立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结
一、立体几何知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。

直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。

棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。

棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。

（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。

圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。

（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'
h 为斜高，l 为母线）
ch S =直棱柱侧面积
rh
S π2=圆柱侧
'2
1
ch S =
正棱锥侧面积 rl
S π=圆锥侧面积
')(2
121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13
V S h =锥 h r V 23
1π=圆锥
'1()3
V S S h =+台 '22
11()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台
（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343
R π ； S 球面=24R
π
3、平面及基本性质
公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P
公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）
4、空间两直线的位置关系
共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线
（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P
★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.
②向量法 |
||||,cos |cos b a =
><=θ （注意异面直线所成角的范围]
2
,
0(π
（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；
②向量法 0=⋅⇔⊥
（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.
6、 直线与平面的位置关系
1、直线与平面的位置关系
A a a a =⋂⊂ααα,//,
2、直线与平面平行的判定
（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )
（2）面面平行的性质：
βαβα////a a ⇒⎭
⎬⎫
⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质
b a b a a //,//⇒⎭
⎬⎫
=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )
★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用
a l a l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）
（3）
αα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）
（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥l l // 5、射影长定理
★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜
7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行
8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβα
α//,,//,//⇒⎭
⎬⎫
=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）
（2）
βαβα//⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质
（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂
（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭
⎬⎫
=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线
平行20P ）
（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质
（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）
（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线
面垂直51P ）
12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2
,
0(π
（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则
||
|||,cos |sin n AB =
><=θ )2
,
0(πθ∈
（3）两个重要结论
最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；
（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；
（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d =
直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离
① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离
向量法 d =
（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直
线的向量） 注意理解应用：θcos 22
2
2
2
mn d n m l ±++=
二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：
()1求两个向量差的运算称为向量的减法，
它遵循三角形法则．即：在空间任取一点
O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．
()2求两个向量和的运算称为向量的加法：
在空间以同一点O 为起点的两个已知向量
a 、
b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．
3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．
5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有
序实数对x ，y ，使x y C A P =A B +
A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A +A
B +A ；或若四点P ，A ，B ，
C 共面，则
()1x y z C x y z O P =O A +
O B +O ++
=
． 7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．
8、对于两个非零向量a 和b ，若,2
a b π
〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，
记作a b ⊥．
9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有
()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()(
)
a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩
与同向
与反向，2
a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4c o s ,a
b a b a b
⋅〈〉=
；
()
5a b a b ⋅≤．
12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．
13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，
2e ，3e 的方向为x 轴，
y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则
对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O
重合，得到向量p O P =
．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p x e y e z e =++．把
x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．
15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则
()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()
3()111,,a x y z λλλλ=．
()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若
a 、
b 为非零向量，则
12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．
()
6若
b ≠，则
1
2/
/,,a b a b x
λ
λλλ⇔
=
⇔=
=
．()721a a a x =⋅=+ ()82
1
cos ,a b a b a b
x ⋅〈〉=
=
+．
()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =
16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，
b 就确定了平面α的位置．
17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．
18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则
////a b a b ⇔⇔
()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．
19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．
20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则
////a b αβ⇔⇔
a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．
21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a b
θϕ⋅==
．
22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l n
θϕ⋅==
．
23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角
（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212
cos n n n n θ⋅=．
24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n n
PA ⋅=PA 〈PA 〉=．
25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．
26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n n
PA ⋅=PA 〈PA 〉=。