高考数学专题7第32练.docx

第32练与抛物线有关的热点问题
[题型分析·高考展望] 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.
常考题型精析
题型一抛物线的定义及其应用
例1 设P是抛物线y2＝4x上的一动点，
(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值.
点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
变式训练1 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝5
4
x0，则x0
等于( )
A.1
B.2
C.4
D.8
题型二抛物线的标准方程及几何性质
例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.
点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
变式训练2 (2015·福建)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.
题型三 直线和抛物线的位置关系
例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 2
4与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交
于M ，N 两点，
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.
点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
变式训练3 (2015·长春模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2
(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；
(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不
存在，说明理由.
高考题型精练
1.(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A.1
2
B.
2
3
C.3
4
D.
4
3
2.(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.|BF|－1
|AF|－1
B.
|BF|2－1
|AF|2－1
C.|BF|＋1
|AF|＋1
D.
|BF|2＋1
|AF|2＋1
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )
A.2± 3
B.2＋ 3
C.3±1
D.3－1
4.(2014·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.33
4
B.
93
8
C.63
32
D.
9
4
5.已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2
＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( ) A.3 B.2 C.4
D.5
6.已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于( ) A.－4 B.4 C.p 2
D.－p 2
7.(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2
＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a
＝________.
8.已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →
，则p ＝________.
9.过抛物线y 2
＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |
＝________.
10.已知抛物线C 的方程为y 2
＝－8x ，设过点N (2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线C 相交于点S ，T ，若S ，T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，则Q 点横坐标的取值范围为________.
11.(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2
＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2
＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点.
(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；
(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2
的值.
12.(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦
点.
C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，
D 两点，
且AC →与BD →
同向. (1)求C 2的方程；
(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率.
答案精析
第32练 与抛物线有关的热点问题
常考题型精析
例1 解 (1)由于A (－1,1)，F (1,0)，P 是抛物线上的任意一点，则|AP |＋|PF |≥|AF |＝22
＋1＝5，从而知点P 到A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和的最小值为5，所以点P 到A (－1,1)的距离与P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值也为 5.
(2)如图所示，自点B 作BQ 垂直于抛物线的准线于点Q ，交抛物线于点P 1，此时|P 1Q |＝|P 1F |，那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.
变式训练1 A
解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |
＝5
4
x 0，解得x 0＝1. 例2 解 由题意，得抛物线方程为x 2
＝2ay (a ≠0). 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.
∵|ON |＝3，∴|OA |＝32
－(5)2
＝2，∴N (5，±2). ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±5
2，
故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2
＝－52y .
抛物线x 2
＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，
准线方程为y ＝－5
8
.
抛物线x 2
＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.
变式训练2 解 方法一 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p
2
.
因为|AF |＝3，即2＋p
2＝3，解得p ＝2，
所以抛物线E 的方程为y 2
＝4x .
(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2
＝4x 上，
所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧
y ＝22(x －1)，y 2＝4x
得2x 2
－5x ＋2＝0，
解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，
所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012
－(－1)＝－22
3
.
所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)同方法一.
(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2
＝4x 上，
所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨
⎧
y ＝22(x －1)，y 2＝4x
得2x 2
－5x ＋2＝0.
解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，
故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝42
17
.
又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.
所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝42
17＝r .
这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 例3 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，
或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).
又y ′＝x 2，故y ＝x 2
4在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a
(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.
y ＝x 2
4在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋
2a )，
即ax ＋y ＋a ＝0.
故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：
设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2
－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b
x 2
＝
2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2
＝k (a ＋b )
a
.
当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，
则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.
变式训练3 解 (1)∵抛物线C ：x 2
＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).
(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝1
4
.
(3)存在，联立方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝mx 2
，
2x －y ＋2＝0，
消去y 得mx 2
－2x －2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2
－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.
