第三章 Maxwell方程组用于圆形波导

第三章Maxwell方程组用于圆形波导——光纤理论的产生与发
展
§2 圆形介质波导（若干基本概念）
光导纤维（简称光纤）是光纤通信系统中的传输介质，也可以作为光纤传感系统的传感单元。

它由纤芯、包层和护套层构成。

纤芯和包层的材料都是石英玻璃，只是掺杂成分和掺杂浓度略有不同。

因此纤芯折射率n1与包层折射率n2基本相等。

为了保证光波被束缚于纤芯中进行远距离传播，n1应略大于n2。

一般包层折射率n2总是常数。

而纤芯折射率n1可能为常数，如图3.2.1(a)所示；也可能是从中心轴上的最大值n1按照n(r)的函数规律下降到包层折射率n2，如图3.2.1(b)所示。

前一种光纤称为阶跃光纤，或SI（Step Index）光纤；后一种称为梯度光纤，或GI（Graded Index）光纤。

在本章关于光纤的分析中，为了方便，我们将略去光纤的护套层，认为光纤的包层延伸到无穷远。

这种假设对光的传播特性不会产生很大的影响，这是因为护套层的作用仅仅是保护光纤，几乎与光的传播特性无关。

(a)阶跃光线(b)梯度光纤
图3.2.1 光纤的横截面结构及折射率分布
3.2.1 阶跃光纤中光线的传播
(1)传播路径及光线分类
由于阶跃光纤纤芯折射率是均匀的，所以光线在纤芯内沿直线传播。

而当光线到达纤芯与包层界面时，按Snell定律发生反射和折射。

在一定条件下光线在界面上发生全反射，形成束缚光线。

与薄膜波导不同，光纤中的光线由于入射方向的差异，必须分为两类。

一类是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线；另一类光线的传播路径与光纤轴线不相交，称为偏斜光线。

子午光线的路径是平面折线，其路径及在光纤横截面上的投影如图3.2.2(a)所示。

偏斜光
线的路径是空间折线，在光纤横截面上的投影是内切于一个圆的多边形（可以是不封闭的），如图3.2.2(b)所示。

根据前面的描述可知，偏斜光线的路径总与一个圆柱面相切，这个圆柱面称为偏斜光线的内焦散面（inner caustic ），内焦散面半径用ic r 表示。

显然a r ic <<0，而子午光线其实就是0→ic r 的特例。

因此可以用ic r 将光线分类 子午光线：0=ic r
（3.2.1a ）
偏斜光线：a r ic <<0
（3.2.1b ）
n 2 T
n 2 (b) 偏斜光线
图
3.2.2 光线的传播路径及其在横截面上的投影
(a) 子午光线
图3.2.3 光纤中研究光线传播的坐标系
为了准确描述光纤内光线的方向，我们引进图3.2.3所示的坐标系。

图中P 点为入射点。

PN 为该点处的法线，也就是圆柱过P 点的一条半径。

PQ 平行于z 轴，也就是过P 点的一条母线。

PT 是过P 点与圆柱横截面相切的切线。

PN 、PQ 、PT 三轴成右手系。

入射光线与PN
的夹角α即为光线在P 点的入射角。

反射光线与PN 的夹角为反射角，也等于α。

一般说来，入射光线、反射光线与PQ 或PT 不共面。

反射光线与PQ 之间的夹角z θ称为倾斜角。

反射光线在横截面上的投影PR 与切线PT 之间的夹角φθ称为偏斜角。

在光线传播的整个过程中，倾斜角z θ与偏斜角φθ均保持不变。

由几何关系得
φθθαsin sin cos z =
（3.2.2）
光线的内焦散面半径
φθcos a r ic =
（3.2.3）
可见ic r 完全由φθ决定。

因此可以用φθ将光线分类 子午光线：2
π
θφ=
（3.2.4a ）
偏斜光线：2
0π
θφ<
<
（3.2.4b ）
光线在界面处发生全反射时的临界角
1
2
1
sin n n c -=α （3.2.5）
若c αα≤<0，则光线将以折射光线的形式携带能量进入包层，形成束缚光线。

当2
π
αα≤<c 时应区分子午光线与偏向光线两种情况。

对子午光线，当2
π
αα≤
<c ，即c z απ
θ-<
≤2
0时，
将发生全反射形成束缚光线。

而对于偏斜光线，从光线的路径方程可以得到，仅当
c z απ
θ-<
≤2
0时才形成束缚光线。

而当
2
2
π
θαπ
<
≤-z c 且2
π
αα≤
<c 时，光线是介于束
缚光线和折射光线之间的第三类光线，称为漏泄光线。

子午光线不会形成漏泄光线，薄膜波导中也没有这类光线。

图3.2.4 三类光线的形成条件
束缚光线、折射光线、漏泄光线的形成条件可以直观地用图3.2.4表示。

以PQ （z 轴）为
轴作c θ为半锥角的圆锥，此圆锥范围内的光线即为束缚光线。

以PN （法线）为轴作c α为半锥角的圆锥，此圆锥范围内的光线即为折射光线。

而这两个圆锥之外的光线即为漏泄光线。

归纳起来，阶跃光纤中三类光线的入射方向满足 束缚光线：c z απ
θ-<
≤2
（3.2.6a ） 折射光线：c αα≤<0
（3.2.6b ）
漏泄光线：
2
2
π
θαπ
<
≤-z c 且2
π
αα≤
<c
（3.2.6c ）
与薄膜波导类似，由于在光线传播过程中，倾斜角z θ与偏斜角φθ始终保持不变，因而可
以引入两个光线不变量 z n θβcos 1=
（3.2.7a ）
φθθcos sin 1z n l =
（3.2.7b ）
在柱坐标系下，其物理含义明显，分别为z 方向和φ方向的归一化相位常数。

