线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法

西京学院数学软件实验任务书
课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020119姓名王震
实验课题雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代
实验目的熟悉雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代
实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语
言完成
实验内容
雅克比迭代法
高斯—赛德尔迭代法、超松弛迭代法
成绩教师
【实验课题】
雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代【实验目的】
学习和掌握线性代数方程组的雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法，并且能够熟练运用这些迭代法对线性方程组进行求解。

【实验内容】1、问题重述：
对于线性方程组，即：
A b X = （1），1111221n 12112222n 2
1122nn n n n n n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪
⎪+++=⎩ 其中，
111212122111 0 - - 0 - 0 0 () - - - 0 n ij n n
n n nn nn a a a a a a a a a a ⨯--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥A ==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦ 0n D L U ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥≡--⎢⎥⎢
⎥⎣⎦()
1,n b b b T
= 如何运用雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法对线性方程组进行求解。

2、方法原理：2.1雅克比迭代
迭代思想：首先通过构造形如的等式，然后给定一个初值
A b X =()x f x =，再通过进行迭代。

(0)(0)(0)(0)
12(,,)n x x x X = (1)()()k k f +X =X step1 ：对（1）相应第行中的用其它元素表示为：
i i x
11111121111122,122
11111()()
11()()
11
()()
n n
j j j j j j n n
i i ij j i j j j i j i j ii n n
n n nj j n n nj j j j nn nn x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a ===≠=-==⎧
=-=+-⎪⎪
⎪⎪⎨
=-=+-⎪⎪
⎪=-=+-⎪⎩
∑∑∑∑∑∑ 即：()D b L U X =-+X
Step 2 ：进行迭代
，，(0)(0)(0)(0)
12(1)11()
(,,)
()n k k x x x D b D L U +--⎧X =⎨X =-+X ⎩
0,1,2k = 取它的判断条件为小于一个确定的误差值，跳出循环。

其()(1)k k -X -X A A ε中，为循环次数，则为所求的近视解。

（参考程序）k ()k X 2.2、高斯—赛德尔迭代
迭代思想：以雅克比迭代法为基础，假定每一次迭代得到的数据都优(1)k +X 越于，即中的每一个分量都优越于中对应的分量。

由于在求解
()k X (1)k +X ()k X 第个分量的过程中，前个分量已经求出，所以可以直接调用所求
()k X i ()k i x 1i -出来的前个分量。

1i -考虑雅克比迭代： ，
(1)()k k J x B x f +=+(0,1,2,)k = 即：(1)1()1()k k x D L U x D b +--=++所以，(1)()()k k k Dx Lx Ux b
+=++当可逆时，由于在求解第个分量的过程中，前个分量已D L -()k X i ()k i x 1i -经求出，将上式改写为：(1)(1)()k k k Dx Lx Ux b
++=++即：(1)()()k k D L x Ux b +-=+所以，(1)1()1()()k k x D L Ux D L b
+--=-+-设，，上式改写为：
11(),()G G B D L U f D L b --=-=-，(1)()k k G G x B x f +=+0,1,2k =
迭代算法：
(1)()111211111
(1)
(1)
()11
1(1)(1)1
1111111n k k j j j i n
k k k i
ij j
ij j i j j i ii
ii
ii n k k n
nj j
n j nn
nn
x a x b a a x a x
a x
b a a a x a x b a a +=-++==+-++=⎧=-+⎪⎪⎪⎪
⎨=--+
⎪⎪⎪=-+
⎪⎩
∑∑∑
∑
得出计算步骤：
，(0)(0)(0)1(1)(1)()()(1)()(0)211111(,,,)1
()1
()n k k k k i i k k T
i n i ij j ij j
i j j i ii i n i i ij j ij j j j i ii x x x x x b a x a x x x a x b a x a x a +++-==+-==⎧
⎪=⎪
⎪⎪=--=+∆⎨⎪
⎪∆=--⎪
⎪⎩
∑∑∑∑ (0,1,;1,2,)k i n == 由于再代入数据时尽可能采用最新数值，因此，高斯—赛德尔迭代法的收
敛速度大于雅克比迭代法。

2.3、逐次超松弛迭代法（SOR ）
逐次超松弛迭代法是对高斯—赛德尔迭代的一种改进，在高斯—赛德尔迭代的基础上加入松弛因子，使得与的误差由控制。

ω(1)k x +()k x x ∆ω由高斯—赛德尔迭代公式：(1)
(1)()111
()k k k i i n
i ij j ij j j j i
ii x
b a x a x a ++-===--∑∑ 得出SOR 迭代算法：
(1)
()(1)
()(1)
()()
(1)
()
1
1
(1) ()()
k k k k k k k k k i
i i i i i i i n
i ij j
ij j j j i
ii
x x x
x x
x x b a x a x a ω
ωωω++++-===-+=+-=+
--∑∑ ，其中，为松弛因子。