设A (x 1
，mx 2
1
)，B (x 2
，mx 22
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝2
m
，x 1
·x 2
＝－2
m
，(*)
∵P 是线段AB 的中点，∴P (
x 1＋x 22
，
mx 21＋mx 2
2
2
)，
即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).
得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m
)，QB →＝(x 2－1m ，mx 2
2－1m
)，
若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →
＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 2
2－1m
)＝0，
结合(*)化简得－4m 2－6
m
＋4＝0，
即2m 2
－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，
而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－1
2
，＋∞).
∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. 高考题型精练
1.D [抛物线y 2
＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p
2＝－2，即p
＝4，从而C ：y 2
＝8x ，焦点为F (2,0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2
＝8x 得k
8
y 2
－y
＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝1
2
.
因为切点在第一象限，所以k ＝1
2
.
将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2
＝8x 中得x ＝8，
所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝4
3
.]
2.A [由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△
ACF 的面积之比就等于
|BC |
|AC |
.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ， 则l 的方程为x ＝－1.
∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴
分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴
|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1
|AF |－1
.] 3.A [依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
12p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
22p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2
，∴y 21＝y 2
2，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p
2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.]
4.D [由已知得焦点坐标为F (3
4，0)，
因此直线AB 的方程为y ＝33(x －3
4
)， 即4x －43y －3＝0.
方法一 联立抛物线方程化简得4y 2
－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2
－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝9
4.
方法二 联立方程得x 2
－212x ＋916＝0，
故x A ＋x B ＝21
2
.
根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋3
2＝12，
同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|
42＋(－43)
2＝3
8， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝9
4
.]
5.A [如图所示，由题意，知抛物线y 2
＝8x 的焦点为F (2,0)，连接PF ，则d ＝|PF |.
圆C 的方程配方，得(x ＋1)2
＋(y －4)2
＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2.
d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |，显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号).
而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离， 显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，
最小值为|CF |－r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.]
6.A [①若焦点弦AB ⊥x 轴，
则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24
； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p 2
)， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，
则x 1x 2＝p 24.则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2
＝－4.] 7.2＋1
解析 ∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点， ∴C (a 2，－a )，F (a 2
＋b ，b ). 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，解得b a ＝2＋1. 8.2 解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又A M →＝M B →，
∴M 为AB 的中点.
过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，
∴∠BAP ＝30°.
∴||BP ＝12
||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2
＝1，∴p ＝2. 9.56
解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p
＝2， |AB |＝|AF |＋|BF |＝2512
，|AF |<|BF |， ∴|AF |＝56，|BF |＝54
. 10.(－∞，－6)
解析 设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得直线ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)，与y
2
＝
－8x 联立，得ky 2＋8y ＋16k ＝0，y 1＋y 2＝－8k
，y 1y 2＝16.因为直线l 与抛物线C 相交于S ，T 两点，所以Δ＝64－64k 2>0，再由y 1>0，y 2>0，则－8k
>0，故－1<k <0.又线段ST 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋2，－4k ，所以线段ST 的垂直平分线方程为y ＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋4k 2－2.令y ＝0，得Q 点的横坐标为x Q ＝－2－4k 2<－6，故Q 点横坐标的取值范围为(－∞，－6). 11.(1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，
得A 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪
⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. A 2B 2→＝(2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1)＝2p 2(1k 22－1k 21，1k 2－1k 1
) 故A 1B 1→＝p 1p 2
A 2
B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，
同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，
所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→
||A 2B 2→|＝p 1p 2， 故S 1S 2＝p 2
1p 22
. 12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2＝1.①
又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知
C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②
联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.
故C 2的方程为y 29＋x
28＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4). 因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，
于是(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.
而x 1，x 2是这个方程的两根，
所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x
28＋y
29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.
而x 3，x 4是这个方程的两根，
所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64
9＋8k 2，⑤
将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2
(9＋8k 2)2＋4×64
9＋8k 2，
即16(k 2＋1)＝162×9(k 2
＋1)
(9＋8k 2)2，
所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±6
4，即直线l 的斜率为±6
4.。