2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一上册期末数学试题
一、单选题
1．命题“,sin 2R αα∀∈<”的否定为（）
A ．,sin 2R αα∃∈<
B ．,sin 2
R αα∃∈≥C ．,sin 2
R αα∀∈≥D ．,sin 2
R αα∀∈>【正确答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定，即可选择.【详解】命题“,sin 2R αα∀∈<”的否定为“,sin 2R αα∃∈≥”.故选.B
2．已知集合{}2{2,1,0,1,2},1,R A B y
y x x =--==+∈∣，则A B = （）
A ．∅
B ．{1,2}
C ．{0,1,2}
D ．{2,1}
--【正确答案】B
【分析】先化简集合A ，再利用交集定义即可求得A B ⋂【详解】{}[)21,R 1,B y
y x x ==+∈=+∞∣，则A B = [){2,1,0,1,2}1,{1,2}--⋂+∞=故选：B
3．已知点(1,2)P -是角α终边上一点，则sin cos αα+=（）
A B C ．5
-
D ．5
-
【正确答案】D
直接根据三角函数的定义即可得结果.
【详解】因为点(1,2)P -是角α终边上一点，所以sin αα==
，
所以sin cos 5
αα+=-，故选：D.
4．函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的一个区间是（）
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，4)
D ．(4，5)
【正确答案】B
【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】解：函数()3log 3f x x x =+-在()0,∞+是连续不断的，由()()()()33120,2log 210,310,4log 410f f f f =-<=-<=>=+>，
()35log 520f =+>，
所以函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的一个区间是()2,3.故选：B.
5．已知a =3.20.1，b =log 25，c =log 32，则（）A ．b >a >c B ．c >b >a
C ．b >c >a
D ．a >b >c
【正确答案】A
【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果.【详解】00.10.51=3.2 3.2 3.2212<<<⇒<<a 22log 5log 422
>=⇒>b 3330=log 1<log 2log 3101
<=⇒<<c 所以b a c >>故选：A
6．若函数()()()()sin 20,f x x ϕϕ=+∈π图像的一条对称轴为π
6
x =，则ϕ=（）
A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
【正确答案】A 【分析】首先根据π6x =为对称轴，得到()π
πZ 6
k k ϕ=+∈，然后对k 取值，结合ϕ的取值范围即可求解.【详解】因为π6x =为()f x 的一条对称轴，则()ππ
2πZ 62k k ϕ⋅+=+∈，所以()ππZ 6k k ϕ=+∈，当0k =时，π
6
ϕ=，此时()0,πϕ∈，符合题意.故选：A
7．已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，，则实数a 的取值范围
为（
）
A ．403π⎛⎤
⎥
⎝⎦，B ．2433ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，C ．23π∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭，D ．2533ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
【正确答案】B
【分析】用换元法转化为cos y t =在[]33a ππ+，上的值域为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，，画图观察列式可得结果.
【详解】由题意可得()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，令3t x π=+则cos y t =,如图所示，
∵()f x 的值域是112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，，0x a ，
∴333x a πππ++，即：33
t a ππ
+∴由图可知53
3a
π
π
π
+，解得243
3
a
ππ
，所以实数a 的取值范围为2433ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
故选：B.
8．若关于x 的函数()()2222
2sin 0tx x t x x
t
f x t x +++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且4M N +=，则实数t 的值为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【正确答案】B
【分析】构造奇函数()()g x f x t =-，利用奇函数的最大值和最小值互为相反数求解．
【详解】由题意设()()g x f x t =-222sin x x x x t +=+，22
2sin ()()x x x
g x g x x t
---==-+，所以()g x 是奇函数，
max max ()()g x f x t M t =-=-，min min ()()g x f x t N t =-=-，
∴max min ()()20g x g x M N t +=+-=，又4M N +=，∴2t =．故选：B.
