湖北省武汉市蔡甸区第二中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析

湖北省武汉市蔡甸区第二中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 平面内有A,B两定点,且,动点P满足则的取值范围是( )
A. [1,4]
B.[1,6]
C.[2,6]
D. [2,4]
参考答案：
D
2. 正方形的边长为，平面，，那么到对角线的距离是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()
A． B．
C． D．
参考答案：
B
4. 已知为正实数，且（）
A, B C D
参考答案：
C
5. 复数（）A．i B．－i C. 12－13i D．12+13i
参考答案：
A
6. 我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为右顶点和是上顶点，则（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
参考答案：
D
【分析】
设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F的坐标，利用向量与向量乘积为0，得到.
【详解】设椭圆的方程为，
由已知，得
则
离心率
即
故答案选D
【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题.
7. 对于命题和命题，则“为真命题”的必要不充分条件是（）
A. 为假命题
B. 为真命题
C. 为假命题
D. 为真命题
参考答案：
D
8. ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
9. 已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
10. 命题“对任意的”的否定是（）
A．不存在B．存在
C．存在 D．对任意的
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数,都有，则的值是______________
参考答案：
4
12. 已知函数，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m2﹣2tm+2恒成立，则实数t 的取值范围是．
参考答案：[，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】将问题转化为m2﹣2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．
【解答】解：f′（x）=﹣=，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极小值即最小值是f（1）=1；
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以m2﹣2tm+2≤f（x）min=f（1）=1即m2﹣2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，
所以，解得t≥，
故答案为：[，+∞）．
13. 以A（﹣1，2），B（5，﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是．
参考答案：
（x﹣2）2+（y+2）2=25
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【分析】利用中点坐标公式即可得到a，b．再利用两点间的距离公式可得圆的半径r=|AC|，进而得到圆的标准方程．
【解答】解：设以A（﹣1，2），B（5，﹣6）为直径两端点的圆的标准方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）．
则，解得a=2，b=﹣2．∴圆心C（2，﹣2）．
∴r2=|AC|2=（﹣1﹣2）2+（2+2）2=25．
故所求的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+2）2=25．
故答案为（x﹣2）2+（y+2）2=25．
【点评】本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本方法，属于基础题．
14. 已知满足约束条件，如果是取得最大值时的最优解，则实数的取值范围是
参考答案：
，画出可行域如图，将目标函数
化为直线的斜截式方程，显然当目标函数方向
线的斜率大于等于可行域的边界的斜率时，
直线在点处截距最小，即时，是目标函数取得最大值时的最
优解.
15. 函数的最小值是
参考答案：
16. 已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是____________．
参考答案：
4
考点：空间几何体的三视图与直观图
试题解析：第4个不行，因为等边三角形的边与高不等，所以正视图和侧视图不相同。

其余4个图都可以做俯视图。

故答案为：4
17. 数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．
参考答案：
1
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由
化简得答案．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，
得：，
整理得：，
即+5a1+a1+4d．
化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．
∴q==．
故答案为：1．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，，，，
，G是△ABC重心，E是边PC上点，且.
（1）当时，求证：EG∥平面PAB；
（2）若PC与平面ABE所成角的正弦值为时，求的值. 参考答案：
（1）
又
取AB边中点M，则M、G、C三点共线
且有
∴EG∥PM
∵EG平面PAB，PM平面PAB
∴EG∥平面PAB
（2）中：由余弦定理知
所以
故由题意可以A为原点，AC为y轴,
平面ABC为xoy平面建系如图所示则
假设假设平面ABE的法向量为
由
不妨假设
化简得：
由
所求
19. 设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：
（1）设M=+，N=+，求证M=N （2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
参考答案：
【分析】（1）利用已知条件求出ab=1，然后利用1的代换，化简N推出等于M即可．
（2）利用反证法，假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，推出ab＜1，这与ab=1矛盾，说明不等式成立．
【解答】证明：（1）由a+b=+=，a＞0，b＞0，得ab=1．
===M
所以得证M=N…
（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，
则由a2+a＜2及a＞0得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab=1矛盾．
故a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立…
20. (本小题12分)
求函数的极值
参考答案：
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝
略
21. 如图，斜率为的直线过抛物线的焦点，且交抛物线于点，点的坐标为，若四边形的面积为５，求的值.参考答案：
略
22. （本题满分14分）
设关于的一元二次方程
（1）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.
参考答案：
解：设事件为“方程有实数根”.
当时，因为方程有实数根，
则 ----------------2分
（1）基本事件共12个，如下：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值， ---------------6分
事件包含9个基本事件，事件发生的概率为 ----------------8分
（2）实验的全部结果所构成的区域为，
构成事件的区域为 ----------------12分
所以所求的概率为： ----------------14分。