2019-2020学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)试题及答案(解析版)

2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程0()(o y y k x x -=- ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线
C ．不能表示与y 轴垂直的直线
D ．不能表示与x 轴垂直的直线
2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，(n β⊂ ) A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交 B ．若//m β，//n α则//αβ
C ．若m n ⊥，则αβ⊥
D ．若m β⊥，则αβ⊥
3．过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -=
C ．210x y --=
D ．210x y --=或250x y -=
4．给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是( ) A ．②③
B ．①②
C ．①②③
D ．②
5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A B C D ''''，如图2所示．其中24A B A D ''=''=，则该几何体的表面积为( )
A ．1612π+
B ．168π+
C ．1610π+
D ．8π
6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是( )
A ．P
B AD ⊥
B ．平面PAB ⊥平面PB
C C ．直线//BC 平面PAE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒
7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AB AD =，1BC =，CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A ．
43
π B ．
83
π C D ．36π
8．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )
A ．8
B ．C
D ．16
9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( )
A ．2
B ．4
C ．
128
7
D ．2或
128
7
11．如图，正四面体D ABC -的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz
上，则在下列命题中，错误的是( )
A ．O ABC -是正三棱锥
B ．直线OB 与平面ACD 相交
C ．直线C
D 与平面ABC
D ．异面直线AB 和CD 所成角是90︒
12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面α（与底面不平行）与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，3433h h h +=，则多面体EFGH ABCD -的体积为( )
A ．
2
1710
a h B ．227
8
a h
C ．237
6
a h
D ．247
4
a h
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案填在答题卡的相应位置. 13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC PB ⊥；②//AC 平面PDE ； ③AB ⊥平面PDE ．其中正确的个数是 ．
14．若直线2(1)(2)1m x m m y m ++--=+在y 轴上的截距等于1，则实数m 的值为 ．
15．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为 ．
16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17．已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)0l a x y b -++=．求分别满足下列条件的a ，b 的值．
（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；
（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．
19．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
20．如图．在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，13AA =，D 是BC 的
中点，点E 在棱1BB 上运动． （1）证明：1AD C E ⊥；
（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．
21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．
（1）求异面直线DM 与BE 所成角的大小； （2）求二面角M BD A --的余弦值．
2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程0()(o y y k x x -=- ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线
C ．不能表示与y 轴垂直的直线
D ．不能表示与x 轴垂直的直线
【解答】解：方程0()o y y k x x -=-是直线的点斜式方程， 当直线垂直x 轴时，斜率不存在，不能用点斜式表示． 故选：D ．
2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，(n β⊂ ) A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交 B ．若//m β，//n α则//αβ
C ．若m n ⊥，则αβ⊥
D ．若m β⊥，则αβ⊥
【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，知：
在A 中，若m ，n 是异面直线，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若//m β，//n α，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；
在D 中，若m β⊥，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．
3．过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -=
C ．210x y --=
D ．210x y --=或250x y -=
【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为25
， 故直线的方程为2
5
y x =
，即250x y -=． 当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k ，则在y 轴上的截距是2k ，直线的方程为
12x y k k
+=， 把点(5,2)代入可得5212k k
+=，解得6k =． 故直线的方程为1612
x y
+=，即2120x y +-=． 故选：B ．
4．给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是( ) A ．②③
B ．①②
C ．①②③
D ．②
【解答】解：①错误．如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．
②正确．如图，平面//αβ，A α∈，C α∈，D β∈，B β∈且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，
