历年中考数学(多边形与平行四边形)真题精讲

历年中考数学多边形与平行四边形真题深度解析
一.选择题
1.（2018•江苏苏州•3分）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（）
A．3 B．4 C．2D．3
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4．【解答】解：取BC的中点G，连接EG.
∵E是AC的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴EG=AB==4.
设CD=x，则EF=BC=2x，∴BG=CG=x，∴EF=2x=DG.
∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF=EG=4.
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．
2.（2018•山东东营市•3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的
中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）
A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF
【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；【解答】解：正确选项是D．
理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE.
∴△CDE≌△BFE，CD∥AF.
∴CD=BF.
∵BF=AB.
∴CD=AB.
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.（2018•山东济宁市•3分）如图，在五边形 ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分
∠E DC.∠BCD，则∠P=（）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】解：∵在五边形ABCDE 中，
∠A+∠B+∠E=300°.
∴∠E CD+∠BCD=240°.
又∵DP、CP 分别平分∠E DC.∠BCD.
∴∠P DC+∠PC D=120°.
∴△CDP中，∠P=180°﹣（∠P DC+∠PC D）=180°
﹣120°=60°．故选：C．
4. （2018•乌鲁木齐•4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°.
∴（n﹣2）×180°=720°.
解得n=6.
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．
4. （2018•临安•3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC= 36 度．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形. ∴∠BAC=∠BCA=36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
5. （2018•广西玉林•3分）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．
故选：B．
6. （2018·黑龙江龙东地区·3分）如图，平行四边形ABCD的对角
线AC.BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC.BD于点E.P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC==和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=O E•OC=，=，代入可得结论．
【解答】解：①∵AE平分∠BAD.
∴∠BAE=∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°.
∴∠DAE=∠BEA.
∴∠BAE=∠BEA.
∴AB=BE=1.
∴△ABE是等边三角形.
∴AE=BE=1.
∵BC=2.
∴EC=1.
∴AE=EC.
∴∠EAC=∠ACE.
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°.
∴∠ACE=30°.
∵AD∥BC.
∴∠CAD=∠ACE=30°.
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC.
∴OE=AB=，OE∥AB.
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°. Rt△EOC中，OC==. ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠BCD=∠BAD=120°.
∴∠ACB=30°.
∴∠ACD=90°.
Rt△OCD中，OD==. ∴BD=2OD=.
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°.
∴S▱ABCD=AB•AC.
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线.
∴OE=AB.
故④不正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC=.
∴S△AOE=S△EOC=O E•OC==.
∵OE∥AB.
∴.
∴=.
∴S△AOP===；
故⑤正确；
本题正确的有：①②③⑤，4个.
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
7.（2018•福建A卷•4分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：
（n﹣2）•180=360.
解得n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
8. （2018•福建B卷•4分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：
（n﹣2）•180=360.
解得n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
7.（2018•贵州黔西南州•4分）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm.
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD，AD=BC.
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．
8.（2018•贵州铜仁•4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）=3×360°
解得n=8．
故选：A．
9.（2018•海南•3分）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC.BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（）
A．15 B．18 C．21 D．24
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36.
∴BC+CD=18.
∵OD=OB，DE=EC.
∴OE+DE=（BC+CD）=9.
∵BD=12.
∴OD=BD=6.
∴△DOE的周长为9+6=15.
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．14．(2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AD ⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是40°．
【分析】根据外角的概念求出∠ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵∠ADE=60°.
∴∠ADC=120°.
∵AD⊥AB.
∴∠DAB=90°.
∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°.
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．
15. （2018•乌鲁木齐•4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°.
∴（n﹣2）×180°=720°.
解得n=6.
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．
二.填空题
1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为12 ．【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°.
又∵多边形的外角和等于360°.
∴多边形的边数是=12.
故答案为：12．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和等
于360°是解此题的关键．
2. （2018·湖南郴州·3分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
【解答】解：这个正多边形的边数为=6.
所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．
故答案为720°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n ≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．
3. （2018·湖南怀化·4分）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是10 ．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°.
∴多边形的边数为360°÷36°=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
4.（2018•江苏宿迁•3分）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.
【答案】8
【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题
意列出方程，解之即可.
【详解】设这个多边形边数为n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8. 故答案为：8.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.
5.（2018•江苏无锡•2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b 的取值范围是2≤a+2b≤5．
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H.
∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a.
Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH.
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b 的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
6.（2018•山东聊城市•3分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是540°或360°或180°．
【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°.
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°=540°. 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°=360°.
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°=180°.
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为：540°或360°或180°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不
变，也可能减少一个，是解决本题的关键．
7.（2018•山东济宁市•3分）在△ABC 中，点E，F 分别是边A B，AC 的中点，点D在B C 边上，连接D E，DF，EF，请你添加一个条件 D 是B C 的中点，使△BED 与△F DE 全等．
【解答】解：当D是B C
的中点时，
△BED≌△F DE.
∵E，F 分别是边AB，
AC 的中点.
∴EF∥BC.
当E，D 分别是边AB，
BC 的中点时，ED∥AC.
∴四边形BEFD 是平行
四边形.
∴△BED≌△F DE，故答
案为：D 是B C 的中点．
8. （2018•上海•4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为+2．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【解答】解：如图，连接BD，FC.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
又E是边BC的中点.
∴==.
∴EC=BE，即点E是DF的中点.
∴四边形DBFC是平行四边形.
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC.
∴=+=+2=+2．
故答案是：+2．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．
9. （2018•上海•4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出
发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和
是度．
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
故答案为540．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．
10. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是2＜AD＜8 ．
【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE.AF即可判断；
【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4.
∴AE=2AB=8.
在Rt△ABF中，AF=AB=2.
