2025届福州市重点中学高考数学三模试卷含解析

2025届福州市重点中学高考数学三模试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,
,22n x x x x ++++，下列
结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8
D ．平均数为20，方差为8
2．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直
于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
122x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．2
213
x y -=
D ．22
144
x y -=
3．已知函数有三个不同的零点 （其中
），则 的值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．
的是( )
A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y
t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为
256.5亿元. 5．复数5i
12i
+的虚部是 ( ) A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
6．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1
()(2)2
f x f x =
+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈）
，且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．[)0,+∞
B ．1,32⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．3,64⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．7,64⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．
2
3
B ．
43
C ．2
D ．4
8．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则(
)U
M N ⋂=（ ）
A ．{}|2x x >
B ．{}|1x x ≥
C ．{}|12x x <<
D ．{}|2x x ≥
9．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )
A ．60
B ．80
C ．90
D ．120
10．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x x
D ．{|56}-<x x
11．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则
PA PC +=（ ）
A ．
1233
BA BC + B ．
57
99
BA BC + C ．
110
99
BA BC + D ．
27
99
BA BC + 12．若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =-
，则sin cos A A -的值为（ ） A 15B ．15 C 5D ．5-3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若257n n S a =-，则n a =____
14．有以下四个命题：①在ABC ∆中，A B >的充要条件是sin sin A B >；②函数()y f x =在区间(1,2)上存在零点的充要条件是(1)(2)0f f ⋅<；③对于函数()y f x =，若(2)(2)f f =-，则()f x 必不是奇函数；④函数(1)y f x =-与(1)y f x =+的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的序号为______.
15．已知函数()()2
3241f x ax x a x =+++--的最小值为2，则a =_________．
16．已知向量(2,1)m =-，(4,)n y =，若m n ⊥，则2m n +=________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2
1()2
x
f x e ax x =-+
，其中1a >-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设2
1()()ln 2
h x f x ax x x =+-
-，求证：()2h x >； （Ⅲ）若21
()2
f x x x b ++≥对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 18．（12分）()ln f x x ax =-有最大值，且最大值大于0. （1）求a 的取值范围；
（2）当13
a =
时，()f x 有两个零点()1212,x x x x <，证明：2
12 30x x <. (参考数据：ln0.90.1≈-)
19．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3
B =． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）求cos(2)6
B π
-的值．
20．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点,E F 分别是线段,DC BC 的中点，分别将DAE △沿AE 折起，CEF △沿EF 折起，使得,D C 重合于点G ，连结AF .
（Ⅰ）求证：平面GEF ⊥平面GAF ； （Ⅱ）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值.
21．（12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos 3)cos 0(C A A B += （1）求内角B 的大小
（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.
22．（10分）定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，
1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．
（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？
（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且
1i j k a a a =的概率为
1
2
. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】
样本1231,1,1,
,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，
所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=.
故选:D. 【点睛】 样本123,,,,n x x x x 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数为ax b +,方差为22a s .
2、A 【解析】
点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】
不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=
，2tan a
BPF m
-∠=， 所以(
)2222tan tan 221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2
b m m
=()0m >，即当m b =时，等号成立，
此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，
点P 的坐标为()2,b ，代入22
221x y a b
-=
可得a =
b
所以双曲线的方程为22
122
x y -=．
【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3、A
【解析】
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.
【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
4、D
【解析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.
对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为
1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正
确.所以本题选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题. 5、C 【解析】
因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i
+的虚部是1 ，故选C. 6、C 【解析】
由已知先求出1
max ()2n f x -=，即12n n a ，进一步可得21n n S =-，再将所求问题转化为29
2n
n k -≥
对于任意正整数n 恒成立，设n c =29
2
n
n -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】
当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，1
1()2
[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，
1
max ()2
n f x -=，故1
2
n n
a ，1(12)
2112
n n n S ⨯-=
=--，若对于任意正整数n 不等式 ()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即29
2
n
n k -≥
对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n n
n n c c ++--=，令111202n n +->，解得11
2
n <， 令1
11202n n +-<，解得11
2
n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633
264
c ==，
所以364
k ≥. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.
7、B 【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为211421333
ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题． 8、A 【解析】 先求出
U
M ，再与集合N 求交集.
【详解】 由已知，{|1}U
M x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.
