岑溪市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

岑溪市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 过抛物线y=x 2
上的点的切线的倾斜角（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
2． 已知函数[)[)1(1)s in 2,2,212
()(1)s in 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足
*
()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ）
A.909
B.910
C.911
D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 3． 设F 为双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-=>>的右焦点，若O F 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1||2
O F ，则双曲线的离心率为（ ）
A
． B
3
C
． D ．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 4． 十进制数25对应的二进制数是（ ）
A ．11001
B ．10011
C ．10101
D ．10001
5． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0） D ．（﹣∞，﹣1）
6． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7 7． 点A
是椭圆
上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2
的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A
． B
．
C
．
D
．
8． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
9． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
11．若，[]0,1b ∈，则不等式22
1a b +≤成立的概率为（ ）
A ．16
π
B ．12
π
C ．
8
π
D ．
4
π
12．已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆
1)
1()
3(2
2
=-++
y x 上，使得2
π
=
∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x x
x f 3
log
4)(-=
在区间
)4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A ．)(q p ⌝∧
B ．q p ∧
C ．q p ∧⌝)(
D ．q p ∨⌝)(
二、填空题
13．曲线C 是平面内到直线l 1：x=﹣1和直线l 2：y=1的距离之积等于常数k 2（k ＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C 过点（﹣1，1）； ②曲线C 关于点（﹣1，1）对称；
③若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则|PA|+|PB|不小于2k ；
④设p 1为曲线C 上任意一点，则点P 1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P 1、P 2、P 3，
则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值4k 2
．
其中，所有正确结论的序号是 ．
14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()1e e
x
x
f x =-，其中e 为自然对数
的底数，则不等式()()2240f x f x -+-<的解集为________．
16．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从点O到点A3的回形线为第1圈（长为7），从点A3到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为．
17．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．
18．设双曲线﹣=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积
是．
三、解答题
19．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1()
16t a
y-
=（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。

那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
20．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ； （Ⅱ）设B=90°，且
a=，求△ABC 的面积．
21．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(221
12≥+=+---n S S S n n n n .
Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256lo g ()1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC
EF DE ⋅=2
．
（Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
23．如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，B （﹣，）． （I ）若∠AOB=α，求cos α+sin α的值；
（II ）设点P 为单位圆上的一个动点，点Q 满足=
+
．若∠AOP=2θ，
表示|
|，并求|
|
的最大值．
24．设0＜||≤2，函数f（x）=cos2x﹣||sinx﹣||的最大值为0，最小值为﹣4，且与的夹角为45°，求|+|．
岑溪市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，
在点的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tanα=1，
解得α=45°．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．2．【答案】A.
【解析】
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】A
【解析】解：25÷2=12 (1)
12÷2=6 0
6÷2=3 0
3÷2=1 (1)
1÷2=0 (1)
故25（10）=11001（2）故选A．
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），
若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，
（）2＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1，
故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
6．【答案】C
【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B的可能情况为：{}
0,2,4,5，{}
1,2,4,5共6个。

故
0,2,3,5，{}
0,1,4,5，{}
0,1,3,4，{}
0,1,3,5，{}
选C。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

7．【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则
S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，
∵，
∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，
整理，得|AF
|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，
1
∴椭圆的离心率e===．
故选：B．
8．【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}． 故选：A ．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
9． 【答案】B
【解析】解：∵z=cos θ+isin θ对应的点坐标为（cos θ，sin θ）， 且点（cos θ，sin θ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B ．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C 62C 42C 22
=90个不同的六位数，
故选：B ．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
11．【答案】D 【
解
析
】
考点：几何概型． 12．【答案】A 【解析】
试题分析：命题p ：2
π
=
∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()
()113
2
2
=-++
y x 有公共点,所以121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()x x x f 3
log
4-=
，
()0log
1443
<-=f ,()0log
3
4333
>-=
f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()
4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ． 考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2
π
=
∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆
1)
1()
3(2
2
=-++
y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x x
x f 3
log
4)(-=
是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
二、填空题
13．【答案】 ②③④ ．
【解析】解：由题意设动点坐标为（x ，y ），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y ﹣1|=k 2
，
对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x 被﹣2﹣x 代换，y 被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；
对于③，由题意知点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y ﹣1| ∴|PA|+|PB|≥2
=2k ，③正确；
对于④，由题意知点P 在曲线C 上，根据对称性，
则四边形P 0P 1P 2P 3的面积=2|x+1|×2|y ﹣1|=4|x+1||y ﹣1|=4k 2
．所以④正确．
故答案为：②③④．
【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．
14．【答案】 3+ ．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个，
即
个，
因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+
．
故答案为：3+．
15．【答案】()32-， 【解析】∵()1e ,e
x x
f x x R =-
∈，∴()
()11x
x
x
x f
x e
e f
x e
e --⎛⎫-=-
=--=- ⎪⎝
⎭，即函数()f x 为奇函数，
又∵()0x x
f x e e -=+>'恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增，不等式()()2240f x f x -+-<可转化为
()()2
24f
x f
x -<
-，即2
24x x
-<
-，解得：32x -<<，即不等式()()2240f x f x -+-<的解集为
()32-，
，故答案为()32-，. 16．【答案】 63 ．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7 第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23 …
第n 圈长为：n+（2n ﹣1）+2n+2n+n=8n ﹣1 故n=8时，第8圈的长为63， 故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
17．【答案】 3 ．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
18．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
﹣=1的a=2，b=3，
可得c 2=a 2+b 2
=13，
又||MF 1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2
|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，
在△F 1AF 2中，由勾股定理得： |F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2
=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，
即4c 2=4a 2
+2|MF 1||MF 2|， 可得|MF 1||MF 2|=2b 2
=18，
即有△F 1MF 2的面积
S=|MF 1||MF 2|sin ∠F 1MF 2
=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a 、b 、c 之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）0.110,00.11(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

