部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案知识总结例题

(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案知识总结例题
单选题
1、如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）
A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
2、已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：
①若m⊥l，则m//α；
②若m⊥α，则m//l；
③若m//α，则m⊥l；
④若m//l，则m⊥α；
上述判断中正确的是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
3、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）
A ．132
B ．223
C ．152
D ．23
3
4、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m 时，相应水面的面积为140．0km 2；水位为海拔157．5m 时，相应水面的面积为180．0km 2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m 上升到157．5m 时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ）
A ．1.0×109m 3
B ．1.2×109m 3
C ．1.4×109m 3
D ．1.6×109m 3
5、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π
3的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A ．√2
3πB ．
2√2
3
πC ．πD ．√2π 6、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．48
7、如图，某圆锥的轴截面ABC 是等边三角形，点D 是线段AB 的中点，点E 在底面圆的圆周上，且BE ⌢的长度等于CE
⌢的长度，则异面直线DE 与BC 所成角的余弦值是（ ）
A ．√2
4B ．√6
4C ．
√104D ．√14
4
8、已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ） A ．2√3B ．3C ．√3D ．√3
3
多选题
9、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与BN是平行直线B．直线BN与MB1是异面直线
C．直线MN与AC所成的角为60°D．平面BMN截正方体所得的截面面积为9
2
10、如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）
A．OM∥PD B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
11、如图，在棱长均相等的正四棱锥P−ABCD中，M、N分别为侧棱PA、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有（）
A．PC//平面OMN B．平面PCD//平面OMN
C．OM⊥PA D．PD⊥平面OMN
填空题
12、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案(十八)参考答案
1、答案：A
分析：由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；
进一步得到平面PCD⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；
再证明AB⊥平面PAD，得到△PAB为直角三角形，判定D正确；
可证明平面PBC⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC，矛盾，可判断A
图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；
由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，
而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；
∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，
而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．
由于BC⊥平面PDC，又BC⊂平面PBC
∴平面PBC⊥平面PDC
若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC
由于AB//平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线//AB
显然AB不与平面PBC垂直，故A错误
故选：A
2、答案：B
分析：根据线面的位置关系，线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即得. 对于①，当m⊂平面α也可以有m⊥l，但m不平行于平面α，故①错；
对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；
对于③，根据线面平行的性质定理可得存在n⊂α且m∥n．而直线l⊥平面α，故可根据线面垂直的性质得
出l⊥n，故l⊥m正确；
对于④，根据直线l⊥平面α，可在平面α内找到两条相交直线p，n，且l⊥p，l⊥n，又m∥l，所以m⊥p，m⊥n，故根据线面垂直的判定定理可知，m⊥α正确．
即②③④正确．
故选：B．
3、答案：C
分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．
解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，
由图示可知，该空间几何体体积为V=23−(1
3×1
2
×12×1+1
3
×1
2
×12×2)=15
2
，
故选：C.
4、答案：C
分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，
∴V=1
3ℎ(S+S′+√SS′)=1
3
×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)
=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．
故选：C ． 5、答案：B
分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 设圆锥的底面圆半径为r ，故可得2πr =
2π3
×3，解得r =1，
设圆锥的高为ℎ，则ℎ=√32−12=2√2， 则圆锥的体积V =1
3
×πr 2×ℎ=1
3
×π×2√2=
2√2
3
π. 故选：B. 6、答案：D
分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；
解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高ℎ′
=√52−(62)2
=4，所以正四棱锥的侧面积S =1
2×
4×6×4=48 故选：D 7、答案：A
分析：过点A 作AO ⊥BC 于点O ，过点A 作DG ⊥BC 于点G ，取AO 的中点F ，连接GE 、OE 、EF ，则有∠DEF （或其补角）就是异面直线DE 与BC 所成的角，设圆锥的底面半径为2，解三角形可求得答案. 解：过点A 作AO ⊥BC 于点O ，过点A 作DG ⊥BC 于点G ，取AO 的中点F ，连接GE 、OE 、EF ， 则DF //BC ，且DF =1
2BC ，所以∠DEF （或其补角）就是异面直线DE 与BC 所成的角， 设圆锥的底面半径为2，则DF =1，OE =2，AO =2√3，所以DG =OF =√3， 在Rt △GOE 中，GO =1，OE =2，所以GE =√GO 2+OE 2=√5，
在Rt△GDE中，GE=√5，DG=√3，所以DE=√GD2+GE2=2√2，在Rt△FOE中，FO=√3，OE=2，FE=√FO2+OE2=√7，
所以在△DFE中，满足DF2+FE2=DE2，所以∠DFE=90∘，
所以cos∠DEF=DF
DE =
2√2
=√2
4
，
故选：A.
8、答案：C
分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果. 设底面半径为r，高为ℎ，母线为l，如图所示：
则圆锥的体积V=1
3πr2ℎ=3π，所以r2ℎ=9，即ℎ=9
r2
，
S 侧=1
2
⋅2πrl=2πr2，则l=2r，
又ℎ=√l2−r2=√3r，所以√3r3=9，故r=√3．
故选：C．
9、答案：BCD
解析：根据异面直线的定义直接判断AB选项，根据MN//D1C，转化求异面直线所成的角，利用确定平面的
依据，作出平面BMN 截正方体所得的截面，并求面积. A.直线AM 与BN 是异面直线，故A 不正确； B.直线BN 与MB 1是异面直线，故B 正确；
C. 由条件可知MN//D 1C ，所以异面直线MN 与AC 所成的角为∠ACD 1，△ACD 1是等边三角形，所以∠ACD 1=60∘，故C 正确；
D.如图，延长MN ，并分别与DD 1和DC 交于E,F ，连结EA,GB 交于点F ，连结A 1M,BN ，则四边形A 1BNM 即为平面BMN 截正方体所得的截面，由对称性可知，四边形A 1BNM 是等腰梯形，MN =√2,A 1B =2√2，A 1M =
BN =√5，则梯形的高是ℎ=√(√5)2
−(√2
2
)2
=3√22
，所以梯形的面积S =12
×(√2+2√2)×3√22
=92
，故D 正
确.
故选：BCD
小提示：关键点点睛：本题考查以正方体为载体，判断异面直线，截面问题，本题关键选项是D ，首先要作
出平面BMN与正方体的截面，即关键作出平面EFG.
10、答案：ABC
分析：通过直线与平面平行的判定定理，即可判断ABC正确；由线面的位置关系，即可得到直线在平面内，故D错误；
解：对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；
对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；
对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；
对于D，由于M∈平面PAB，故错误．
故选：ABC．
小提示：本题考查线面平行的判定定理及应用，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力.
11、答案：ABC
分析：A选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B选项，在A选项的基础上证明面面平行；从而推导出D错误；由勾股定理的逆定理得到PA⊥PC，从而得到OM⊥PA.
因为O为底面四边形ABCD对角线的交点，
所以O为AC的中点，由M是PA的中点，可得PC∥MO，
因为PC⊄在平面OMN，OM⊂平面OMN，
所以PC//平面OMN，A正确；
同理可推得PD//平面OMN，
而PC∩PD=P，
所以平面PCD//平面OMN，B正确；
因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；
设该正四棱锥的棱长为a，
则PA=PC=a,AC=√2a，
所以PA⊥PC，
因为PC∥MO，
所以OM ⊥PA ，C 正确.
故选ABC ．
12、答案：39π
分析：利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案. ∵V =13π62⋅ℎ=30π ∴ℎ=52
∴l =√ℎ2+r 2=√(52
)2+62=132 ∴S 侧=πrl =π×6×
132=39π.
所以答案是：39π.。