故选：A. 【点睛】
本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题. 9、B 【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍，
根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()355521551221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝
⎭，
取2r
得到2x 项的系数为：()2
25252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10、C 【解析】
根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【详解】
因为集合{|15}=-B x x ，所以{|51}=--B x x ， 则*{|61}=-<A B x x ，所以*(*){|110}=-<B A B x x . 故选:C. 【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 11、B 【解析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将1
3BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA =-代入化简即
可. 【详解】
2
3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-
2
()3BA BC BA AQ =+-+
1233BA BC =+-⨯1
3
AC 1257
()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 12、A 【解析】
由2sin 22sin cos 3A A A ==-，得到1sin cos 03A A =-<，得出(,)2
A π
π∈，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】
由题意，角A 满足2sin 22sin cos 3A A A ==-，则1
sin cos 03
A A =-<， 又由角A 是三角形的内角，所以(
,)2
A π
π∈，所以sin cos A A >，
因为()2
25sin cos 12sin cos 1()3
3
A A A A -=-=--=
，
所以sin cos A A -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
7533n -⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
【解析】
当1n =时，由1112572S a a =-=，解得17
3
a =
，当2n ≥时，11257,257n n n n S a S a --=-=-，两式相减可得1255n n n a a a -=-，即153n n a a -=，可得数列{}n a 是等比数列再求通项公式.
【详解】
当1n =时，1112572S a a =-=，即173
a =
， 当2n ≥时，11257,257n n n n S a S a --=-=-， 两式相减可得1255n n n a a a -=-， 即153n n a a -=，
即
15
3
n n a a -=， 故数列{}n a 是以
73为首项，5
3
为公比的等比数列， 所以1
7533n n a -⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
.
故答案为：1
7533n -⎛⎫
⋅ ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题. 14、① 【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②； 由(2)(2)0f f =-=，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④． 【详解】
解：①在ABC ∆中，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>，故①正确；
②函数()y f x =在区间(1,2)上存在零点，比如2
3()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在(1,2)存在零点32， 但是(1)(2)0f f ⋅>，故②错误；
③对于函数()y f x =，若(2)(2)0f f =-=，满足(2)(2)f f -=-， 但()f x 可能为奇函数，故③错误；
④函数(1)y f x =-与(1)y f x =+的图象，可令1x t -=，即1x t =-，
即有()y f t =和(2)y f t =-的图象关于直线1t =对称，即0x =对称，故④错误． 故答案为：①． 【点睛】
本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题． 15、
12
【解析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值. 【详解】
根据题意可知()()()()2222
242,24102244,2410x x x a x f x x a x x a x ⎧+++--≥⎪
=⎨-+-++--<⎪⎩
， 可以发现当2x =-或0x =时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是2x =-是分界点， 故()()()2
224210a ⨯-+-⨯--=，解得12a =，故答案是1
2
. 【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16、10 【解析】
根据垂直得到8y =，代入计算得到答案. 【详解】
m n ⊥，则(2,1)(4,)80m n y y ⋅=-⋅=-+=，解得8y =，
故()()()24,24,80,10m n +=-+=，故210m n +=. 故答案为：10. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）1
1e
+. 【解析】
（Ⅰ）利用二次求导可得()10x f x e ''=+>，所以()f x '在R 上为增函数，进而可得函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，
单调减区间为(,0)-∞；（Ⅱ）利用导数可得1()()x
x h x e x
ϕ='=-在区间(0,)+∞上存在唯一零点，所以函数()h x 在0(0,)
x 递减，在0(x ，)+∞递增，则0
00
001()()x h x h x e lnx lnx x =-=-，进而可证；（Ⅲ）条件等价于x e ax x b --对于x ∈R 恒成立，构造函数()x g x e ax x =--，利用导数可得()g x 的单调性，即可得到()g x 的最小值为
((1))1(1)(1)g ln a a a ln a +=+-++，再次构造函数ϕ（a ）1(1)(1)a ln a =-++，1a >-，利用导数得其单调区间，进而
求得最大值． 【详解】
（Ⅰ）当1a =时，2
1()2
x
f x e x x =-+
， 则()1x f x e x '=-+，所以(0)0f '=，
又因为()10x f x e ''=+>，所以()f x '在R 上为增函数， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当0x <时，()0f x '<，()f x 为减函数，
即函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞；