类似的，
φθθαsin sin cos 11z n n =，代表了纤芯中r 方向的归一化相位常数，但它并不是不变量，因
为发生折射时包层中的值和纤芯中的就不同了。

β和l 满足关系
αβ22122sin n l =+
（3.2.8）
利用光线不变量也可以对光线进行分类。

0=l 时为子午光线；而0≠l 时为偏斜光线。

而（3.2.6）式等价于
束缚光线：12n n ≤<β
（3.2.9a ） 折射光线：2
2220n l ≤+<β
（3.2.9b ）
漏泄光线：212222n l n ≤+<β且20n ≤<β
（3.2.9c ）
图3.2.5 光线分类
光线的详细分类可以用图3.2.5表示。

(2)数值孔径 如上所述，当c z απ
θ-<
2
时，光线才能成为束缚光线沿z 轴远传。

而由图3.2.6及Snell
定律又知z n n θθsin sin 10=。

因此数值孔径（Numerical Aperture ）为
2
221max 0sin ..n n n A N -==θ
（3.2.10）
图3.2.6 光纤端面上的折射
弱导条件（1<<∆）下
∆=2..1n A N
（3.2.11）
其中2
12
2
212n n n -=∆为光纤纤芯和包层之间的相对折射率差。

对于空气（10=n ），光线被光纤
捕获并能形成束缚光线的最大入射角
∆=2sin 1max n θ
（3.2.12）
数值孔径N .A .是光纤的一个重要参数，它反映了光纤捕获光线的能力。

N .A .越大，光纤捕获光线的能力越强，光源与光纤之间的耦合效率就越高。

从这个意义上讲，光纤的相对折射率差∆应尽量取得大一些。

但由于过大的∆会使光纤的多径色散更严重，所以实际光纤中1<<∆。

多模光纤的数值孔径仅为0.2左右，单模光纤的数值孔径更小，仅为0.1左右。

(3)传播时延及时延差
如图3.2.2所示，设光线的传播路径上相邻两入射点O 、P 间的距离为p L ，由几何关系得
2
212
2211
2sin sin 2βθθφ---==
n l n an a L z
P （3.2.13）
其光程
2
212
22121
12ββ---==n l n an
L n L P O
（3.2.14）
O 、P 间离p L 在z 轴上的投影长度
2
212
2212cos βββ
θ---==n l n a L z z P P
（3.2.15）
故光线沿z 轴传播的时延
z
P o c n c n cz L θβτcos 1
21=
== （3.2.16）
即时延与φθ无关，而只与z θ有关。

在z θ相同的条件下，从始端同时出发的各条偏斜光线将与子午光线同时到达终点。

因而在讨论阶跃光纤中多径色散时仅需讨论子午光线。

具有不同倾斜角z θ的束缚光线的最大时延差
∆=-=
∆c
n
c n c n 111max sin ατ
（3.2.17）
3.2.2 梯度光纤中光线的传播
阶跃光纤结构简单，比较容易分析和制作，但若用这种结构制作大口径（多模）光纤，
则会引起严重的多径色散。

为了解决这一问题，往往将纤芯折射率制成渐变的，形成梯度光纤。

梯度光纤的折射率呈轴对称性，且连续，其具体分布形式可写成
⎩⎨
⎧>==≤=a r a r n n a r r n r n )()
()(2
（3.2.18）
(1)路径方程和光线不变量
在以光纤轴为z 轴的柱坐标系),,(z r φ下，光线的路径方程（2.1.51）式可以写成三个标
量方程
r r n s r rn s r r n s d )
(d d d )(d d )(d d 2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡φ （3.2.19a ）
0d d d d )(2d d )(d d =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡s r
s r r n s r n s φφ
（3.2.19b ）
0d d )(d d =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡s z r n s
（3.2.19c ）
在梯度光纤中，光线在纤芯中的传播路径一般为空间曲线。

由图3.2.3定义的入射角α、
倾斜角z θ、偏斜角φθ都是r 的函数。

坐标变量z r 、、φ对路径s 的导数与这些角度之间满足 )(sin )(sin )(cos r r r z φθθα=
（3.2.20a ） )(cos d d r s r
α= （3.2.20b ）
)(cos d d r s z
z θ= （3.2.20c ） )(cos )(sin 1
d d r r r
s z φθθφ=
（3.2.20d ）
对（3.2.19c ）式积分可以得到一个光线不变量
)(cos )(d d )
(r r n s
z
r n z θβ==
（3.2.21）
它实际是光纤沿z 轴方向几何结构及折射率分布不变性的体现。

