上海初三上数学专题训练之锐角三角比章节复习

学科教师辅导讲义
讲义编号：
学员编号：年级：初三课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题锐角三角比章节复习
授课时间
教学目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；
2、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形．
重点、难点重点：熟记30°、45°、60°角的三角比值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式，直角三角形的解法；
难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．
考点及考试
要求
特殊角的三角比，解三角形。

教学内容
锐角的三角比章节测试卷
一、填空题
1、计算：cot440·cot450·cot460＝；
2、△ABC中，∠C = 90°，BC
AB
是∠B的，又是∠A的。

3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，AB = 5，则cotA = 。

4、在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = a，∠B = α，则AB = 。

5、在Rt△ABC中，∠B = 90°，cosA = 2
3
，则tanC = 。

6、在Rt△ABC中，∠C = 90°，CD⊥AB于D，则图中可以表示sinA的线段比是。

7、△ABC中，锐角∠A = α，AB = m，AC = n，则S△ABC = 。

8、计算：4sin60°－ 2 cos45° + cot30° = 。

9、若3tan(α－10°) = 3 ，则锐角α = 度。

10、在△ABC中，∠C = 90°，a = 4 6 ，b = 12 2 ，则∠A = 度。

11、比较大小：sin520_________cos460
12、等腰△ABC中，AB = AC = 25，BC = 14，则底角的余切值为。

13、等腰梯形ABCD中，AD//BC，（AD<BC），sinB = 15
17
，BC = 26，则S
梯形ABCD
= 。

14、飞机的飞行高度为1000米，从飞机上测得机场指挥塔的俯角为60°，则此时飞机离机场的距离大约
是米。

15、一段斜坡的垂直高度为8米，水平宽度为10米，则这段斜坡的坡比 i = 。

16、一物体沿着坡角为45°的斜坡向上推了10米，则该物体升高了米。

17、如图1，一段高速公路的路基横段面ABCD是等腰梯形，路宽AD = 24米，路基高6米，斜坡AB的坡度
i = 1:1.5，则路基底部BC的宽度是米。

18、如图2，把矩形ABCD翻折，使C点落在AB边上的C’处，折痕为DE，若AD = 12，∠CDE = α，则
S
矩形ABCD
= 。

19、平行四边形一内角的正切值为 3 ，两邻边分别为4、5，则两条对角线长分别是。

20、△ABC中，AB = AC = 6，△ABC的面积为9，则tanC = 。

二、选择题
1、把Rt△ABC的三边长度都扩大3倍，则锐角A的四个三角比的值………………（）
（A）都扩大3倍（B）都缩小到原来的1
3
（C）没有变化（D）不能确定
2、下列式子中正确的是……………………………………………………………………（）
（A）sin75° = sin30° + sin 45°（B）tan60°= 2tan30°
（C）cot30°＞cot20°（D）cos15° = sin 75°
3、已知点P（tan45°，－cos30°），则P点关于原点对称点P’的坐标是…………………（）
（A）（－1，－1
2
）（B）（1，－
1
2
）（C）（－1，－
3
2
）（D）（－1，
3
2
）图1
D
C
B A
图2
C’
E
D C
B
A
4、△ABC 中，∠A = 12 ∠B = 1
3 ∠C ，CD ⊥AB 于D ，AD = 6，则AB 等于 ………（ ）
（A ）2 （B ）6 + 3 （C ）8 （D ）24 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，cosA ＝
2
3
，b ＝3，则a 等于（ ） A 、3 B 、1 C 、2 D 、3 6、已知tan600－cotA ＝0，A 是锐角，则sinA 的值是（ ） A 、
23 B 、21 C 、33 D 、2
2
7、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列关系式一定不成立的是（ ）
A 、A c a sin ⋅=
B 、B c a cos ⋅=
C 、A b a tan ⋅=
D 、A b a cot ⋅=
8、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a 、b 分别为∠A 、∠B 的对边，且满足06522=+-b ab a 则tanA 的值为（ ）
A 、5或6
B 、2
C 、3
D 、2或3 9、在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则A B tan cot ⋅＝ ( )
A 、
3
3
B 、 1
C 、 31
D 、 3
10、已知A 、B 两点，若由A 看B 的仰角为α，则由B 看A 的俯角为 ( )
A 、α+090
B 、α-090
C 、α
D 、 α-0180 三、简答题
1、一架飞机以每小时600千米的速度沿着水平方向做匀速直线飞行，在A 处测得地面目标C 的俯角α = 30°，飞行了一分钟后，在B 处测得C 的俯角β= 45°，求这架飞机的飞行高度。

2、下图为住宅区内的两幢楼，它们的高m CD AB 30==，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。