本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值．解题关键是构造新函数()()g x f x t =-，利用奇函数性质求解．
二、多选题
9．下列各组函数为同一个函数的是（）
A ．()f x x =，()2
x g x x
=
B ．()1f x =，()()
1g x x =-C ．()()
2
f x x
=，
()()
2
x
g x =
D ．()216
4
t f t t -=-，()4g t t =+()
4t ≠【正确答案】CD
【分析】逐项判断即可，A 项定义域不同；B 项定义域不同；CD 项化简后三要素相同；【详解】对于A ：()f x x =的定义域为R ，()2
x g x x
=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故A 错误；对于B ：()1f x =的定义域为R ，()()0
1g x x =-的定义域为()(),11,-∞+∞ ，
因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故B 错误；
对于C ：()()
2
f x
x
=的定义域为()0,∞+，
()()
2
x
g x =
的定义域为()0,∞+，
()()2
1f x x
=
=，
()()
2
1
x
g x =
=，所以这两个函数是同一函数，故C 正确；
对于D ：()2164
t f t t -=-的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()4g t t =+()4t ≠的定义域为
()(),44,-∞⋃+∞，
()21644
t f t t t -==+-，所以这两个函数是同一函数，故D 正确；
故选：CD.
10．已知0a b >>，则下列说法中正确的有（）
A ．2a ab >
B ．
b b m a a m +<
+C ．()()ln 1ln 1a b ->-D ．11
a b +>
【正确答案】AD
【分析】根据不等式的性质即可判断A ；
利用作差法，举出反例即可判断B ，如0a m -<<；
根据对数真数的特征即可判断C ；利用基本不等式即可判断D.
【详解】解：对于A ，因为0a b >>，所以2a ab >，故A 正确；对于B ，
()()
m b a b b m a a m a a m -+-=++，当0a m -<<时，b b m a a m +>+，故B 错误；
对于C ，当1,1a b >>时，()()ln 1,ln 1a b --无意义，故C 错误；
对于D ，
11
a b +≥a b =时，取等号，又因0a b >>，所以11
a b +>D 正确.故选：AD.
11．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是（）
A ．()f x 的图象关于直线2
x π
=对称
B ．()f x 的一个周期是2π
C ．()f x 的最大值为2
D ．()f x 是区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的减函数
【正确答案】BD
根据正弦函数与余弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】由()()()sin cos cos sin f x x x =+，
对于A ，()()()()()()()()πsin cos πcos sin πsin cos cos sin f x x x x x f x -=-+-=-+≠，故A 不正确；
对于B ，()()()()()()()()2πsin cos 2πcos sin 2πsin cos cos sin f x x x x x f x +=+++=+=，故B 正确；
对于C ，1cos 1x -≤≤，所以()sin cos y x =的最大值为sin1，当cos 1x =时，()cos sin cos 01y x ===，取得最大值，所以()f x 的最大值为sin11+，故C 不正确；
对于D ，cos y x =在区间π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上是减函数，且()πcos 0,10,2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭
，
所以()sin cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上是减函数；sin y x =在区间π0,2
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上是增函数，
且()πsin 0,10,2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭
，所以()cos sin y x =在区间π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上是减函数，故D 正确；
故选：BD.思路点睛：
求解三角函数性质相关的题目时，通常需要利用三角函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等），由函数解析式，结合选项进行判断即可.
12．已知函数()3log ,09
2sin ,91744x x f x x x π
π⎧<<⎪
=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（
）
A ．1ab =
B ．26c d π
+=C ．abcd 的取值范围是()
153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭【正确答案】ACD
作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误.
【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得1
99
x ≤≤.作出函数()f x
的图象如下图所示：
由图象可得1
191115179
a b c d <<<<<<<<<，
由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项
正确；令
()44
2
x k k Z ππ
π
π+=
+∈，解得()41x k k Z =+∈，
当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于Z k ∈，3k ∴=，所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭
的图象关于直线13x =对称，则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()2
2613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确；126a b c d a a
+++=+
+，下面证明函数1
y x x =+在()0,1上为减函数，
任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则
()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121221121212
1x x x x x x x x x x x x ---=-+=，
1201x x <<< ，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，
所以，函数1
y x x
=+
在()0,1上为减函数，119a << ，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫
+++=++∈ ⎪⎝⎭
，D 选项正确.
故选：ACD.