（Ⅱ）2211()22
x x
h x e ax x ax x lnx e lnx =-++--=-，
则令1()()x
x h x e x ϕ='=-，则ϕ（1）10e =->
，1()202ϕ-<，
所以()x ϕ在区间(0,)+∞上存在唯一零点， 设零点为0x ，则01(,1)2
x ∈，且0
1x e
x =
， 当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(x x ∈，)+∞，()0h x '>， 所以函数()h x 在0(0,)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 00000
1
()()x h x h x e lnx lnx x =-=
-，
由0
01x e x =
，得00ln x x =-，所以000
1
()2h x x x =+， 由于01
(,1)2
x ∈，0()2h x >，从而()2h x >； （Ⅲ）因为2
1()
2
f x x x b ++对于x ∈R 恒成立，即x e ax x b --对于x ∈R 恒成立， 不妨令()x
g x e ax x =--， 因为()(1)x g x e a '=-+，1a >-， 所以()0g x '=的解为(1)x ln a =+，
则当(1)x ln a >+时，()0g x '>，()g x 为增函数， 当(1)x ln a <+时，()0g x '<，()g x 为减函数，
所以()g x 的最小值为((1))1(1)(1)g ln a a a ln a +=+-++， 则1(1)(1)b a a ln a --++，
不妨令ϕ（a ）1(1)(1)a ln a =-++，1a >-，
则ϕ'（a ）(1)10ln a =-+-=，解得1
1a e =-+，
所以当1
1a e <-+时，ϕ'（a ）0>，ϕ（a ）为增函数，
当1
1a e >-+时，ϕ'（a ）0<，ϕ（a ）为减函数，
所以ϕ（a ）的最大值为11
(1)1e e ϕ-+=+，
则b a -的最大值为11e
+． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
18、（1）10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax
f x x
=
'-，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =的单调性，求出函数()y f x =的最大值，即可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围； （2）利用导数分析出函数()y f x =在()0,3上递增，在()3,+∞上递减，可得出1203x x <<<，由
()()12112221113030103ln ln 303x f x f f x f x x x x ⎛⎫
⎛⎫-=-
=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，构造函数()210
3ln ln 303x g x x x =-+-，证明出
()10g x >，进而得出()22130f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，再由函数()y f x =在区间()3,+∞上的单调性可证得结论.
【详解】
（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，且()1ax
f x x
='-. 当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，
此时函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =为最大值； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a
=. 当1
0x a
<<
时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增； 当1
x a
>
时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 所以，函数()y f x =在1
x a
=处取得极大值，亦即最大值， 即()max 1ln 10f x f a a ⎛⎫
==-->
⎪⎝⎭
，解得10a e <<. 综上所述，实数a 的取值范围是1
0a e
<<； （2）当13
a =
时，()1
ln 3f x x x =-，定义域为()0,∞+，
()11333x
f x x x
-'=-=，当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<.
所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,3，单调递减区间为()3,+∞. 由于函数()y f x =有两个零点1x 、2x 且12x x <，1203x x ∴<<<，
()()12112222111130303010ln ln 3x f x f f x f x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-
=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭1121103ln ln 303x x x =-+-，
构造函数()2
10
3ln ln 303x g x x x =-
+-，其中03x <<， ()3233
3120960
33x x g x x x x -+'=--=-
， 令()3
2
960h x x x =-+，()()2
31836h x x x x x '=-=-，当03x <<时，()0h x '<，
所以，函数()y h x =在区间()0,3上单调递减，则()()360h x h >=>，则()0g x '<. 所以，函数()y g x =在区间()0,3上单调递减，
103x <<，()()1101
33ln 31ln 30ln 0.9099
g x g ∴>=-+
-=+>， 即()()()211221130300f x f f x f g x x x ⎛⎫
⎛⎫
-=-=>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22130f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 103x <<，21303010393
x ∴
>=>且23x >，而函数()y f x =在()3,+∞上为减函数， 所以，221
30x x <，因此，2
1230x x <. 【点睛】
本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题. 19、
（Ⅰ）b =
【解析】
（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； （Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【详解】
（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =， 又3a =，所以1c =，
所以根据余弦定理得，2
29136
b +-=，
解得，b =
（Ⅱ）因为2cos 3B =
，所以sin 3
B =， 21cos22cos 19B B =-=-
，sin 22sin cos B B B ==
则111cos(2)sin 2()6292B B B π-+=-+． 【点睛】
本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.
