意可得：，
故，
是第二象限角，则，故.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系，象限角的符号问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得的函数解析式是（）A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意利用平移变换的结论即可确定函数的解析式.
【详解】
由函数平移变换的性质可知，平移变换后函数的解析式为：
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.
8．已知，且点位于之间，，则点坐标为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】应用利用向量的坐标运算即可确定点P的坐标.
【详解】
由题意可得：，设点P的坐标为：，
结合平面向量的坐标运算有：，即：,
据此可得：，解得，
即点P的坐标为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查向量共线的应用，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．已知，，，则（）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
【答案】A
【解析】由题意结合向量的运算法则和向量共线定理考查所给的选项是否正确即可. 【详解】
由题意可知：
，
故，选项A正确；
，选项B错误；
，选项C错误；
由于，选项D错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的运算，向量共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．已知，函数的图象关于直线对称，则的值可以是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以
因为函数的图象关于直线对称，所以
的值可以是，选D.
11．若是所在平面内一点，且满足，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】由题意结合向量的运算法则和三角形的性质即可确定三角形的形状.
【详解】
设点M为BC边的中点，由题意可得：
，
，
据此结合题意可知：，
由三角形的性质可知：的形状是直角三角形.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算法则，由向量解决三角形形状问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．已知函数在一个周期内的函数图像如图所示。

若方程在区间有两个不同的实数解，，则（）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】根据图像，求得函数的对称轴，由对称性可求得的值。

【详解】
由图像可知，函数关于或
所以或
所以选D
【点睛】
本题考查了三角函数图像对称轴性质的简单应用，属于基础题。

二、填空题
13．__________
【答案】
【解析】由题意利用诱导公式求解三角函数值即可.
【详解】
由题意可得：
.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查诱导公式及其应用，属于基础题.
14．已知，，，则__________
【答案】
【解析】由题意结合向量的运算法则和平行四边形的性质即可确定的值.
【详解】
由题意结合平行四边形的性质有：
，
即：，据此可得：.
【点睛】
本题主要考查向量的模的运算法则，平行四边形的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．__________
【答案】
【解析】由题意结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得：
原式 .
【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题 16．已知.求
（1）的值；
（2）的值。

【答案】（1）
（2）
【解析】(1)由题意利用两角和的正切公式可得三角函数式的值；
(2)由题意利用诱导公式和同角三角函数基本关系求解一次齐次三角函数式的值即可. 【详解】
（1）
.
（2）
.
【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．已知a ，b ，c 是在同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若25c =，且c a ，求c 坐标； （2）若5
b =
，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ． 【答案】(1) c =(2,4)或（-2，-4）;(2)
θπ=.
【解析】(1)由题意设出向量c 的坐标，结合题意解方程即可确定向量的坐标表示； (2)首先利用向量垂直的充分必要条件确定向量的数量积，然后利用夹角公式可得向量a 与b 的夹角. 【详解】 （1）
//c a ，设c a λ=，则(),2c λλ=，
又25c =，22420λλ∴+=，解得2λ=±，
()2,4c ∴=，或()2,4--．
（2）平面内向量夹角的θ的取值范围是[]
0,θπ∈，
()()22a b a b +⊥-，()()220a b a b ∴+⋅-=
又
5a =，5
2
b =，()
2
253∴⨯
+ 220a b b ⋅-=
解得52
a b ⋅=-
a b
cos a b
θ⋅∴=
⋅
51-
==-，
a ∴与
b 的夹角为180θ=︒.
【点睛】
本题主要考查共线向量的应用，向量的运算法则，向量夹角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当
时，求
的最小值以及取得最小值是的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】（1）利用倍角公式化简整理函数的表达式，由周期。

（2
）先求解，由正弦函数图像求解最值。

【详解】 ：
(1)
最小正周期为 (2)由
得，所以当 的最小值为.
取最小值时的集合为
【点睛】 ：三角函数在闭区间内上的最值问题的步骤：
（1）换元，令，其中
（2）画出三角函数
的函数图像。

（3）由图像得出最值。

19．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若，是第二象限角，求.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)由题意利用结合函数的解析式即可确定A的值；
(2)由题意结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式可得的值.
【详解】
（1）依题意得：，.
（2）由（1）得由可得：，
，
是第二象限角，
，
，
又，
是第三象限角，
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的运算，两角和差正余弦公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．已知函数关系式：的部分图象如图所示：
（1）求，，的值；
（2）设函数，求在上的单调递减区间。

【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：（1）根据函数图像最高点可确定A值，根据已知水平距离可计算周期，从而得出，然后代入图像上的点到原函数可求得即可；（2）先根据（1）得出g（x）表达式，然后根据正弦函数图像求出单调递减区间，再结合所给范围确定单调递减区间即可.
详解：
(1)由图形易得，
，解得，
此时．
因为的图象过，
所以，得．
因为，所以，
所以，得．
综上，，．
(2)由(1)得
．
由，解得，其中．
取，得，
所以在上的单调递减区间为．
点睛：考查三角函数的图像和基本性质，对三角函数各个变量的作用和求法的熟悉是解题关键，属于基础题.
21．已知向量，，若函数，则
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的图象，若函数
在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为（Ⅱ）
【解析】(Ⅰ)整理函数的解析式为的形式，由函数的解析式即可确定函数的最小正周期；
(Ⅱ)将原问题转化为函数有两个交点的问题，结合三角函数的图像即可确定实数的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）函数
.
.
函数的最小正周期为．
（Ⅱ）依题意将函数的图像向左平移个单位后得到函数
函数在上有两个零点，即函数与在有两个交点，如图所示：
所以，即，
所以实数取值范围为.
【点睛】
本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的最小正周期公式，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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