将（3.2.19b ）式两端乘以2
r 再积分可以得到第二个光线不变量
)(cos )(sin )(d d )(2r r r n a
r s r n a r l z φθθφ==
（3.2.22）
它实际是光纤沿φ方向几何结构及折射率分布不变性的体现，即轴对称性的体现。

上一节中引入的阶跃光纤中的两个光线不变量，仅仅是（3.2.21）和（3.2.22）式在1
)(n r n =时的特例。

由（3.2.21）和（3.2.22）式同样可以求得倾斜角及偏斜角的表达式
)
()(cos r n r z β
θ=
（3.2.23a ）
2
/122]
)([)(cos βθφ-=
r n l
r a r （3.2.23b ）
与阶跃光纤一样，当0=l 时，2
)(π
θφ=
r ，光线为子午光线；而当0≠l 时，则为偏斜光线。

(2)传播路径及光线分类
由于纤芯的折射率从中心轴到包层的分界面呈轴对称的单调下降分布，所以光线路径是周期性曲线，其束缚光线路径的形状如图3.2.7所示。

子午光线是光纤纵剖面内的平面曲线，在横截面上的投影为一条2tp r 长的线段，tp r 是光线的外焦散面半径。

偏斜光线的路径是螺旋状的空间曲线，交替与tp r r =和ic r r =的圆柱面相切。

tp r 为外焦散面（或折返点焦散面）半径，ic r 为内焦散面半径。

它在横截面上的投影类似于椭圆（也可能不闭合）的曲线。

显然，a r r tp ic <<且0)()(====tp ic r r r r φφθθ。

由（3.2.23b ）式知，ic r 和tp r 必是方程
0)(2
222
2
=--l r
a r n β
（3.2.24）
的解。

ic r 和tp r 由光纤折射率分布)(r n 及光线的初始条件决定。

若0=l ，则（3.2.24）式只有一个有意义的解β=)(tp r n ，而0=ic r ，这就是子午光线。

若0≠l ，则（3.2.24）式有两个正实数解，大的一个就是tp r ，小的一个就是ic r 。

将几何关系（3.2.20）式代入（3.2.19a ）式，得
r
r n r a l z r d )(d 21d d 23222
22
=-β （3.2.25）
令t z r =d d ，则r
t z r r t z t z r d d 21d d d d d d d d 2
22===，代入上式，得
)(d d 2d 232
2
2
2
r n r r
a l t =-β
（3.2.26）
积分上式，并注意到tp r r =时0d d ==z
r
t ，得
tp r r r a l r n t ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=22222
2)(β
（3.2.27）
利用0)(2
222
2
=--l r a r n tp
tp β，得
22
2222
2)(d d r a l r n z r --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ββ
（3.2.28）
最终可以引入函数
22
2
2
2
)()(r
a l r n r g --=β
（3.2.29）
2
2
φ(r )
(c)偏斜角的几何关系
图3.2.7 梯度光纤中光线的路径及其在横截面上的投影
(a)子午光线
比较（3.2.28）和（3.2.29）式可知，仅当)(r g 非负时光线路径才可能存在，即根据函数)
(r g 的性质可以判定光线类型。

在纤芯折射率分布)(r n 给定情况下，当光线的初始条件β和l 取
不同数值时，函数)(r g 的具体表达形式也不同，如图3.2.8所示。

当0=l 时，)(r g 与纵轴相交，如图(a)、(c)所示，说明子午光线可以与光纤轴线相交。

当0≠l 时，由于0→r 时
-∞→)(r g 与纵轴不相交，如图(d)、(e)、(f)所示，说明偏斜光线与光纤轴线不相交，最短距
离为内焦散半径ic r 。

对于束缚光线，)(r g 与横轴相交于外焦散半径tp r ，如图(a)、(d)所示。

而对于折射光线，则不存在外焦散半径tp r ，如图(c)、(f)所示。

对于漏泄光线，除了内、外焦散半径ic r 、tp r 外，)(r g 在包层中还存在第三个根rad r ，称为辐射焦散半径，如图(e)所示。

可以看出，光线除了在纤芯中tp ic r r r <<的区域存在，在包层中rad r r >的区域也是存在的，而两者之间的区域rad tp r r r <<中，0)(<r g ，即光线不可能存在。

这种现象可以类比量子力学中的隧道效应解释为，在纤芯中传播的光线有少量的通过所谓“隧道”机理漏泄到包层中，然后在rad r r >区域形成辐射损耗，所以漏泄光线又称隧道光线。

这也正是我们为什么把漏泄光线区别于束缚光线和折射光线而单独对待的原因。

束缚光线和折射光线也可以分别看成是
∞→rad r 和a r rad =的特例。

tp r
ic r rad r ic r tp r (a)子午束缚光线 (b)函数g (r )分析 (c)子午折射光线
图3.2.8 梯度光纤中光线的分类 (f)偏斜折射光线 (e)漏泄光线 tp r
ic r
rad r
tp r ic r
(d)偏斜束缚光线
(3)本地数值孔径
与阶跃光纤类似，仍然可以用子午光线来定义梯度光纤的数值孔径
max 0sin ..θn A N =
（3.2.30）
与阶跃光纤不同的是，梯度光纤的折射率是渐变的，即从端面上不同位置入射的光线，
其max θ是不同的，因而有必要定义本地数值孔径。