20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）42
9
. 【解析】
（Ⅰ）根据GE GA ⊥，GE GF ⊥，可得GE ⊥平面GAF ，故而平面GEF ⊥平面GAF ．
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则可证FH ⊥平面GAE ，故FGH ∠为所求角，在AGF ∆中利用余弦定理计算cos FGH ∠，再计算sin FGH ∠．
【详解】
解：（Ⅰ）因为GE GA ⊥，GE GF ⊥，GE GF G =，GE 平面GAF ，GF ⊂平面GAF
所以GE ⊥平面GAF ， 又GE
平面GEF ，
所以平面GEF ⊥平面GAF ；
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则由GE ⊥平面GAF ，且FH
⊂平面GAF 知
GE FH ⊥，所以FH ⊥平面GAE ，从而FGH ∠是直线GF 与平面GAE 所成角.
因为3AG =，32FG =
，22373
4()22
AF =+=， 所以2
2
2
973
9744cos 329232
GA GF AF AGF GA GF +-
+-∠===-⋅⋅⋅⋅，
从而242
sin sin 1cos 9
FGH AGF AGF ∠=∠=-∠=
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 21、（1）3
B π
=（2）538
【解析】
（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin 3)0A B B -=，再由同角三角三角的基本关系得到
tan B ，即可求出角B ；
（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则
21sin 23ABC S AB π∆=
，1
42sin 2
AOB S θ∆=⨯⨯得到()
534sin 3cos OACB S θθ=+-四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】
解：（1）由cos cos 3sin )cos 0(C A A B +-=，
cos()(cos 3sin )cos 0A B A A B ∴-++-=，
cos cos sin sin (cos 3sin )cos 0A B A B A A B ∴-++-=， sin (sin 3cos )0A B B ∴-=，
sin 0A ≠，
tan 3B ∴=，
()0,B π∈， 3
B π
∴=
；
（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，
21sin 5343cos 23ABC S AB π
θ∆∴=
=- 142sin 4sin 2AOB S θθ∆=⋅⋅=，()
534sin 3cos 538sin()3OACB S π
θθθ∴=+-=+-四边形，
所以当56
π
θ=时有最大值538+
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.
22、（1）16；（2）115.
【解析】
(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“
1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可. (2)易得“
1,1,1﹣﹣”共有2
1m
p
C C 种,“1,1,1”共有3P
C 种.再根据古典概型的方法可知2133
1
2
m p p
m p
C C C C ++=
,利用组合数的计算公式可得()()
2232320p
m p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；
当2
2
32320p p mp m m +﹣
﹣﹣﹣＝时求得(
)232
m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满
足的正整数对即可. 【详解】
解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“
1,1,1﹣﹣”共有：2
1
3412C C ＝种, “1,1,1”共有：3
44C =种,
利用分类计数原理得：
(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,
则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．
（2）与(1)同理,“
1,1,1﹣﹣”共有21
m p C C 种, “1,1,1”共有3
P C 种,
而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3
m p C +种,
根据古典概型有：
21
33
1
2
m p p
m p
C C C C ++=
, 再根据组合数的计算公式能得到：
()()2232320p
m p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足1100
3m p m p p m ≤≤≤⎧⎪
+≥⎨⎪=⎩
,
()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,
2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,
应满足2211003
32320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪
+≥⎨⎪--+--=⎩
, 视m 为常数,可解得(
)232
m p +±
＝
,
1,m ≥
5≥,
根据p m ≥可知,(
)232
m p ++＝
,
1m ≥
,
5≥,
根据p m ≥可知,(
)232
m p ++＝
,（否则1p m
≤﹣）,
下设k 则由于p 为正整数知k 必为正整数,
1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,
化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()
*21,k t t N +∈＝,
则224,t ≤≤
()211246
t t k m +-∴=
＝, 由于,1t t +中必存在偶数,
∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,
2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．
检验：()()()23114850100,22424
m k k p ++
-++=≤＝＝ 符合题意, ∴共有16个,
综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意．
【点睛】
本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。