华东师大版八年级数学下册 第17章 一次函数、反比例函数专项练习(含答案)

华东师大版八年级数学下册第17章一次函数、反比例函数专项练习专训1 用一次函数巧解实际中方案设计的应用做一件事情，有时有不同的方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的．解决这些问题时，先要弄清题意，根据题意构建恰当的函数模型，求出自变量的取值范围，然后再结合实际问题确定最佳方案．合理决策问题
1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8 000元．设商场投入资金x元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多．
选择方案问题
2．某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选择哪家宾馆更实惠些？
最佳效益问题
3．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时，甲商场收费为y
元，乙商场收费为y2元．
1
(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式．
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
(3)当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
专训2 反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，有时也与二次函数(以后会学到)综合考查．其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等．
反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．如图，函数y ＝k(x －10)和函数y ＝k
x (其中k 是不等于0的常数)在同一
平面直角坐标系中的大致图象可能为( )
(第1题)
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k
x (k≠0)在同一平面直角坐标系中
的大致图象如图所示，则k ，b 的取值范围是( )
(第2题) A．k>0，b>0 B．k<0，b>0
C．k<0，b<0 D．k>0，b<0
反比例函数与一次函数的图象与性质
3．如图，正比例函数y
1＝k
1
x和反比例函数y
2
＝
k
2
x
的图象交于A(1，2)，B
两点，给出下列结论：
(第3题)
①k
1<k
2
；
②当x<－1时，y
1<y
2
；
③当y
1>y
2
时，x>1；
④当x<0时，y
2
随x的增大而减小．其中正确的有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
4．已知函数y
1＝x(x≥0)，y
2
＝
4
x
(x>0)的图象如图所示，则以下结论：
(第4题) ①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；
②当x>2时，y
1>y
2
；
③图中BC＝2；
④两函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________．
反比例函数与一次函数的有关计算
类型1 求函数表达式
5．如图，已知A(n ，－2)，B(1，4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m
x
的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．
(第5题)
6．已知反比例函数y ＝k
x (k≠0)和一次函数y ＝mx ＋n(m≠0)的图象的一个交
点A 的坐标为(－3，4)，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的表达式．
类型2 求面积
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4
x
在第一象限内交于点C(1，m)．【导学号：71412034】
(1)求m 和n 的值；
(2)过x 轴上的点D(3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线
y ＝4
x
交于点P ，Q ，求△APQ 的面积．
(第7题)
类型3 求点的坐标
8．如图，在平面直角坐标系中，过点M(0，2)的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数y ＝6x (x>0)和y ＝k
x
(x<0)的图象交于点P 、点Q.
(1)求点P 的坐标；
(第8题)
(2)若△POQ 的面积为8，求k 的值．
类型4有关最值的计算题
9．如图，一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝k
x
(k≠0)在第一象限
的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△OAM的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．
(第9题)
参考答案
专训1
1．解：设如果商场本月初出售，下月初可获利y
1
元，
则y
1
＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x，
设如果商场下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8 000＝0.25x－8 000.
当y1＝y2时，0.21x＝0.25x－8 000，解得x＝200 000；
当y1>y2时，0.21x>0.25x－8 000，解得x<200 000；
当y1<y2时，0.21x<0.25x－8 000，解得x>200 000.
所以若商场投入资金为20万元，两种出售方式获利相同；若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多；若投入资金多于20万元，下月初出售获利
较多．
2．分析：设总人数是x 人，当x≤35时，选择两家宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较实惠；当x>45时，两家宾馆的收费可以表示成人数x 的函数，比较两个函数值的大小即可．
解：设总人数是x 人，甲宾馆的收费为y 甲元，乙宾馆的收费为y 乙元， 当x≤35时，两家宾馆的费用是一样的； 当35<x≤45时，选择甲宾馆比较实惠；
当x>45时，甲宾馆的收费y 甲＝35×120＋0.9×120×(x－35)，即y 甲＝108x ＋420，
乙宾馆的收费y 乙＝45×120＋0.8×120(x－45)＝96x ＋1 080. 当y 甲＝y 乙时，108x ＋420＝96x ＋1 080，解得x ＝55； 当y 甲>y 乙时，108x ＋420>96x ＋1 080，解得x>55； 当y 甲<y 乙时，108x ＋420<96x ＋1 080，解得x<55.