过C 作//CG AB 交平面β于G ，连接BG 、GD ． 设H 是CG 的中点，则//EH BG ，//HF GD ． //EH ∴平面β，//HF 平面β． ∴平面//EHF 平面//β平面α．
//EF α∴，//EF β．
③不正确．如图，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作//a a '，//b b '，则a '、b '确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是唯一确定的．与平面EFH 平行的平面（与异面直线不重合的平面）与两条异面直线都平行．
故选：D ．
5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A B C D ''''，如图2所示．其中24A B A D ''=''=，则该几何体的表面积为( )
A ．1612π+
B ．168π+
C ．1610π+
D ．8π
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是半个圆柱， 所以几何体的表面积为：2224441612πππ++⨯=+． 故选：A ．
6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是( )
A ．P
B AD ⊥
B ．平面PAB ⊥平面PB
C C ．直线//BC 平面PAE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒ 【解答】解：
AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，
所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，
所以平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；////BC AD 平面PAD ， ∴直线//BC 平面PAE 也不成立．
在Rt PAD ∆中，2PA AD AB ==，45PDA ∴∠=︒， 故选：D ．
7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AB AD =，1BC =，CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A ．
43
π B ．
83
π C D ．36π
【解答】解：如图，BC CD ⊥，1BC =，CD =， 2BD ∴=，
AB AD ==，
AB AD ∴⊥，
BD ∴的中点O 为外接球球心，
故半径为1， 体积为
43
π， 故选：A ．
8．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )
A ．8
B ．C
D ．16
【解答】解：根据题意，点(,)P x y 在直线40x y +-=上， 则有4x y +=，即4x y =-，
则222222(4)28162(2)8x y y y y y y +=-+=-+=-+， 分析可得：当2y =时，22x y +取得最小值8， 故选：A ．
9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA ⊥底面ABCD ，
AC =，CD =，
3PC =，PD =，可得三角形PCD 不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：PAB ∆，PBC ∆， PAD ∆．
故选：C ．
10．已知{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( )
A ．2
B ．4
C ．
128
7
D ．2或
128
7
【解答】解：因为{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅， 所以
3134
758
m m m +-=≠
-，解得2m =-． 所以直线方程为20x y ++=．它与坐标轴的交点为(2,0)-与(0,2)-．
直线20
x y
++=与坐标轴围成的三角形面积是1
222
2
⨯⨯=．
故选：A．
11．如图，正四面体D ABC
-的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的是()
A．O ABC
-是正三棱锥
B．直线OB与平面ACD相交
C．直线CD与平面ABC
D．异面直线AB和CD所成角是90︒
【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，ABC
∴∆为等边三角形，
又OA、OB、OC两两垂直，OA
∴⊥面OBC，OA BC
∴⊥．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC AM
⊥，M
∴为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
N
∴为底面ABC
∆中心，O ABC
∴-是正三棱锥，
故A正确；
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则B正确；
对于C，CD在平面ABC AC，
直线CD与平面ABC C错误；
对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，
则异面直线AB和CD所成的角为90︒，
故D正确．
故选：C．
12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面α（与底面不平行）与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，3433h h h +=，则多面体EFGH ABCD -的体积为( )
A ．
2
1710
a h B ．227
8
a h
C ．237
6
a h
D ．247
4
a h
【解答】解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得： //EF GH ，//EH FH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，
连结AC ，BD 交于点O ，连结EG ，FH ，交于点1O ， 连结1OO ，则123412h h h h OO +=+=， 1232h h h +=，3433h h h +=，
∴1343h h =
，2323h h =，435
3
h h =， 两个多面体EFGHABCD 可以拼成都市个长方体， ∴多面体EFGHABCD 的体积为：
2
22221331247777
268410
h h V a a h a h a h a h +=====． 故选：C ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案填在答题卡的相应位置. 13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC PB ⊥；②//AC 平面PDE ； ③AB ⊥平面PDE ．其中正确的个数是 2 ．
【解答】解：①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确； ②
//AC DE ，AC ⊂/面PDE ，DE ⊂面PDE ，
//AC ∴平面PDE ，故正确；
③若AB ⊥平面PDE ，则AB DE ⊥，因为//DE AC ，AC 与AB 不垂直，如图，③显然不正确．
故答案为：2．
14．若直线2(1)(2)1m x m m y m ++--=+在y 轴上的截距等于1，则实数m 的值为 3 ． 【解答】解：由题意可知直线过(0,1)，
代入可得221m m m --=+，变形可得2230m m --=， 解得3m =，或1m =-
当1m =-时，2120m m m +=--=，不满足题意， 故答案为：3
15．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、
圆锥、球的表面积之比为 61:4 ．
【解答】解：设球的半径为R ，则圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=+=， 圆锥的表面积2225(51)S R R R R πππ=+=+， 球的表面积234S R π=，
所以表面积之比为61:4+．
故答案为：61:4+．