∴AD的取值范围为2＜AD＜8.
故答案为2＜AD＜8．
角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．
【解答】解：设EF=x.
∵点E.点F分别是OA.OD的中点.
∴EF是△OAD的中位线.
∴AD=2x，AD∥EF.
∴∠CAD=∠CEF=45°.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥BC，AD=BC=2x.
∴∠ACB=∠CAD=45°.
∵EM⊥BC.
∴∠EMC=90°.
∴△EMC是等腰直角三角形.
∴∠CEM=45°.
连接BE.
∵AB=OB，AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°.
∴BM=EM=MC=x.
∴BM=FE.
易得△ENF≌△MNB.
∴E N=MN=x，BN=FN=.
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2.
∴.
x=2或﹣2（舍）.
∴BC=2x=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
13.（2018•海南•4分）五边形的内角和的度数是540°．
【分析】根据n边形的内角和公式：180°（n﹣2），将n=5代入即可求得答案．
【解答】解：五边形的内角和的度数为：180°×（5﹣2）
=180°×3=540°．
故答案为：540°．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键．
14. （2018•上海•4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为+2．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【解答】解：如图，连接BD，FC.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴DC∥AB，DC=AB．
∴△DCE∽△FBE．
又E是边BC的中点.
∴==.
∴EC=BE，即点E是DF的中点.
∴四边形DBFC是平行四边形.
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC.
∴=+=+2=+2．
故答案是：+2．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．
15. （2018•上海•4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和
是度．
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
故答案为540．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．
三.解答题
1.（2018•江苏宿迁•8分）如图，在□ABCD中，点E.F分别在边CB.AD 的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB.CD交于点G、H，求证：AG＝CH.
【答案】证明见解析.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C. ∴∠E=∠F.
又∵BE＝DF，∴A D+DF=CB+BE，即AF=CE.
在△CEH和△AFG中，，∴△CEH≌△AFG，∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．
【解答】解：（1）①④为论断时：
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断．
3.（2018•江苏无锡•8分）如图，平行四边形ABCD中，E.F分别是边BC.AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：在▱ABCD中，AD=BC，∠A=∠C.
∵E.F分别是边BC.AD的中点，∴AF=CE.
在△ABF与△CDE中.
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴∠ABF=∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型
4.（2018•江苏淮安•8分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O的直线分别与AD.BC相交于点E.F．求证：AE=CF．
【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O.
∴AO=CO，AD∥BC.
∴∠EAC=∠FCO.
在△AOE和△COF中
.
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5．（2018•临安•6分）已知：如图，E.F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；
（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥E B．
【解答】证明：（1）∵AE=CF.
∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．
又ABCD是平行四边形.
∴AD=CB，AD∥B C．
∴∠DAF=∠BCE．
在△ADF与△CBE中
.
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
（2）∵△ADF≌△CBE.
∴∠DFA=∠BE C．
∴DF∥E B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA.HL．
注意：AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.（2018•湖州•10分）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，
E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且==m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m=，求证：AE=DF；
（2）如图2，若m=，求的值．
【分析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
【解答】解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°.
∴EH∥CA.
∴△BHE∽△BAC.
∴.
∵.
∴.
∴.
∴HE=DC.
∵EH∥DC.
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵，∠BAC=90°.
∴AC=AB.
∵，HE=DC.
∴HE=DC.
∴.
∵∠BHE=90°.
∴BH=HE.
∵HE=DC.
∴BH=CD.
∴AH=AD.
∵DM⊥AE，EH⊥AB.
∴∠EHA=∠AMF=90°.
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°. ∴∠HEA=∠AFD.
∵∠EHA=∠FAD=90°.
∴△HEA≌△AFD.
∴AE=DF；
（2）如图2，过点E作EG⊥AB于G. ∵CA⊥AB.
∴EG∥CA.
∴△EGB∽△CAB.
∴.
∴.
∵.
∴EG=CD.
设EG=CD=3x，AC=3y.
∴BE=5x，BC=5y.
∴BG=4x，AB=4y.
∵∠EGA=∠AMF=90°.
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM.
∴∠AFM=∠AEG.
∵∠FAD=∠EGA=90°.
∴△FAD∽△EGA.
∴=
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
7. （2018·黑龙江大庆·7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
D.E分别是AB.AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于
F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；
【解答】（1）证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，F是BC延长线上的一点.
∴ED是Rt△ABC的中位线.
∴ED∥FC．BC=2DE.
又 EF∥DC.
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC=EF.
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线.
∴AB=2DC.
∴四边形DCFE的周长=AB+BC.
∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm.
∴BC=25﹣AB.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52.
解得，AB=13cm.
8. （8分）如图，点B.F、C.E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC ∥FD，AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．
【解答】证明：如图，连接BD，AE.
∵FB=CE.
∴BC=EF.
又∵AB∥ED，AC∥FD.
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.
在△ABC和△DEF中.
.
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴AB=DE.
又∵AB∥DE.
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AD与BE互相平分．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
9. （2018·湖北省恩施·12分）如图，已知抛物线交x轴于A.B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B.C.D.P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1.M2.M3使得△M1BC.△M2BC.△M3BC 的面积均为定值S，求出定值S及M1.M2.M3这三个点的坐标．
【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD 是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2）.
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）.
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣.
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+. ∴D（1，）.
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b.
把B（3，0），C（0，2）代入得：.
解得：.
∴y=﹣x+2.
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b.
联立得：.
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0.
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0.
解得：b=，即y=﹣x+.
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为.
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+.
联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣）.
此时S=1．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
10.（2018•福建A卷•8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC，AD∥BC.
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中.
.
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴OE=OF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11.（2018•福建B卷•8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC，AD∥BC.
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中.
.
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴OE=OF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。