高一数学不等关系及不等式的解法检测试题

【不等关系及不等式的解法】
本卷共100分，考试时间90分钟
一、选择题 (每小题4分，共40分)
1. 不等式
32->x
的解集是( ) A ．)32,(--∞ B ．)32,(--∞),0(+∞ C ．)0,32(-),0(+∞ D ．)0,32(- 2. 若01,a <<()|log |a f x x =，则下列各式中成立的是（ ）11.(2)()()34A f f f >> 11.()(2)()43
B f f f >> 11.()(2)()34
C f f f >> 11.()()(2)43
D f f f >>3. 若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是
A )2,2(-
B ]2,2(-
C ),2()2,(+∞--∞
D )2,(-∞
4. 已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 坐标均满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+010*******x y x y x ，则使POQ
∠cos 取最小值时的POQ ∠的大小为（ ） A. 2π B. π C. π2 D. 4
π 5. 设函数246,0(),6,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则不等式()(1)f x f >的解集是（ ）
Ａ．(3,1)(3,)-+∞ B ．(3,1)(2,)-+∞ C ．(1,1)(3,)-+∞ D ．(,3)(1,3)-∞-
6. 已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =2，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<)(1R x ∈，则不等式1)(+<x x f 的解集为（ ）
A ．),1(+∞
B ．)1,(--∞
C ．)1,1(-
D ．)1,(--∞∪),1(+∞
7. 已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =1，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有
)(x f '<)(21R x ∈，则不等式2
12)(22+<x x f 的解集为（ ） A ．),1(+∞ B ．)1,(--∞ C ．)1,1(-
D ．)1,(--∞∪),1(+∞
8. 已知函数x x f x
2log )31()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()
f x 的一个零点．给出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9. 直线)0(>+=n n my x 经过点)34,4(A ，若可行域⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥-+≤003y y x n m y x 围成的三角形的外接圆的直径为3
314，则实数n 的值是（ ） A. 3或5 B.4或5 C. 3或6 D.3或4
10. 若变量y x ,满足约束条件
|2|,10103x y z y y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+则的最大值为 （ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 二、填空题 (每小题4分，共16分)
11. 若155a ≤≤，则1a a
+的取值范围是 . 12. 已知函数3()2,f x x x x R =+∈，若不等式(cos )(sin )0f m f m θθ+-≥，当
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时恒成立，则实数m 的取值范围是 13. 已知三个不等式:①ab ＜0；②－a c ＞－b
d ；③bc ＞ad .以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个真命题.
14. 使2
12x x >成立的x 的取值范围是________；
三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)
15. (本小题满分10分）已知函数()||,()f x x x a a R =-∈
（1）若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；
（2）若对(0,1]x ∀∈都有()(,f x m m R m <∈是常数）,求a 的取值范围．
16. (本小题满分10分） 要将两种厚度、材质相同，大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格的成品．每张钢板可同时截得三种规格的块数如下表：
每张钢板的面积：第一张为21m ，第二张为22m ．今需要A 、B 、C 三种规格的成
品各为12、15、27块．则两种钢板各截多少张，可得所需三种规格的成品，且使所用钢板的面积最少？
17. (本小题满分12分）已知a , b 都是正数，△ABC 在平面直角坐标系xOy 内, 以两点A (a ,0 )和B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C 在第一象限内.
（1）若△ABC 能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1}内， 试求变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域；
（2）当(a, b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC
面积S 的最大值，并求此时（a , b ）的值.（14分）
18. (本小题满分12分）已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200
万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东
车站每年最多运280万吨煤，西车站每年最多运360万吨煤，甲
煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/
吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，使总运费最少？
答案
一、选择题
1. B
2. D
3. B
4. D
5. A
6. A
7. D
8. C
9. A10. D
二、填空题
11. 26[2,]512. m ≥113. 314. ()1,+∞
三、解答题
15. 解：（1）当2a =时，不等式(
)f x x <即|2|x x x -<
显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为： |2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<< 当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x <
综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或
（2）∵对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，显然0m >
即()m x x a m -<-<⇒对(0,1]x ∀∈，m m x a x x
-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，m m x a x x x -
<<+ 设(),(0,1]m g x x x x =-∈，()m p x x x
=+，(0,1]x ∈ 则对(0,1]x ∀∈，m m x a x x x
-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈ ∵2'()1,m g x x
=+当(0,1]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,1]上单调递增， ∴max ()1g x m =-
又∵2'()1m p x x =-
1≥即1m ≥时，对于(0,1]x ∈，'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数
∴min ()(1)1p x p m ==+.
1，即01m <<时，当x ∈，'()0p x ≤ 当x ∈，'()0p x >
∴在(0,1]上，min ()p x p ==
（或当01m <<时，在(0,1]上，()m p x x x =+≥=x =时取等号）
又∵当01m <<时，要max min ()()g x a p x <<即1m a -<<还需满足
1m >-解得31m -<
∴当31m -<时，1m a -<<；---13分 当1m ≥时，11m a m -<<+． 略
16. 解：设需第一种x 张，第二种y 张，所用钢板面积z 2m ，则
215,,327
0,0
x y x y Z x y x y ⎪+≥⎪∈⎨+≥⎪⎪≥≥⎩其中，目标函数2z x y =+，作图（略）由327915,1222x y A x y +=⎧⎛⎫⇒⎨ ⎪+=⎝⎭
⎩， 由于点A 不是整数点，可以在可行域内找出整点()4,8和()6,7 使得z 最小值是20．∴min 20Z =
17. 解析：（1）由题意知：顶点C 是分别以A 、B 为圆心，以|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，由圆A: ( x – a)2 + y 2 = a 2 + b 2 , 圆B: x 2 + ( y – b )2 = a 2 + b 2
. 解得 x = 23b a +, y = 23b a +，∴C （23b a +，2
3b a + ） △ABC 含于正方形D 内，即三顶点A ，B ，C 含于区域D 内时，
∴ ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧≤+≤≤+≤≤≤≤≤.1230,1230,10,10b a b a b a 这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形，
∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外．
（2）∵△ABC 是边长为22b a +的正三角形,∴ S = 4
3( a 2 + b 2 ) 在（1）的条件下, 当S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大, 由六边形中P 、Q 、R 相应的OP 、OQ 、OR 的计算.
OP 2 = OR 2 = 12 + ( 2 – 3)2 = 8 – 43，OQ 2 = 2(3 – 1)2
= 8 – 43. ∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –3), 或(3– 1, 3– 1), 或( 2 –3, 1 )时, S max =23– 3.
18. 解析：设甲煤矿调往东站的煤为x 万吨，乙煤矿调往东站的煤为y 万吨，则
那么总运费：)300(6.18.0)200(5.1y y x x z -++-+=万元，
即y x z 8.05.0780--=，而y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥≥-≥≤-+-≤+0
300;00
200;0360300200280y y x x y x y x ，作出可行域，
（略）设直线280=+y x 与y 轴交点为)280,0(M ，则.把直线08.05.0:=+y x l 向上平移至M 时z 最小。

所以甲煤矿生产的煤全部运往西站；乙煤矿向东站运280万吨，向西站云20万吨时，总运费最少。