光线如果在r 处以)(max r θ入射到端面，则根据Snell 定律有
)(sin )()(sin max max 0r r n r n z θθ=
（3.2.31）
其中)(max r z θ为光线在光纤中能形成束缚光线的最大的z θ值。

根据形成束缚光线的条件
2)(cos )(n r r n z >=θβ得
2
22)()(sin )(n r n r r n z ->θ
（3.2.32）
即光纤在r 处的数值孔径
222max max 0)()(sin )()(sin ).(.n r n r r n r n r A N z -===θθ
（3.2.33）
这个表达式与阶跃光纤的数值孔径（3.2.10）式虽然形式上相同，但由于梯度光纤内折射率是
r 的函数，所以数值孔径也是r 的函数。

由（3.2.33）定义的数值孔径称为本地数值孔径。

由于光纤的本地数值孔径随r 变化，如果从光源入射来的光线是均匀的，而纤芯在端面上不同入射点对光线的捕获能力不同，因而光纤横截面内光功率分布是不均匀的。

假设从光源发出的光在不同方向上携带相同的光功率（点光源发光即具有这种特性），则光纤端面所能收集到的光功率与它的数值孔径的平方成正比。

设纤芯轴线处单位面积上通过的光功率为P (0)，距轴线r 处单位面积上通过的光功率为P (r )，则
2
2
2
12
2
222)()]0.(.[)].(.[)0()(n n n r n A N r A N P r P --== （3.2.34）
忽略光纤损耗，在一段不长的光纤中传播以后其输出功率分配仍满足上式。

如果能在输
出端测出功率分布，例如测量其近场分布，则可反推出光纤的折射率分布。

(4)传播时延及时延差
对于梯度光纤，光线沿曲线传播，在图3.2.7中，光线传播路径上P 、Q 两点间的路径在z 轴的投影长度P z ，可由（3.2.28）式积分得到，即
⎰⎰
==Q
P
r r P tp
ic r g r
z z 2
/1)]([d 2d β
（3.2.35）
而P 、Q 两点间的光程也可由（3.2.28）式，并利用z r n s d )
(d β
=
得到，即
⎰⎰==tp
ic r r Q
P O r g r
r n s r n L 2/12)]
([)d (2d )(
（3.2.36）
因而，光线沿z 轴传播单位距离的时延为
⎰⎰==tp ic tp
ic r r r r p O
r g r
c r g r
r n cz L 2
/12
/12)]([d )]([)d (βτ
（3.2.37）
由于22
2
2
2
)()(r
a l r n r g --=β，所以时延不仅与β有关，也与l 有关。

即时延不仅与倾斜角
)0(z θ有关，也与偏斜角)0(φθ有关。

只有少数特例，光线的传播时延仅由β也就是倾斜角)0(z θ，而与偏斜角)0(φθ无关。

下面举例进行说明。

(5)举例
例1 纤芯折射率按幂指数分布，即
⎪⎩⎪⎨⎧>∆-=≤≤⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=a r n n a
r a r n x n )
21(021)(2
122212α （3.2.38）
这种折射率分布具有典型意义，α取不同值时可以逼近多种折射率分布。

例2=α时即
成为抛物线型折射率分布。

其折射率随r 的变化情况与图2.2.9所示的情形类似，只需将其中的坐标x 换成r 即可。

一般情况下对任意的α值路径积分得不到显式，但传播时延有比较简单的表达式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
1112)2(n n c n ββαατ
（3.2.39）
如果令2=α，即可得到抛物线型折射率分布光纤中光线的传播时延
][21
212n c +=
ββ
τ （3.2.40）
与薄膜波导类似，这种幂指数折射率分布光纤也是在2=α附近取得最小的传播时延差，且
2/1∆∝∆τ。

例2 光纤折射率按双曲正割函数分布，即
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∆=a r n x n 2sech )(2212
（3.2.41）
利用与2.2节例2中相同的方法可以证明子午光线的传播时延
c n /=τ
（3.2.42）
与β无关，即以任何)0(z θ入射的光线，只要能满足束缚光线的条件，则子午光线会在光纤中出现与薄膜波导类似的自聚焦现象。