当太阳光与水平线的夹角为30°时。

试求：
1）若两楼间的距离m AC 24=时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？
2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？
300
B
D
北
东
M
B
A
N
3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,据气象观察,距沿海某城市A 正南220千米的B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东300方向向C 移动,且台风中心风力不变,若城市受到的风力达到或超过四级,则称受台风影响. (1) 该城市是否会受到这次台风的影响?为什么?(提示:过A 作AD ⊥BC 于
D).
(2) 若受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3) 该城市受到台风影响的最大风力为几级？,
4、金阳新开发区供水工程设计从M 到N 的一段的路线图如图所示，测得N 点位于M 点南偏
东30º，A 点位于M 点南偏东60º，以A 点为
中心，半径为500m 的圆形区域为
文物保护区，又在B 点测得BA 的方向为南偏东75º，量得MB ＝400m ，请计算
后回答：输水路线是否会穿过文物保护区
C A
D
B
初三第一学期数学期终测试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．已知3
sin 2
α=
，且α是锐角，则α的度数是（ ） A ．30︒ ； B ．45︒ ； C ．60︒ ； D ．不确定．
2．如果a c
b d
=（其中0,0b d >>），那么下列式子中不正确．．．的是（ ） A ．
a b c d b d ++= ； B ．a b c d b d --= ； C ．
a c c
b d d
+=+ ； D ．a d
b c = ． 3．下列式子中，正确的是（ ）
A ．00a += ；
B ．()a b a b --=-- ；
C ．3(2)36a b a b +=+ ；
D ．00a =． 4．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A ．21y x =+ ；
B ．22(2)y x x =--；
C ．2
2
y x = ； D ．2(1)y x x =+ ．
5．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）
A ．抛物线的开口向下 ；
B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；
C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；
D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．
6． 如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 边的中点，P 是BC 边上的一动点，下列条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ）
A ．BP PC =；
B ．AB P
C EC BP ⋅=⋅； C ．APB EPC ∠=∠；
D ．2BP PC =． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知e 是单位向量，a 与e 的方向相反，且长度为5，则a 用e 表示是___________． 8．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，4AB =厘米,则较长线段AC 的长是_________厘米．（结果保留根号）
9．将抛物线22(1)3y x =-+向左平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________．
A
B
D
C
E
P 图1
E C D
A
F B
图3
10．已知二次函数的图像开口向上，且与y 轴的负半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是_____________________．
11．如果两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应的面积比是_________．
12．已知ABC ∆的重心G 到BC 边上中点D 的距离为2，那么中线AD 长为__________． 13.如图2，在ABC ∆中，//DE BC ，2,6AD AB ==,3AE =,则AC =_______． 14．如图3，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果
2
3
BF FD =，那么BE
BC = ．
15．在ABC ∆中，已知4,10,30AB BC B ==∠=︒,那么ABC S ∆=________.
16．某涵洞是抛物线形，它的截面如图4所示．现测得水面宽AB ＝8米，涵洞顶点O 到水面的距离为12米．在图4中的平面直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数解析式是 _________________．（不需要写出定义域）
17．如图5，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．（结果保留根号）
18．在ABC ∆中，40B ∠=︒,点D 为BC 边上一点,且90BDA ∠=︒,若ACD ∆与ABD ∆相似，则BAC ∠的度数是________________．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）求值：
222cos 30sin 304cot 45cos 45tan 604sin 45︒-︒
-︒⋅︒︒-︒
20．（本题满分10分）
在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒,2,23a b ==，解这个直角三角形．
x y
O
A B
图4
图5 B C
D
E
A 图2
21．（本题满分10分）
如图6，ABC ∆中，点D 、F 在边AB 上，点E 在边AC 上，且//EF CD ，线段AD 是线段AF 与AB 的比例中项． 求证：//DE BC .
22．（本题满分10分）
如图7，某直升飞机于空中A 处观测到其正前方地面控制点C 的俯角为30︒；若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B 处时，观测到其正前方地面控制点C 的俯角为45︒，问飞机再向前飞行多少米与地面控制点C 的距离最近？（结果保留根号）
23．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）
已知二次函数245y x x =---．
（1）指出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）把这个二次函数的图像上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y x =-的图像上，求此时二次函数的解析式． 24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
A 30° 45° B