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
13．若幂函数()22y x α
αα=+在（0，+∞）上单调递减，则α=___________.
【正确答案】1
-【分析】解方程221αα+=，再检验即得解.【详解】221αα+=，解得1α=-或12
α=
.
当1
2
α=
时，12y x =，在（0，+∞）上单调递增，与已知不符，所以舍去.当1α=-时，1y x -=，在（0，+∞）上单调递减，与已知相符.故1
-14．扇形面积为16，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为__________.【正确答案】8
【分析】先由已知求出半径，从而可求出弧长【详解】设扇形所在圆的半径为r ，因为扇形的面积为16，圆心角为2弧度，所以2
12162
r ⨯=，得4r =，
所以该扇形的弧长为248⨯=，故8
15．若lg 2a =，103b =，则5log 24=___________．（用a 、b 表示）【正确答案】
31a b
a
+-【分析】先转化指数式103b =为对数式，再利用换底公式即可求解.【详解】因为103b =，所以lg 3b =因此5lg 24lg8lg 33lg 2lg 3log 24lg 51lg 21lg 231a b
a
++===+---.故31a b a
+-16．已知0,0x y >>且11
1211
x y +=++，则x y +的最小值为___________.
【分析】令21a x =+，1b y =+，将已知条件简化为
11
1a b
+=；将x y +用,a b 表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【详解】解：令21a x =+，1b y =+，因为0,0x y >>，所以1,1a b >>，则12a x -=
，1y b =-，所以11
1a b
+=,所以13113
122222
a a a x y
b b b a b -⎛⎫⎛⎫+=
+-=+-=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13
1
2222b a b a a b a b =
+++-=+≥=
当且仅当2111b a a b a b
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，即22b =
，1a =
，即2x y ==时取“=”，
所以x y +
故答案为
四、解答题
17．已知π3πsin cos tan(2π)
22()tan(π)sin(π)
f αααααα⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
--+．(1)化简()f α；(2)若34π
3
α=-
，求()f α的值．【正确答案】(1)cos α-(2)1
2
【分析】（1）利用三角函数诱导公式即可化简()f α；
（2）利用三角函数诱导公式和特殊角三角函数值即可求得34π
3
α=-
时()f α的值．【详解】（1）π3ππ3πsin cos tan(2π)sin cos tan()
2222()tan(π)sin(π)tan()sin(π)
f ααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==--+-+()()()
cos sin tan cos tan sin αααααα---=
=---.
（2）34π
3
α=-
时，34π34π34π2π1cos cos 12πcos 33332
f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18
．已知sin 2cos αα+=（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求
sin 2cos 2sin cos αα
αα
++的值．
【正确答案】（Ⅰ）1tan 2
α=
（Ⅱ）
sin 2cos 5
2sin cos 4αααα+=+【分析】（Ⅰ）由条件结合22sin cos 1αα+=，可得sin α和cos α，从而得解；
（Ⅱ）由
sin 2cos tan 2
2sin cos 2tan 1
αααααα++=++，结合（Ⅰ）的值即可得解.
【详解】（Ⅰ
）因为sin 2cos αα+=,
所以sin 2cos αα=-,
代入22sin cos 1αα+=
可得25cos 40αα-+=，
所以
)
2
2
0α-=，
故cos α=
sin α=
，所以1tan 2
α=．（Ⅱ）因为
sin 2cos tan 2
2sin cos 2tan 1
αααααα++=++，
所以
12
sin 2cos 5212sin cos 4
212
αααα++==+⨯+．本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.19．设函数()π2cos 23x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)当[]0,2πx ∈时，求()f x 的最大值和最小值．【正确答案】(1)4π，4π2π4π,4π33k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
，Z
k ∈(2)最大值2，最小值1
-【分析】（1）利用最小正周期公式求得()f x 的周期；利用余弦函数的单调性求得()f x 的单调增区间；
（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值．
【详解】（1）∵函数()π2cos 23x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，∴()f x 的最小正周期为2π
4π12
=，
令π
2ππ2π23
x k k -≤
-≤，Z k ∈，
求得4π2π4π4π33
k x k -≤≤+，Z k ∈故函数()f x 的单调增区间为4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦，Z k ∈．（2）当[]0,2πx ∈时，ππ2π,2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，∴π1cos ,1232x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，故当π023
x -=，即2π3x =时，函数()f x 取得最大值2，当π2π233
x -=，即2πx =时，函数()f x 取得最小值为1-．20．已知函数2()(1),()1f x x g x kx =+=+（其中R k ∈）．
(1)设关于x 的函数(),()(),
()(),()().f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩当1k =时，在如图所示的坐标系中画出函数
()h x 的图象，并写出()h x 的最小值（无需过程）；
(2)求不等式()()f x g x ≤的解集．
【正确答案】(1)图象见解析，最小值为0；
(2)答案见解析
【分析】（1）利用描点法即可得到函数()h x 的图象，进而得到()h x 的最小值；（2）按k 分类讨论，即可求得该一元二次不等式的解集.
