高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4[1](2021年

2018版高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4的全部内容。

1.6 三角函数模型的简单应用
1。

了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题。

（重点)
2。

实际问题抽象为三角函数模型.（难点）
[基础·初探]
教材整理三角函数的实际应用
阅读教材P60～P64所有内容，完成下列问题.
1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.
2.y＝|sin x｜是以π为周期的波浪形曲线。

3。

解三角函数应用题的基本步骤：
（1)审清题意；(2）搜集整理数据,建立数学模型；
(3)讨论变量关系,求解数学模型；
(4)检验,作出结论.
单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米）和时间t（秒)的函数关系为s ＝3sin错误!，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为________秒.
【解析】因为s＝3sin错误!,
所以振幅为A＝3(厘米），周期T＝错误!＝4(秒).
【答案】 3 4
［小组合作型］
三角函数模型简单的实际应用
如图1­6­1,某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
图1.6。

1
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）;
(2)估计当年3月1日动物种群数量。

【导学号：00680027】
【精彩点拨】可设y＝A sin(ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）来求解.
【自主解答】(1）设动物种群数量y关于t的解析式为y＝A sin（ωt＋φ)＋b(A〉0，ω〉0)，
则错误!
解得A＝100，b＝800。

又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝错误!＝错误!，
∴y＝100sin错误!＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin错误!＋800，
∴sin(π＋φ）＝1，
∴sin φ＝－1，
∴取φ＝－错误!,
∴y＝100sin错误!＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin错误!＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750只。

解三角函数应用问题的基本步骤
［再练一题］
1。

已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin错误!＋20,x∈[4,16］.
(1）求该地这一段时间内温度的最大温差；
（2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间?
【解】（1)当x＝14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
（2)令10sin错误!＋20＝15,
得sin错误!＝－错误!，
而x∈［4,16],所以x＝错误!。

令10sin错误!＋20＝25,
得sin错误!＝错误!,
而x∈［4,16]，所以x＝错误!。

故该细菌能存活的最长时间为错误!－错误!＝错误!小时。

三角函数模型在物理学中的应用
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm）随时间t(s)的变化规律为s＝4sin错误!,t∈［0，＋∞)。

用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.
(1）小球在开始振动（t＝0)时的位移是多少？
（2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
（3）经过多长时间小球往复振动一次?
【精彩点拨】确定函数y＝A sin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键。

【自主解答】列表如下:
t
－
错误!
错误!错误!错误!错误!
2t＋错误!0错误!π错误!2π
sin错误!010－10
s040－40
描点、连线，图象如图所示。

（1）将t＝0代入s＝4sin错误!,得s＝4sin 错误!＝2错误!，所以小球开始振动时的位移是2错误! cm。

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm。

(3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sinωx＋φ表示物体振动的位移
y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离,T＝2π
ω
为周期，表示物
体往复振动一次所需的时间，f＝错误!为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数。

[再练一题］
2.弹簧挂着的小球做上下振动,它在t s时相对于平衡位置（就是静止时的位置)的高度h cm由函数关系式h＝3sin错误!确定。

（1）以t为横坐标，h为纵坐标,作出函数的图象(0≤t≤π)；
(2）求小球开始振动(即t＝0）时的位移;
（3）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移；
（4)经过多少时间小球往复振动一次？
（5)每秒钟小球能往复振动多少次？
【解】（1）函数h＝3sin错误!，0≤t≤π的图象如图所示.
（2）令t＝0，得h＝错误!，所以小球开始振动时的位移为错误! cm。

(3)结合图象可知,最高点和最低点的坐标分别是错误!，错误!，所以小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是3 cm和－3 cm。

(4）由图可知周期T＝π，即经过π s小球往复振动一次。

（5）f＝错误!＝错误!,即每秒钟小球能往复振动错误!次.
［探究共研型]
数据拟合问题
探究在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤?
【提示】(1)根据原始数据给出散点图.
（2）通过考察散点图，画出与其“最贴近"的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线。

(3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24,单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：
t（h)03691215182124
y（m）10.013.09。

97.010。

013.010.17.010。

0
y ＝A sin ωt＋b的图象.
(1)试根据以上数据,求出y＝A sin ωt＋b的表达式;
(2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4。

5 m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间)？
图1­6­2
【精彩点拨】(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sin ωt＋b的周期；由t＝0时的函数值,t ＝3时取得的最大值，进而可求得ω，A，b的值.
（2）根据（1）中求得的函数表达式,求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m)的时段。

【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h），此为半个周期,∴函数的最小正周期为12 h，因此错误!＝12，ω＝错误!.
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时,y max＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的表达式为y＝3sin 错误!t＋10（0≤t≤24).
(2）由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4。

5 m，故在船舶航行时,水深y 应大于或等于7＋4。

5＝11。

5（m）.令y＝3sin 错误!t＋10≥11。

5，
可得sin 错误!t≥错误!，
∴2kπ＋π
6
≤错误!t≤2kπ＋错误!（k∈Z），
∴12k＋1≤t≤12k＋5（k∈Z)。

取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1,则13≤t≤17;
而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意,舍）.
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时（即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.
1。

本题中没有明确函数的类型,则可通过画散点图来拟合曲线.
2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断。

由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系.
［再练一题]
3。

已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据。

t(时
）
03691215182124
y(米
）
1。

51。

00.5 1.0 1.51。

00.50。

991。

5（1)
(2）依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1）的结论，判断一天内上午8：00至晚上20:00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 【导学号：70512018】【解】(1）由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图),
由图知，可设f（t）＝A cos ωt＋b,并且周期T＝12，
∴ω＝错误!＝错误!＝错误!。

由t＝0,y＝1。

5，得A＋b＝1。

5；
由t＝3，y＝1。

0，得b＝1.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝1
2
cos 错误!t＋1。

（2)由题知，当y〉1时才可对冲浪爱好者开放，
∴错误!cos 错误!t＋1>1，
∴cos 错误!t〉0,
∴2kπ－错误!〈错误!t<2kπ＋错误!（k∈Z),
即12k－3〈t<12k＋3（k∈Z)。

①
∵0≤t≤24,故可令①中k分别取0,1,2，
得0≤t<3或9<t〈15或21<t≤24。

∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，
有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.
1.如图1.6。

3所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是( ）
图1。

6.3
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C。

该质点在0。

1 s和0。

5 s时运动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
【解析】由题图可知,该质点的振幅为5 cm.
【答案】B
2。

与图1。

6­4中曲线对应的函数解析式是（)
图1­6。

4
A.y＝｜sin x| B。

y＝sin ｜x|
C.y＝－sin |x| D。

y＝－｜sin x｜
【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A,D。

当x∈(0,π）时,sin ｜x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.
【答案】C
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin错误!（0≤t≤20）给出，F(t）的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的（）【导学号：00680028】
A.［0,5］
B.［5，10]
C。

[10,15］ D.[15,20]
【解析】当10≤t≤15时，有错误!π〈5≤错误!≤错误!〈错误!π，此时F(t)＝50＋4sin 错误!是增函数，即车流量在增加.故应选C.
【答案】C
4。

在电流强度I与时间t的关系I＝A sin（ωx＋φ)(A〉0，ω〉0）中,要使t在任意错误!秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值。

【解】由题意得：
T≤错误!，即错误!≤错误!,
∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629。