这种光纤称为自聚焦光纤。

但需要说明的是这种自聚
焦现象只对子午光线成立，现在还未找到能同时使子午光线和偏斜光线同时实现自聚焦的折射率分布。

§3 光纤模式理论
上一节中我们用几何光学理论分析了光纤中光线的传播问题，给出了一些关于光纤中关于光线传播的基本概念，让我们对于光纤有了比较直观的认识。

但由于几何光学理论是电磁波理论的短波长近似，只适用于分析多模光纤。

而在光纤通信和光纤传感中实际使用的主要是单模光纤，这种光纤芯径（一般为几微米）与工作波长接近。

几何光学方法显然不适用于
分析单模光纤。

因此在这一节中，我们将从电磁波理论出发，把光在光纤中传播的问题作为一个电磁场边值问题来求解。

这种更为严密的分析方法，不仅适用于分析多模光纤，而且适用于分析单模光纤。

3.3.1 光纤中的电磁场方程
由于光纤波导是圆柱形的，关于z 轴具有轴对称性，且沿z 方向具有平移对称性，因此在柱坐标系下分析光波比较方便。

根据分离变量法，在柱坐标系下，光纤的场分量总可以表示成
z j e Φr R z r βφφψ-=)()(),,(
（3.3.1）
的形式的叠加。

我们只需分别求出各个场解，再进行合成，即可得到实际电磁波传播情况。

(1)柱形波导中的场方程
在柱坐标系下，电磁场分量可以写成横向分量和纵向分量之和，即
z z t E e
E E ˆ+=
（3.3.2a ）
z z t H e
H H ˆ+=
（3.3.2b ）
式中z e ˆ为光纤纵向（z 轴正方向）的单位矢量；t E
、t H 为横向电磁场分量，均为二维矢量。

在如图3.3.1所示的坐标系中，沿z 轴传播的电磁场分量都具有（3.3.1）的形式，与（3.3.2）式一起代入频域中的Helmholtz 方程（2.1.16）式得柱坐标系下的Helmholtz 方程
0)(22202=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇t t t t t H E n k H E β （3.3.3a ）
0)(22202=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇z z z z t H E n k H E β （3.3.3b ）
式中2t ∇为横向Laplace 算子，它是横向梯度算子
y
e x e
y x t ∂∂
+∂∂=∇ˆˆ （3.3.4）
的平方，即t t t ∇⋅∇=∇2。

图3.3.1 柱形波导坐标系
将梯度算子
z
e z e y e x e
z t z y x ∂∂
+∇=∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆˆˆˆ （3.3.5）
代入频域中的Maxwell 方程组（2.1.10）式，并将（2.1.10）式展开得 z t z z t t c H e
j E j E k ∇⨯+∇-=ˆ02ωμβ
（3.3.6a ）
z t z r z t t c
E e
j H j H k ∇⨯-∇-=ˆ02
εωεβ
（3.3.6b ）
式中
22
202β-=n k k c
（3.3.7）
（3.3.6）式说明，t E 、t H
由z E 、t H 决定。

因此对于z 向均匀的柱形传输系统，我们可
以先通过（3.3.3b ）式解出纵向电磁场分量z E 、t H ，再由（3.3.6）式确定横向电磁场分量t E
、t H
，而无需解形式更为复杂的（3.3.3a ）式。

这样就使三维电磁场量的矢量问题被简化为一维
纵向场分量的标量问题。

再由前面的（3.3.1）式知，纵向场分量随z 的变化关系确定，并且在柱坐标系下可分解两个一元函数)(r R 和)(φΦ的乘积。

最终，柱形传输系统可以被简化成为两个常微分方程，其具体形式在之后推导中即将被看到。

而且这两个常微分方程并不是相互独立的，它们是靠分离变量过程中引入的特征值联系在一起的。

(2)光纤中的电磁场方程 将电磁场写成分量形式
z z r r E e E e E e E
++=φφ （3.3.8a ）
z z r r H e H e H e H
++=φφ
（3.3.8b ）
式中z E 和z H 都满足（3.3.3b ）式。

在柱坐标系下将横向Laplace 算符展开，得
0112
2
22=+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z c z z E k E r r E r r r φ
（3.3.9a ）
01122
22=+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z c z
z H k H r r H r r r φ
（3.3.9b ）
电磁场的横向分量可以从Maxwell 方程组的标量形式（3.3.6）式中得出，即
φ
ωμβ
∂∂-∂∂-=z z
r c H r j r E j E k 02 （3.3.10a ）
r
H j E r j
E k z
z c ∂∂+∂∂-=02ωμφβφ （3.3.10b ）
r
H j E r n j H k z
z r c
∂∂-∂∂=β
φωε202
（3.3.10c ）
φ
βωεφ∂∂-∂∂-=z
z c H r j
r E n j H k 2
02 （3.3.10d ）
式中 22
20220022ββεμω-=-=n k n k c
（3.3.11）
02/εεε==r n
（3.3.12）
求解光纤中的电磁场问题，首先是在折射率分布条件下由（3.3.9）式确定各区域中纵向
场分量z E 和z H 的解的形式，然后由（3.3.10）求出电磁场的横向分量。

根据纤芯和包层分界面上的电磁场边界条件，确定场解中的一些待定常数，最终完成求解。

在求解（3.3.9）式的
过程中一般采用分离变量法。

3.3.2 阶跃光纤的严格解——矢量模解
(1)阶跃光纤的电磁场解
阶跃光纤的纤芯和包层折射率n 1和n 2都是常数。

上面给出的方程（3.3.9）式中的纵向电磁场量z E 和z H 满足同一方程。

用),,(z r φψ代替z E 和z H ，则（3.3.9）式可以写成
0112
2
2
2=+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ψφ
ψψ
c k r r r r r （3.3.13）
式中c k 由（3.3.11）式定义。

