河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(五)数学(理)试题(含精品解析)

天一大联考
2018-2019学年高中毕业班阶段性测试（五）
数学（理科）
一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.）
A. B. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集求解即可.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及对数函数的定义域问题，题目比较简单.
2.）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．
着重考查了推理与运算能力．
3.项和，若）
A. 27
B. 81
C. 93
D. 243
【答案】B
【解析】
【分析】
，可得
得到首项，再由等比数列的通项公式得到结果.
【详解】
时，所以数列3为首项，3为公比的等比数列，
故答案为：B.
的关系，求
n=1时通项公式是否适用.
4.）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
BC不正确，再由特殊值得到最终结果.
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.
5.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱
靶，设其命中10，9，8，7）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆的面积公式得到各个区域的面积，再由几何概型的公式得到相应的概率值.
【详解】若设中心圆的半径为，则由内到外的环数对应的区域面积依次为
D正确.
故答案为：D.
【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）
【答案】C
【解析】
【分析】
将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径.
【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为
故答案为：C.
【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
7.有5名学生需从数学建模、程序设计两门课中选择一门，且每门课至少有2名学生选择，则不同的选择方法共有（）
A. 10种
B. 12种
C. 15种
D. 20种
【答案】D
【解析】
【分析】
先将5人分为2组，一组3人，另一组22.
【详解】根据题意，先将5人分为2组，一组3人，另一组22组对应2门课
故答案为：D.
【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
8.）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像得到振幅和
可得到对称中心.
【详解】由图可知
，，得，
.令，
，则时，.
故答案为：D.
【点睛】确定y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值
m，则A b(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如
下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ
9.4）
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
【答案】B
【解析】
【分析】
.
为对角线
，
故答案为：B.
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
10.，
为（）
【答案】A
【解析】
【分析】
进而得到结果.
.
.
，联立
，得
【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.
11.0
）
A. 0
B. 2
C. 2019
D. 4038
【答案】C
【解析】
【分析】
,.
.
所以，
故答案为：C.
【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的应用，以及等差数列的性质的应用，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
12.，且
项中不一定正确的一项是（）
【答案】C
【解析】
【分析】
A正确；由图像的变化趋势以及导函数的几何意义得到B正确；由割线的斜率的定义得到D正确，进而得到答案.
所以的图象是向上凸起的，如图所示.
，故A项正确；
B项正确；
表示点与
D正确；C项无法推出，
故答案为：C.
【点睛】这个题目考查了函数的凹凸性，以及导函数的几何意义，导函数的单调性能体现原函数的变化快慢，以及图像的凹凸性.
二、填空题：本题共4小题.
13.________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，进而得到结果.
【详解】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，
平面区域为，其中
故答案为：3.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)、斜率型（
．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

14.__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
可得到两曲线相切，有一个零点，在处的切线的斜率为1，可得到.
【详解】，得
.
又易知,处的切线的斜率为
有一个交点，故题中方程的根的个数为2.
故答案为：2.
【点睛】对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转
化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些。

15.的左、右焦点分别为
两点.若的内切圆与边，4
的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据圆的切线长定理以及双曲线的定义可列出等式，得到结果.
，则，所以
，所以
故答案为：2.
【点睛】这个题目考查了圆的切线长定理，即从圆外一点做圆的两条切线，得到的切线长相等，也考查了
双曲线的定义点A
16.中，，
切值为__________．
【解析】
【分析】
点，连交于设则
底面为正方形，得到异面直线的夹角正切值.
相交于点
由两式可解得
.
【点睛】这个题目考查了异面直线的夹角的求法，常见的方法有利用平行关系，平移到同一平面内，转化为平面图形的关系，常见的平行关系有平行四边形的对边，中位线等.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.
.
【答案】
【解析】
【分析】
（Ⅱ）
，两边平方得到边的方程，再由重要不等式得到
得到面积的最值.
【详解】
边上的中线，∴
，当且仅当时取得等号.
面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式三角形中线的性质的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意
用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18.8的菱形，
；
与平面.
【答案】(1)见证明
【解析】
【分析】
（Ⅱ）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角.
【详解】
O.
.
O
，所以
的平面角，所以
都是边长为8的等边三角形.
，则
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
的法向量为，则，
所以
所以直线与平面夹角的正弦值为
【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法。

求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。

19.某公司推出一新款手机，因其功能强大，外观新潮，一上市便受到消费者争相抢购，销量呈上升趋势.散点图是该款手机上市后前6周的销售数据.
（18周的销量；
（2）为了分析市场趋势，该公司市场部从前6周的销售数据中随机抽取2周的数据，记抽取的销量在18
.参考公式：其中：
【答案】8周的销量为25万台. (2)见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据数据和公式得到回归方程，代入自变量的值，进而得到估计值；
0，1，2，求出相应的概率值，进而列出列联表.
【详解】（Ⅰ）
，
，.
所以.
.所以线性回归直线方程为
8周的销量为25万台.
（Ⅱ）由题意可知，前6周中有2周销量在18万台以上.
0，1，2.
所以的分布列如下：
【点睛】本题考查回归分析，考查离散型随机变量的分布列，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值
20.1. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ），
取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
理得到中点坐标，进而写出直线的方程，找到横截距，求出参数范围.
【详解】（Ⅰ）由已知可得
.
，设直线
为轴，此时.
综上所述，的取值范围为
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21..
（1
（2
【答案】见证明
【解析】
【分析】
（Ⅱ）
.
【详解】（Ⅰ）由题意得
，解得
上单调递增，所以当.
在上单调递减，在.
.
时，
.
，所以在上单调递增，所以
，即
【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
为参数，
的极坐标方程为
的普通方程及曲线
（Ⅱ）若直线.
【答案】（Ⅰ）普通方程为
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据参普互化的公式，以及极坐标和直角坐标互化的公式得到结果；（Ⅱ）通过分析临界情况，即直线和圆的相切的情况，进而得到满足有2个交点是直线的倾斜角的范围.
【详解】
：
1为半径的圆.
，此时直线.
表示直线的斜率，则
设圆心
，解得
.
的取值范围为.
【点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，以及参数方程和直角坐标的互化，涉及直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
23.[选修4-5：不等式选讲]
时，解不等式
.
【答案】
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分情况讨论，去掉绝对值，分情况解不等式即可；
侧的函数图像，通过图像得到结果.
【详解】
或，
或，
的解集为
.
的图象应在的图象上方（可以有交点），
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.。