【解析】
试题分析：（1）由题意：当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，观察图象过点()0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析式为10y t =，当110
t ≥
时，y 与t 的函数关系为1(
)
16
t a
y -=，观察图象过点1(
,1)10
，代入得：0.111(
)
16
a
-=，
所以0.1a =，则解析式为0.11()16t y -=，所以含药量y 与t 的函数关系为：0.110,00.1
1(
),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）观
察图象可知，药物含量在[]0,0.1段时间内逐渐递增，在0.1t =时刻达到最大值1毫克，在0.1t >时刻后，药物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有0.1
11()
0.25164
t -==
，所以0.10.5t -=，所以0.6t =，
所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。

试题解析：（1）依题意，当，可设y 与t 的函数关系式为y ＝kt ，
易求得k ＝10，∴ y ＝10t ，
∴ 含药量y 与时间t 的函数关系式为
（2）由图像可知y 与t 的关系是先增后减的，在时，y 从0增加到1； 然后
时，y 从1开始递减。

∴
，解得t ＝0.6，
∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室
考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。

20．【答案】
【解析】解：（I ）∵sin 2
B=2sinAsinC ，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk ）2
=2ak •ck ， ∴b 2
=2ac ，
∵a=b ，∴a=2c ， 由余弦定理可得：
cosB=
=
=．
（II ）由（I ）可得：b 2
=2ac ，
∵B=90°，且
a=，
∴a 2+c 2=b 2
=2ac ，解得
a=c=
．
∴S △ABC
=
=1．
21．【答案】 【解析】Ⅰ由题意知()
32
1
211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()32
1
1≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--
()3122122 (2)
2
52 (2)
2
2
2
1
22
1
≥+=++++++=++++=----n n
n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1． Ⅱ 由88222
2222562lo g (
)lo g lo g 2
821
2
n
n n
n b n a -====-- N *n ∈
法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=； 当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .
法二：可利用等差数列的求和公式求解
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵EC EF DE
⋅=2
,DEF DEF ∠=∠
∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴
ED
EP EF
EA =
，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅．
∵EC EF DE
⋅=2
,2,3==EF DE ，∴ 2
9=
EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得4
27=
EP .
∴415=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC
PB PA
⋅=2
∴)2
94
27(
4
152
+
⨯=
PA
，解得4
3
15=
PA ．……………………10分
23．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，B （﹣，）．
可得sin α=，cos α=
，∴cos α+sin α=
．
（Ⅱ）因为P （cos2θ，sin2θ），A （1，0）所以=
=（1+cos2θ，sin2θ），
所以==
=2|cos θ|，因为
，
所以=2|cos θ|∈
，
|
|的最大值
．
【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．
24．【答案】
【解析】解：f （x ）=cos 2
x ﹣||sinx ﹣||
=﹣sin 2x ﹣||sinx+1﹣||
=﹣（sinx+
）2
+
+1﹣||，
∵0＜||≤2，∴﹣1≤﹣＜0，
由二次函数可知当sinx=﹣
时，f （x ）取最大值
+1﹣||=0，
当sinx=1时，f （x ）取最小值﹣||﹣||=﹣4，
联立以上两式可得||=||=2，
又∵与的夹角为45°，
∴|+|=
=
=
【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和模长公式，属基础题．。