方程（3.3.13）式可以利用（3.3.1）式进行分量变量。

将（3.3.1）式代入（3.3.13）式，得
0d d d d d d 2
222=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡R Φk Φr R r R r r r Φc φ
（3.3.14）
上式两端同乘以R Φ
r 2
得
2222d d 1d d d d φ
Φ
Φr k r R r r R r c -=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （3.3.15）
上式左端只是r 的函数，右端只是φ的函数，而r 、φ都是独立变量。

因此欲使上式对r 和φ都成立，只有两端都等于同一常数才有可能。

于是令方程（3.3.15）式右端等于特征值m 2，即
2
2
2d )(d )(1m ΦΦ=-φ
φφ （3.3.16）
或
0)(d )
(d 22
2=+φφ
φΦm Φ
（3.3.17）
上式的解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=φφφm m Φsin cos )(
（3.3.18）
为了保证周期性边条件)2()(πφφ+=ΦΦ，m 必须取整数，即 、、、
210=m 。

)(φΦ可以取cos 形式，也可以取sin 形式。

由方程（3.3.15）式左端等于m 2，得
0)()(d )(d d d 2
22=-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡r R m r k r r R r r r
c （3.3.19）
在上式中做变换r k X c =，可得
01d d 1d d 2222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++R X m X R X X R （3.3.20）
上式在02
22>=r k X c 的条件下为m 阶Bessel 方程的标准形式，其解为m 阶Bessel 函数的标准形式；而在0222<=r k X c 的条件下为m 阶变态Bessel 方程，解为m 阶变态Bessel 函数。

因为2
r 总为非负值，所以2
X 的正负由2c k 决定。

由（3.3.11）式，22202β-=n k k c ，可知在工
作频率确定的条件下，2c k 的正负号取决于折射率n ，n 越大则2c k 为正数的可能越大。

在光纤纤芯中，折射率n 1较大。

由几何光学的理论可知β的物理含义，β为10n k 在z 轴
的分量，可以假设0222120≥=-c k n k β。

因而在纤芯中（3.3.20）式的解可以表示成
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=)()()(r k Y r k J r R c m c m
， a r ≤
（3.3.21）
式中)(r k J c m 是m 阶第一类Bessel 函数，也称m 阶Bessel 函数。

)(r k Y c m 是m 阶第二类Bessel
函数，也称m 阶Neumann 函数。

而在包层中，折射率n 2较小。

若0222220≥=-c k n k β，则解
的形式与（3.3.21）类似。

根据Bessel 函数的性质可知，当∞→r 时)(r R 为有限大。

即能量可以沿r 方向传播，形成辐射模。

对于我们关心的导波模，可以假设其02
2
2
220<=-c k n k β，即在包层中（3.3.20）式的解可以表示成
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=)()()(r K r I r R c m c m αα
， a r >
（3.3.22）
式中
02
220222>-=-=n k k c c βα
（3.3.23）
)(r I c m α是m 阶第一类变态Bessel 函数， )(r K c m α是m 阶第二类变态Bessel 函数。

为了了解导波模场的分布特点，我们来分析一下两种Bessel 函数的特点。

对于02>c k 的
情况，两类Bessel 函数都是振荡函数，有无穷多个零点或根。

有关Bessel 函数的详细论述，读者可以阅读有关的数学教科书。

这里我们关心的是Bessel 函数的渐进特性，即)(X J m 和
)(X Y m 在宗量X 很小或很大的性态。

其大宗量渐进式为
⎪⎭⎫ ⎝⎛
--−−→
−∞
→24cos 2)(πππm X X X J X m （3.3.24a ）
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--−−→
−→∞
24sin 2)(πππm X X X Y X m
（3.3.24b ）
小宗量渐进式为
1)(00−−→−→X X J
（3.3.25a ）
m
X m X m X J ⎪⎭
⎫ ⎝⎛−−→−→2!1)(0
（3.3.25b ）
2
ln
2
)(0
0X
X Y X π
−−→
−→
（3.3.25c ）
m
X m X m X Y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−−→−→2)!1()(0
π
（3.3.25d ）
这两类Bessel 函数的曲线如图3.3.2和图3.3.3所示。

它们在物理上都可以表示驻波场，
由（3.3.24）式可知这种驻波场的振幅按r k c /1规律递减，这种递减规律是圆柱形波导中场量沿径向分布的必然规律。

图3.3.2 第一类Bessel 函数J m (X )曲线
图3.3.3 第二类Bessel 函数Y m (X )曲线
图3.3.4 第一类变态Bessel 函数I m (X )曲线
图3.3.5 第二类变态Bessel 函数K m (X )曲线
而对于02
<c k 的情况，两类变态Bessel 函数都是单调函数。