【详解】（1）k ＝1时，()h x 的图象如图所示：
当x ＝－1时，函数()h x 取得最小值0．
（2）因为()()f x g x ≤，故2(1)1x kx +≤+，即()20x x k --≤⎡⎤⎣⎦．
①当k ＞2时，可得02x k ≤≤-；
②当k ＝2时，可得x ＝0；
③当k ＜2时，可得20k x -≤≤．
综上所述：当k ＜2时，不等式的解集为[]2,0k -；
当k ＝2时，不等式的解集为{}0；
当k ＞2时，不等式的解集为[]0,2k -．
21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()e x f x x =．
(1)求()f x 的解析式并判断函数的单调性（无需证明）
；(2)若对任意的()22R,31(5)(3)40x f ax x f ax ax a x ∈--+-+-++>恒成立，求实数a 的取值
范围．
【正确答案】(1)22e ,0()e ,0x x x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩
，单调递增；(2)()
1,9【分析】（1）先利用奇函数定义求得x ＜0时()f x 的解析式，进而得到()f x 的解析式并判断该函数的单调性；
（2）构造新函数()()h x f x x =+，利用()h x 的单调性将题给不等式转化为
2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立，进而求得实数a 的取值范围．
【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()e x f x x =，设x ＜0，则－x ＞0，则22()()()e e x x f x f x x x --=--=--=-．
故22e ,0()e ,0
x x x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，函数()f x 在定义域R 上单调递增．（2）因为函数()f x 在定义域R 上的单调递增．
原不等式恒成立等价于()
223131(5)5f ax x ax x f ax ax --+-->--+-对任意的x ∈R 恒成立．
即()
223131(5)5f ax x ax x f ax ax --+-->-+-对任意的x ∈R 恒成立．
构造函数()()h x f x x =+，则()h x 也是R 上的增函数.
故原不等式恒成立等价于2315ax x ax -->-对任意的x ∈R 恒成立，
即2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立．
①当a<0时，2(3)4y ax a x =-++为开口向下的二次函数，
2(3)40ax a x -++>不恒成立；
②当0a =时，3x 40-+>不恒成立；
③当a ＞0时，由2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立，
可得()2
3160a a +-<，解得1＜a ＜9．
综上，实数a 的取值范围是()1,9．
22．已知函数2()lg ,R 1f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪-⎝⎭．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；
(2)当[1,2)x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()
lg 42x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．
【正确答案】(1)a ＝1
(2)()
3-+∞【分析】（1）利用奇函数定义列出关于实数a 的方程，解之即可求得实数a 的值；（2）先将题给条件转化为关于实数a 的不等式恒成立，再利用换元法和均值定理即可求得实数a 的取值范围.
【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有()()0f x f x +-=，即22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．即22111a a x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，
即[][]2(1)2(1)21a x a x x -+⋅+-=-，化简得()()
2221430a x a a ---+=．上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩
，解得a ＝1．（2）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()
lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221
x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立．令21x t =-，则[)1,3t ∈，上式整理得23a t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝
⎭，[)1,3t ∈．
由基本不等式可知2t t +≥=
（当且仅当[)1,3t =时，等号成立）
即min 2t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以max 233t t ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦所以a
的取值范围是()3-+∞．。