人教A版高中数学必修2：异面直线所成的角

b
b′
α
a
O a′
(1)两异面直线所成的角 θ 的范围是多少？ (0°, 90°]
(2)在定义中，空间一点 O 是任意取的． (3)在操作中，点 O 常取在两异面直线的一条上．
例题选讲
【例 1】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点，
D A
C１ B１
C B
小结：
1、求异面直线所成角的一般步骤： 一作二证三求角 2、作异面直线所成角常用方法： （1）平移法 （2）补形法
3、初步体验把空间问题转化为平面问题 的思想方法
Ａ
E
D
F
Ｂ
G
C
例题选讲
【例4】已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧面均是正方形，各 棱长为a，求AC1与A1B所成的角的余弦。
C2
补
A2
B2
形
法
C1
A1
B1
C
A
B
练习3：
如图．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c, AB=a, AD=b, 且a>b.求AC1与BD所成角的余弦值。
D１ A１
第一步作图：确定平移点，做出平行线，构建三角形; 第二步证明：证明作出的角即为异面直线所成角或其补角; 第三步计算：计算作出角的大小（求余弦），并判断角的大小.
作图
证明
计算
结论
例题选讲
【例 3】、如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别 是 BC、AD 上的中点，AB＝4，CD＝10，EF＝6。求异面直 线 AB、CD 所成的角。
(1) 求直线 A1C 与直线 BD 所成的角；
(2) 求直线 A1E 与直线 BF 所成角的余弦值．
D1
C1
平移法
A1 D
B1 F
E C
A
B
例题选讲
【例 2】已知在边长为 1 的正四面体 ABCD 中，M、N 分别为
BC、AD 的中点，求 AM 与 CN 所成角的余弦值。
Ａ
·N
D
Ｂ ·E
M
C
小结：求异面直线所成角的一般步骤
C
E
B G
A
F
D
变式练习
1. 若在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，
AB＝4，CD＝20，EF＝7， AF BE 1 。求异面直线 AB、 FD EC 3
CD 所成的角。
C
E
BG
A
F
D
变式练习
2.已知在四面体 ABCD 中，AB 与 CD 所成角为 60°, AB=CD=2， E、F 分别为 AC、BD 上的中点，求 EF 的长度。
异面直线所成的角
复习引入
1. 空间中两直线的位置关系
共面直线 异面直线
相交直线 :同一平面内，有且只有一个公共点. 平行直线 :同一平面内，没有公共点. :不同在任何一个平面内，没有公共点.
2. 等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 个角相等或互补．
新课
3. 异面直线所成的角
已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，我们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫做异