16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平
面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 【解答】解：过球心O 作平面ABC 的垂线段OD ，垂足为D ，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ， 连接BD ，则OD BD ⊥，OD DE ⊥，如图所示；
则球的表面积为2420OB ππ=，解得半径OB =；
又1OD =，2BD ∴===； 又ABC ∆是等边三角形，D ∴是ABC ∆的中心， 1
12
DE BD ∴=
=，2AB BE ====；
223ABC S AB ∆∴=
== 由球的对称性可知当S 在AB 的中垂线上时，S 到平面ABC 的距离最大， 过O 作平面SAB 的垂线段SH ，垂足为H ，
平面SAB ⊥平面ABC ，DE AB ⊥，平面SAB ⋂平面ABC AB =，DE ⊂平面ABC ， DE ∴⊥平面SAB ；又SE ⊂平面SAB ， DE SE ∴⊥，
∴四边形ODEH 是矩形，
1OH DE ∴==，1HE OD ==，
OS OB ==
2SH ∴===，
213SE SH HE ∴=+=+=；
则三棱锥面积的最大值为：
11
333
ABC S ABC V S SE ∆-=⋅⋅=⨯=三棱锥．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17．已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)0l a x y b -++=．求分别满足下列条件的a ，b 的值．
（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；
（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等． 【解答】解：（1）12l l ⊥，
(1)()10a a b ∴-+-=，即20a a b --=①
又点(3,1)--在1l 上， 340a b ∴-++=②
由①②得2a =，2b =． （2）12//l l ，∴
1a a b =-，1a
b a
∴=
-，
故1l 和2l 的方程可分别表示为： 4(1)(1)0a a x y a --++
=，(1)01a
a x y a
-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等． 14|
|||1a a a a -∴=-，2a ∴=或23
a =， 2a ∴=，2
b =-或2
3
a =
，2b =． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．
【解答】证明：（1）
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
PA BD ∴⊥，底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥， AC ⊂面PAC ，PA ⊂面PAC ，AC
PA A =，BD ∴⊥平面PAC ，
BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．
（2）因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以11
24
M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==，
从而P ABCD V -=．又2AB =，60BAD ∠=︒，所以ABCD S =，
四棱锥P ABCD -的高为PA ，∴13PA ⨯=，得3
2
PA =，
PA ⊥面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥．
在Rt PAB ∆中，5
2
PB ===．
19．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
【解答】解：（1）直线l 的方程可化为：21y kx k =++，则直线l 在y 轴上的截距为21k +， 要使直线l 不经过第四象限，则0120k k ⎧⎨+⎩
…
…，解得k 的取值范围是：0k ⋯…
（2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为：12k
k
+-，在y 轴上的截距为12k +， 12(k A k +∴-
，0)，(0,12)B k +，又120k
k
+-<且120k +>， 0k ∴>，故1112111||||(12)(44)(44)42222k S OA OB k k k k +==⨯+=+++=…，
当且仅当1
4k k
=，即1
2
k =
时取等号， 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=⋯
20．如图．在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，13AA =，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动． （1）证明：1AD C E ⊥；
（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．
【解答】解：（1）直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，1AD BB ∴⊥
ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 中点，AD BC ∴⊥
又
BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，1BC BB B =
AD ∴⊥平面11BB C C ，结合1C E ⊂平面11BB C C ，可得1AD C E ⊥；
（2）直棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，
11EC A ∴∠（或其补角）即为异面直线AC 、1C E 所成的角 11190BAC B A C ∠=∠=︒，1111A C A B ∴⊥，
又
1AA ⊥平面111A B C ，可得111A C AA ⊥，
∴结合1111A B AA A =，可得11A C ⊥平面11AA B B ，
1A E ⊂平面11AA B B ，111A C A E ∴⊥
因此，Rt △11A C E 中，1160EC A ∠=︒，可得111111
cos 2
A C EC A C E ∠==
，得1112C E A C ==
又
112B C ==
，12B E ∴==
由此可得11111111
112
23323
C A B E A B E
V S
A C -=⨯=⨯⨯=
21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．
（1）求异面直线DM 与BE 所成角的大小； （2）求二面角M BD A
--的余弦值．
【解答】解：DA ⊥平面EAB ， ∴平面ABCD ⊥平面EAB ，
又EA AB ⊥，且平面ABCD ⋂平面EAB AB =， EA ∴⊥平面ABCD ，
∴直线AE 、AB 、AD 两两垂直，
以点A 为原点，AE 、AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设4EA =，
(0A ∴，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，4，2)，(0D ，0，4)，(4E ，0，0)，
M 是EC 的中点， (2M ∴，2，1)，
（1）(2,2,3)DM =-，(4,4,0)BE =-，
∴cos ,0||||491616
DM BE DM BE DM BE <>=
==+，
∴异面直线DM 与BE 所成角的大小为90︒；
（2）设二面角M BD A --的大小为θ， (0,4,4)BD =-，(2,2,1)BM =-，(0,4,0)AB =，
∴平面BDM 的一个法向量1(4,8,8)n =，平面BDA 的一个法向量2(16,0,0)n =-
∴121212||1
|cos ||cos ,|3
||||
16n n n n n n θ=<>=
=
=，
由图可知，θ为锐角，
∴二面角M BD A --的余弦值为1
3
．。