综上可得，当x≤35或x ＝55时，两家宾馆的费用是一样的； 当35<x<55时，选择甲宾馆比较实惠； 当x>55时，选择乙宾馆比较实惠．
3．解：(1)当x ＝1时，y 1＝3 000；当x ＞1时，y 1＝3 000＋3 000(x －1)×(1－30%)＝2 100x ＋900.
所以y 1＝⎩⎨⎧3 000（x ＝1），2 100x ＋900（x ＞1，x 为整数）.
y 2＝3 000x (1－25%)＝2 250x (x 为正整数)．
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，2 100x ＋900＝2 250x ，解得x ＝6.故甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件．
(3)应选择乙商场更优惠，理由如下：当x ＝5时，y 1＝2 100x ＋900＝2 100×5＋900＝11 400，y 2＝2 250x ＝2 250×5＝11 250，因为11 400＞11 250，所以当所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．
专训2
1．C 2.C 3.C
4．①②④⑤
5．解：(1)将B(1，4)的坐标代入y ＝m x 中，得m ＝4，所以y ＝4
x .
将A(n ，－2)的坐标代入y ＝4
x
中，得n ＝－2.
将A(－2，－2)，B(1，4)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝2x ＋2. (2)对于y ＝2x ＋2，令x ＝0，则y ＝2，所以OC ＝2， 所以S △AOC ＝1
2
×2×2＝2.
6．解：∵函数y ＝k
x 的图象经过点A(－3，4)，
∴4＝k －3.∴k＝－12.∴反比例函数的表达式为y ＝－12
x
.
又由题意知，一次函数y ＝mx ＋n 的图象与x 轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)．
当直线y ＝mx ＋n 经过点(－3，4)和(5，0)时， 有⎩
⎨⎧4＝－3m ＋n ，
0＝5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1
2，n ＝52， ∴y＝－12x ＋5
2
；
当直线y ＝mx ＋n 经过点(－3，4)和(－5，0)时， 有⎩⎨⎧4＝－3m ＋n ，0＝－5m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝10， ∴y＝2x ＋10.
∴一次函数的表达式为y ＝－12x ＋5
2
或y ＝2x ＋10.
技巧点拨：此题是一次函数和反比例函数相结合的小型综合题，要特别注意
距离与坐标的关系，考虑问题要全面．
7．解：(1)把(1，m)代入y ＝4x ，得m ＝4
1，
∴m＝4.
∴点C 的坐标为(1，4)．
把(1，4)代入y ＝2x ＋n ，得4＝2×1＋n ，解得n ＝2. (2)对于y ＝2x ＋2，令x ＝3，则y ＝2×3＋2＝8， ∴点P 的坐标为(3，8)．
令y ＝0，则2x ＋2＝0，得x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)． 对于y ＝4x ，令x ＝3，则y ＝4
3.
∴点Q 的坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫3，43.
∴△APQ 的面积＝12AD·PQ＝12×(3＋1)×⎝
⎛
⎭⎪⎫8－43＝403. 点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式，解答这类题通常运用方程思想．
8．解：(1)∵PQ∥x 轴， ∴点P 的纵坐标为2. 把y ＝2代入y ＝6
x 得x ＝3，
∴点P 的坐标为(3，2)． (2)∵S △POQ ＝S △OMQ ＋S △OMP ， ∴12|k|＋1
2
×|6|＝8， ∴|k|＝10.又∵k<0，∴k＝－10.
9．解：(1)将B(4，1)的坐标代入y ＝k x ，得1＝k 4，∴k＝4.∴y＝4x .
将B(4，1)的坐标代入y ＝mx ＋5， 得1＝4m ＋5，∴m＝－1.∴y＝－x ＋5.
(2)对于y ＝4
x ，令x ＝1，则y ＝4，
∴A(1，4)．∴S＝1
2
×1×4＝2.
(第9题)
(3)如图，作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，作直线BN ，交y 轴于点P ，点P 即为所求．
设直线BN 对应的函数表达式为y ＝ax ＋b ，将B(4，1)，N(－1，4)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，
得⎩⎨⎧4a ＋b ＝1，
－a ＋b ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3
5，b ＝175，
∴y＝－35x ＋175.∴P ⎝
⎛⎭⎪⎫0，175.。