迭代的控制条件为：
(1,2,,)i n = ω，
(1)()|| ||k k ε+X -X =<得出SOR 的计算公式为：
，(0)(0)(0)1(1)(1)()()(1)()(0)211111(,,,)1
()()n k k k k i i k k T
i n i ij j ij j
i j j i ii i n i i ij j ij j j j i ii x x x x x b a x a x x x a x b a x a x a ω
+++-==+-==⎧
⎪=⎪
⎪⎪=--=+∆⎨⎪
⎪∆=--⎪
⎪⎩
∑∑∑∑ (0,1,;1,2,)k i n == 则存在，(1)()(1)()() ( )
k k k k k Dx D x b Lx Ux D x ω++=+++-令，则，
1()((1))S B D L D U ωωω-=--+1()S f D L b ωω-=-(1)()k k S S
B f +X =X +2.4、对称超松弛迭代法
对称超松弛迭代法是对逐次超松弛迭代法的改进，在逐次超松弛迭代法的基础上，首先对线性方程组按照顺序方式依次求解，然后在此基,(1,2,)i x i n = 础上对线性方程组逆序求解，得出SSOR 迭代法。

求解步骤：
Step 1 顺序求解得出：
1
2()k x +1
2()()1
1
11()((1))
()k k x L x f L D L D U f D L b ωωωωωωω+--⎧=+⎪=--+⎨⎪=-⎩
Step 2 逆序求解由得出1
2()k x +(1)
k x +1
2()(1)2
1
12()((1))
()k k x U x f U D U D L f D U b ωωωωωωω++--⎧=+⎪=--+⎨⎪=-⎩
得出SSOR 公式：
(1)()11111(2)()()k k x S x f S U L f D D U D D L D b ωω
ωωωω
ωωωω+-----⎧=+⎪
=⎨
⎪=---⎩【实验总结】
由以上实验得出SSOR 在求解线性方程时最优。

当时，逐次超松弛迭代1ω=法（SOR ）等价于高斯赛德尔迭代法。

（参考程序）
【程序】
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 程序 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function maintest1(A,b)
N=input('请输入最大迭代次数N（足够大）：');
esp=input('请输入近视解的误差限：');
X0=input('请输入初始值：');
if any(diag(A))==0
error('系数矩阵错误，迭代终止！')
end
D=diag(diag(A));
U=-triu(A);
L=-tril(A);
%%%%%%%%%%%%%%%jacobi%%%%%%
fJ=inv(D)*b;
BJ=inv(D)*(L+U);
PJ=max(abs(eig(BJ)));
fprintf('用雅克比求解的谱半径为：%2d\n',PJ)
%%%%%%%%%%%%%%%GS%%%%%%
fG=inv(D-L)*b;
BG=inv(D-L)*U;
PG=max(abs(eig(BG)));
fprintf('用GS求解的谱半径为：%2d\n ',PG)
%%%%%%%%%%%%% SOR %%%%%%%%%%
omega=1;
fS=omega*inv(D-omega*L)*b;
BS=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U);
PS=max(abs(eig(BS)));
fprintf('用SOR求解的谱半径为：%2d\n ',PS)
%%%%%%%%%%%% SSOR %%%%%%%%%%%%%%%
Lw=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U);
Uw=inv(D-omega*U)*((1-omega)*D+omega*L);
Sw=Uw*Lw;
fw=omega*(2-omega)*inv(D-omega*inv(D)*U)*inv(D-
omega*inv(D)*L)*inv(D)*b;
PSS=max(abs(eig(Sw)));
fprintf('用SSOR求解的谱半径为：%2d\n ',PSS)
%%%%%%%%%%%%%%% Jacobi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(' Jacobi迭代法 \n')
t=1;
Y0=X0;
Y1=BJ*Y0+fJ;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
while t<=N & norm(Y1-Y0)>esp
t=t+1;
Y0=Y1;
Y1=BJ*Y0+fJ;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
end
fprintf('满足误差限的Jacobi迭代的近视解为：')
disp(Y1');
fprintf('Jacobi迭代次数为：\n',t) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fprintf('GS \n')
t=1;
Y0=X0;
Y1=BG*Y0+fG;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
while t<=N & norm(Y1-Y0)>esp
t=t+1;
Y0=Y1;
Y1=BG*Y0+fG;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
end
fprintf('满足误差限的GS迭代的近视解为：')
disp(Y1');
fprintf(' GS迭代次数为：\n ',t) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SOR %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fprintf('SOR \n')
t=1;
Y0=X0;
Y1=BS*Y0+fS;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
while t<=N & norm(Y1-Y0)>esp
t=t+1;
Y0=Y1;
Y1=BS*Y0+fS;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
end
fprintf('满足误差限的SOR迭代的近视解为：')
disp(Y1');
fprintf(' SOR迭代次数为：\n ',t) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% SSOR %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fprintf('SSOR \n')
t=1;
Y0=X0;
Y1=Sw*Y0+fw;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
while t<=N & norm(Y1-Y0)>esp
t=t+1;
Y0=Y1;
Y1=Sw*Y0+fw;
fprintf('第%2d次迭代得:',t)
disp(Y1');
end
fprintf('满足误差限的SSOR迭代的近视解为：')
disp(Y1');
fprintf('SSOR迭代次数为：\n ',t)。