)(r I c m α是随r c α增大而单
调上升的函数，)(r K c m α是随r c α增大而单调下降的函数。

两类变态Bessel 函数在宗量r c α很小或很大时的渐进值具有十分重要的意义。

其大宗量渐进式为
X X m e X
X I π21
)(−−→
−∞
→ （3.3.26a ）
X X m e X
X K -∞
→−−→
−π21
)( （3.3.26b ）
小宗量渐进式为
2
021)(⎪⎭
⎫
⎝⎛+−−→−→X X I X
（3.3.27a ）
m
X m X m X I ⎪⎭
⎫ ⎝⎛−−→−→2!1)(0
（3.3.27b ）
X
X K X 2
ln
)(0
0−−→−→
（3.3.27c ）
m
X m X m X K ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−−→−→2)!1(21)(0
（3.3.27d ）
两类Bessel 函数的曲线如图3.3.4和图3.3.5所示。

因为包层中∞<<r a ，所以我们更感兴趣的是两类变态Bessel 函数在∞→r c α时的渐进特性。

当∞→r c α时，)(r I c m α是发散的，而
)(r K c m α收敛于零。

由于实际电磁场必是有限的，而由图3.3.3和图3.3.4知，当0→r 时-∞→)(r k Y c m ，当
∞→r 时∞→)(r I c m α，因此)(r k Y c m 和)(r I c m α都不是物理解，应舍去。

虽然当0→r 时∞→)(r K c m α，但由于)(r K c m α是包层中的场解，定义域∞<<r a 中不包括0→r ，所以
仍是合理的物理解。

所以纤芯和包层中的物理解分别为 )()(r k J r R c m = ， a r ≤≤0 （3.3.28a ）
)()(r K r R c m α= ， a r >
（3.3.28b ）
于是纤芯和包层中的场解
z
j c m z e m m r k J A E βφφ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=cos sin )(11 ， a r ≤≤0
（3.3.29a ）
z
j c m z e m m r k J B H βφφ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sin cos )(11 ， a r ≤≤0
（3.3.29b ）
z
j c m z e m m r K A E βφφα-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=cos sin )(22， a r >
（3.3.29c ）
z
j c m z e m m r K B H βφφα-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=sin cos )(22， a r >
（3.3.29d ）
式中A 1、B 1、A 2、B 2是待定常数，分别代表了电磁场分量在纤芯和包层中的振幅因子，A 、B 分别代表电场和磁场，脚标1、2分别代表纤芯和包层。

式中场量随φ变化的函数)(φΦ可以取φm sin 或φm cos ，当E z 的表达式（3.3.29a ）和（3.3.29c ）式取φm sin 时，H z 的表达式（3.3.29b ）和（3.3.29d ）式取φm cos ；反之，当E z 的表达式取φm cos 时，H z 的表达式取φm sin 。

只有这样才能保证纤芯和包层界面（a r =）上电磁场的边界条件得以满足。

为了后面讨论方便，只取φm sin 和φm cos 中的一组解，例如只取上面的一组。

并且引入
归一化特征参量 a k U c = （3.3.30a ）
a W c α=
（3.3.30a ）
来代替c k 和c α。

于是场量可以写成
z j m z e m r a U J A E βφ-⎪⎭⎫
⎝⎛=sin 11 ， a r ≤≤0
（3.3.31a ）
z j m z e m r a
W
K A E βφ-⎪⎭
⎫
⎝⎛=sin 22 ， a r > （3.3.31b ）
z j m z e m r a U J B H βφ-⎪⎭⎫
⎝⎛=cos 11 ， a r ≤≤0
（3.3.31c ）
z j m z e m r a
W
K B H βφ-⎪⎭
⎫
⎝⎛=cos 22， a r > （3.3.31d ）
因为特征参量U 、W 满足 2
2120222a n k a U =+β （3.3.32a ）
22220222a n k a W =+-β
（3.3.32b ）
所以可以定义另一个重要的特征参量
)(2221220222n n a k W U V -=+=
（3.3.33）
当波导结构和工作波长固定，则
∆=-=21022210a n k n n a k V
（3.3.34）
为常数，称为光纤的归一化频率。

