2019版高考数学复习算法复数推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入课后作业理

11.2 数系的扩充与复数的引入
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一、选择题
1．(2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 C
解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝ －1＋i i
i·i ＝1＋i.故复数z 的实部
与虚部的和是1＋1＝2，故选C.
2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z
－z 2
的共轭复数是
( )
A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．1－3i
D ．－1－3i 答案 B
解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2 1－i 1＋i 1－i －2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数
是1＋3i ，故选B.
3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －
＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A
解析 复数z 满足z －
＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.
4．(2018·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 7
1＋a i
＝( )
A ．i
B ．1
C ．－i
D ．－1 答案 C
解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨
⎧
a －2＝0，
a ≠0，
∴a ＝2，
∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝ 2－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－3i 3
＝－i.故选C. 5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.
2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋1
2
答案 A
解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝
2＋i 1－i ＝ 2＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2－12＋2＋1
2
i ，z 的实部为
2－1
2
，故选A. 6．(2017·安徽江南十校联考)若z ＝2－i
2＋i ，则|z |＝( )
A.1
5 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B
解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝ 2－i 2－i 2＋i 2－i ＝35－4
5i ，故|z |＝1.故选B.
解法二：|z |＝⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55
＝1.故选B.
7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －
，若⎝ ⎛
⎭⎪⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5
－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 A
解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z －
2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i
1－22i ＝1
＋2i ，
故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.
8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2
)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )
A.[]－1，1
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，1
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，7 D.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤916，7
答案 C
解析 由复数相等的充要条件，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，
化简得4－4cos 2
θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2
θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2
θ)－3sin θ＋4＝4sin 2
θ－3sin θ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，7.故选C. 9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12
i 的“错位共轭”复数为( )
A ．－36－1
2
i B ．－32＋32
i C.
36＋12i D.
32＋32
i 答案 D 解析 由(z －i)⎝
⎛⎭⎪⎫
32－12i ＝1，可得z －i ＝
132
－1
2
i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D. 10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋
|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：
(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；
(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；
(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立． 其中真命题为( )
A ．(1)(2)(3)(4)
B ．(2)(3)(4)
C ．(2)(4)
D ．(2)(3) 答案 C
解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.
二、填空题
11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．
答案
10
解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝ －1 2
＋32
＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.
12．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b
的值为________．
答案 2
解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋1＝a ，
1－b ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，所
以a b
＝2.
13．(2016·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.
答案 －1
解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.
14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5
z
是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则
z ＝________.
答案 －1－2i 或－2－i
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i
＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5
z
是实数，根据题意有
⎩⎪⎨⎪⎧
b ⎝
⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，
a ＋3＝－
b ，
因为b ≠0，所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2
＋b 2
＝5，a ＝－b －3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝－2，
b ＝－1.
所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 三、解答题
15．(2017·徐汇模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z
2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z
＋a i)2
在复平面上对应点在第一象限．
(1)求z 的值；
(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0， 解得y ＝－2. ∴z
2－i ＝x －2i 2－i ＝ x －2i 2＋i 2－i 2＋i ＝ 2x ＋2 ＋ x －4 i 5， ∵
z
2－i 为实数，∴x －4
5＝0，解得x ＝4.
∴z ＝4－2i.
(2)∵复数(z ＋a i)2
＝[4＋(a －2)i]2
＝16－(a －2)2
＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2
)＋(8a －16)i ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
12＋4a －a 2
>0，8a －16>0，解得2<a <6，
即实数a 的取值范围是(2,6)．
16．(2017·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；
(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值． 解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1.
(2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．
由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －1<0，2m ＋1>0，∴－1
2
<m <1，
即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1. 而|z |＝ m －1 2
＋ 2m ＋1 2
＝5m 2
＋2m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋152＋9
5
， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，1时，|z |min ＝
95＝355
.。