C 图7 C
B
D E F 图6 A
如图8，矩形EFGD 的边EF 在ABC ∆的BC 边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知5AB AC ==，6BC =，设BE x =，EFGD S y =矩形．
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）联结EG ，当GEC ∆为等腰三角形时，求y 的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．
A
D G B
E
F C
图8
一、选择题：（本大题共6题，每6题，满分24分） 1．C ； 2． D ； 3．C ； 4． D ；5． B ；6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．5e - ； 8．252- ； 9．223y x =+ ； 10．答案不惟一，如21y x =-；11．14
；
12． 6 ； 13．9 ； 14．2
3
；
15．10 ； 16．23
4
y x =- ； 17．210 ； 18．100°或90°
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式＝
22
31
2(
)2224122(3)42
⨯--⨯⨯-⨯
……………………………………………（6分） ＝
312222322
---…………………………………………………………（1分） ＝
1
22322
--…………………………………………………………（1分）
＝32222+-…………………………………………………………（1分） ＝3……………………………………………………………………………（1分）
20．解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒ ∴222a b c +=
∴222(23)4c =+=…………………………………………………………（3分）
∵23
tan 3
23a A b =
==
………………………………………………………（2分） ∴30A ∠=︒………………………………………………………………………（2分）
∴9060B A ∠=︒-∠=︒…………………………………………………………（3分） 21．证明：∵//EF DC
∴AF AE
AD AC
=…………………………………………………………………（3分） 又线段AD 是AF 与AB 的比例中项 ∴2AD AF AB =⋅
∴
AF AD
AD AB =…………………………………………………………………（3分） ∴AE AD
AC AB
=…………………………………………………………………（2分） ∴//DE BC ……………………………………………………………………（2分）
22．解：过点C 作CD AB ⊥于D ，所求的飞行路程就是BD 的长．…………………（1分） 由题意，可知：
100,30,45AB A DBC =∠=︒∠=︒
设BD x =…………………………………………………………………………（1分）
在Rt BCD ∆中，∵tan DC
DBC BD
∠=
∴tan tan 45DC BD DBC x x =⋅∠=⋅︒=……………………………………（1分）
在Rt ACD ∆中，∵cot AD
A DC
=
∴cot AD DC A =⋅
∴1000cot 30x x +=⋅︒…………………………………………………………（3分）
∴1000
cot 301x =︒-
∴5003500(x =+米）…………………………………………………………（3分）
答：飞机再向前飞行5003500+（）米与地面控制点C 的距离最近．……………（1分）
23．解：（1）2245(2)1y x x x =---=-+-…………………………………………（4分） 其中10,2,1a m k =-<==-
所以，二次函数245y x x =---图像的开口向下，对称轴是直线2x =-，顶点坐标是
(2,1)--．……………………………………………………………………………（4分）
（2）设顶点落在正比例函数y x =-的图像上时，所求二次函数的解析式为
245y x x m =---+………………………………………………………………………（1分）
此时，顶点坐标为(2,1)m --．……………………………………………………（1分）
由题意得：1(2)m -=--
解得：3m =…………………………………………………………………………（1分）
因此，所求二次函数解析式是242y x x =---．………………………………（1分）
24．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ．
∵AB AC =，∴3BH HC ==.
∴在Rt ABH ∆中，224AH AB AH =-=.
∵四边形EFGD 是矩形，EF 在BC 上，∴DE BC ⊥
∵tan DE AH B BE BH
== ∴43DE x =，∴43
DE x =…………………………………………………………（1分） ∵AB AC =，∴B C ∠=∠,
又90DEB GFC ∠=∠=︒，DE GF =
∴DBE ∆≌GFC ∆，∴FC BE x ==,…………………………………………（1分）
∴62EF x =-………………………………………………………………………（1分）
∴248(62)833
y x x x x =-=-+（03)x <<……………………………（2分，1分） （2）当GE GC =时，可证BE DG EF ==,得：62x x =-，解得2x =，
此时，163
y =…………………………………………………………………………………（2分） 当CG CE =时，可求：53GC x =，得：563
x x =-，解得：94x =， 此时，92
y =…………………………………………………………………………………（2分） 当EG EC =时，过E 作EF AC ⊥于F ，则1526CF CG x ==，可证3cos 5
CF C CE ==,即：35CF CE =，得：53(6)65x x =-，解得:10843
x =, 此时，60481849
y =……………………………………………………………………………（2分） 综上述，y 的值是163或92或60481849
． 25．解：（1）设所求二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠
由题意，得：29321a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩
…………………………………………………（3分）
解得：
1
4
1 a
b
c
=
⎧
⎪
=-⎨
⎪=
⎩
因此，所求二次函数的解析式为241
y x x
=-+，顶点P坐标为(2,3)
-．……………………………………………………………………………………（1分，1分）（2）联结BP．
∵(0,1),(3,2),(2,3)
C B P
--
∴32,2,25
BC BP PC
===
∴222
BC BP PC
+= (1)
∴90
CBP
∠=︒………………………………………………………………………（1分）
∴
21
tan
3
32
BP
BCP
BC
∠===……………………………………………………（2分）
（3)能，条件的Q点符合共有4个，…………………………………………………（1分）
它们分别是
4
(1,)(9,4)(1,1)(10,1)
3
或或或．………………………（1分，1分，1分，1分）。