它与工作频率成正比，是一个无量纲的常数。

（3.3.31）式表明，电磁场分量E z 和H z 在半径方向（r 方向）和圆周方向（φ方向）均成
驻波分布。

只不过r 方向驻波用Bessel 函数描述，振幅随r 增大而减小；而φ方向成简谐形式的驻波。

m 是Bessel 函数的阶数，也是场量沿φ方向形成驻波的数目。

沿z 方向则呈行波状态，相位常数为β。

包层中场量沿r 方向用第二类变态Bessel 函数描述，保证了电磁波能量主要
集中于纤芯，形成导波模。

而当0222202≥-=βn k k c 时，这种特性将不复存在，即形成辐射模。

所以在讨论导波模时，总假设0222202<-=βn k k c ，这也就是形成导波模的必要条件。

由边界条件，界面（a r =）上的电磁场切向连续，21z z E E =，21z z H H =，21φφE E =，
21φφH H =，先考虑前两个
)()(21a r E a r E z z ===
（3.3.35a ）
)()(21a r H a r H z z ===
（3.3.35b ）
可得 )()(21W K A U J A m m = （3.3.36a ）
)()(21W K B U J B m m =
（3.3.36b ）
令 )()(21W K A U J A A m m == （3.3.37a ）
)()(21W K B U J B B m m ==
（3.3.37b ）
则可将纵向电磁场写成
z j m m z e m r a U
J U J A E βφ-⎪⎭
⎫
⎝⎛=
sin )(1 （3.3.38a ）
z j m m z e m r a W K W K A E βφ-⎪⎭⎫
⎝⎛=
sin )(2
（3.3.38b ）
z j m m z e m r a
U
J U J B H βφ-⎪⎭
⎫
⎝⎛=
cos )(1 （3.3.38c ）
z j m m z e m r a W K W K B H βφ-⎪⎭
⎫
⎝⎛=
cos )(2
（3.3.38d ）
将上式代入（3.3.10）式，即可得横向电磁场量的表达式
φωμβφm r a U J a UB r a U J r mA U J U a j E m
m m cos )(102
1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （3.3.39a ）
φωμβφm r a W
K a WB r a
W K r mA W K W a j E m m m cos )(102
2⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛= （3.3.39b ）
φβωμm r a U J a UA r a U J r mB U J U a j E m
m m r sin )(102
1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （3.3.39c ）
φβωμm r a W
K a WA r a
W K r mB W K W a j E m m m r sin )(102
2⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛= （3.3.39d ）
φωεβφm r a
U J a UA n r a
U J r mB U J U a j H m m m sin )(12
102
1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （3.3.39e ）
φωεβφm r a W K a WA n r a W K r mB W K W a j H m m m sin )(12
2022
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=（3.3.39f ）
φβωεm r a
U
J a UB r a
U J r mA n U J U a j H m m m r cos )(12102
1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（3.3.39g ）
φβωεm r a W K a WB r a W K r mA n W K W a j H m m m r cos )(12
202
2
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=（3.3.39h ） 上式中都略去了z 方向的传播因子z
j e
β-，式中的“’”代表对函数宗量的导函数。

（3.3.38）和（3.3.39）式所表示的电磁波成为光纤中的导波的条件是U 和W 都是正实数，
以保证电磁场量在纤芯中呈驻波分布，在包层中呈表面波分布。

由（3.3.32）式易于看到U 和W 为正实数的条件是
1020n k n k <<β
（3.3.40）
上式即为形成导波模的条件。

若上述条件不满足，即20n k ≤β，包层中的场将成为辐射场，导波模也就截止了。

因此我们将20n k =β，0=W 或V U =作为一个导波模截止的临界点。

(2)导波模的特征方程
光纤中的电磁场分量表达式（3.3.38）和（3.3.39）式中尚有特征参量U 、W 、β没有确定，待定常数A 和B 之间的关系也有待确定，只有把这些参量都确定下来才能最终确定光纤中导波模的传播特性和场分布。

特征参量由特征方程解出，而特征方程则由边界条件得出。

由于前面（3.3.35）式已经用过两个边界条件，接下来我们考虑后两个边界条件 )()(21a r E a r E ===φφ （3.3.41a ）
)()(21a r H a r H ===φφ
（3.3.41b ）
将（3.3.39）式代入，得
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡'+'22011
)()()()(W U mA W WK W K U UJ U J B m m m m βωμ （3.3.42a ）
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'+'222
221011
)()()()(W U mB W WK W K n U UJ U J n A m m m m βωμ （3.3.42b ）
上式确定了A 和B 之间的关系，A 和B 的完全确定还依赖于光纤的激励条件。

但A 和B 的大
小并不影响导波模的传播特性，所以这里就不进一步讨论了。

从（3.3.42）式中消去A 和B ，得
2
22
202
22
22111
)()()()()()()()(⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡'+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'W U k m W WK W K n U UJ U J n W WK W K U UJ U J m m
m m m m m m β （3.3.43）
上式中含有三个待求特征参量U 、W 、β，将它和（3.3.32）式联立，即可在光纤结构参数和工作波长已知的情况下求得导波模的特征参量。

（3.3.43）式即为光纤或圆柱形介质波导的特征方程。

利用（3.3.32）式消去纵向相位常数β，可得特征方程的另一种形式，即
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡'+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'22222
122222211111
)()()()()()()()(W U n n W U
m W WK W K U UJ n U J n W WK W K U UJ U J m m
m m m m m m
（3.3.44）
式中只含有两个特征参量U 和W 。

考虑到
∆==+22
1220222n a k V W U
（3.3.45）
式中
2
12
2
212n n n -=
∆ （3.3.46）
在结构参数和工作波长确定的情况下，就可以从（3.3.44）和（3.3.45）式中解出U 和W 这两个特征参量。

为了便于书写，引入两个简化符号
)
()(U UJ U J J m m
'=
（3.3.47a ）
)
()(W WK W K K m m
'=
（3.3.47b ）
则（3.3.44）式可以写成
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++22222122222211111)(W U n n W U m K J n n K J （3.3.48）
将上式看成是一个关于J 的一元二次方程，其形式解为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22222122222
212
221221111141121W U n n W U
m K n n K n n J （3.3.49） 上式是光纤或圆柱形介质波导特征方程的有一种写法，从这个方程中可以将方程的解区分为。