2020高考文科数学总复习课件：高考大题专项1

高考大题专项一
函数与导数的综合压轴大题
第一页，编辑于星期日：一点 三十九分。
高考大题专项
一
考情分析
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破2
知识梳理
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以二次或三次函数、对数函数、指数
函数及分式函数为命题载体,以切线问题、单调性问题、极值最值问题、
把不等式两边变成具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函
数;
(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构
造函数f(x,x2)(或f(x1,x));
(4)放缩法:若所构造函数的最值不易求解,可将所证明的不等式进
行放缩,再重新构造函数.
第三页，编辑于星期日：一点 三十九分。
突破1
题型四
-16-
突破2
题型五
1
跟踪训练2已知函数f(x)=ln x- ax2+x,a∈R.
2
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)令g(x1)当 a=0 时,f(x)=ln x+x,则 f(1)=1,所以切点为(1,1),
突破1
突破1
题型四
-15-
突破2
题型五
③当2≤a2,即 2 ≤a<1 时,f(x)在[a2,a]上单调递减,
所以 f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2.
综上所述,当
1
0<a≤2时,
函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 ln a-a3+a2-2a;
1
2

当2<a< 2 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是4-1-ln 2;
①当 Δ≤0,即 0<a≤2 2时,g(x)≥0 恒成立,f(x)在(0,1)是增函数,无
极值点.
②当 Δ>0,即 a>2 2时,g(x)=2x2-ax+1=0 的两个根
- 2 -8
x1=
4
+ 2 -8
,x2=
.易知 0<x1<x2,
4
+ 2 -8
(ⅰ)当 x2=
4
<1,得 a<3,即 2 2<a<3,x1,x2∈(0,1),故 f(x)在
恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件,与参数的范围、
不等式的证明,方程根的分布综合成题,重点考查应用分类讨论思想、函
数与方程思想、数形结合思想及化归与转换思想来分析问题、解决问题的
能力.
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高考大题专项
一
考情分析
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破2
知识梳理
2 2<a<3 时,f(x)在(0,1)上有 2 个极值点;当 a≥3 时,f(x)在(0,1)上有 1
个极值点.
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高考大题专项
一
题型一
题型二
题型三
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破1
题型四
-13-
突破2
题型五
题型二 求函数的极值、最值
例2(2018宁夏银川一中一模,21)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x.
上的值域.
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一
题型一
题型二
题型三
突破1
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破1
题型四
-7-
突破2
题型五
利用导数求极值、最值、参数范围
题型一 讨论函数极值点的个数
例1设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并
2
1
2
1
2
②当
即 <a< 时,f(x)在(a , )上单调递增,
1
2
2
2 < , 2
2
1
1

-2

在(2,a)上单调递减,所以 f(x)max=f(2)=-ln 2-4 + 2 = 4-1-ln
2;
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高考大题专项
一
题型一
题型二
题型三
1
2
函数与导数的综合压轴大题
1
∵f'(x)=+1,∴切线斜率 f'(1)=2,故切线方程为 y-1=2(x-1),
即 2x-y-1=0.
1 2
(2)∵g(x)=f(x)-ax+1=ln x-2ax +(1-a)x+1,
1
-2 +(1-)+1
则 g'(x)=-ax+(1-a)=
,

当 a≤0 时,∵x>0,∴g'(x)>0.
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考情分析
函数与导数的综合压轴大题
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突破2
知识梳理
3.函数不等式的类型与解法
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;
(2)∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(3)∀x∈D,f(x)≤g(x)⇔f(x)max≤g(x)min;
(4)∃x∈D,f(x)≤g(x)⇔f(x)min≤g(x)max.
上的最小值;
(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在
[c,d]上的最小值;
(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]
上的最大值;
(5)∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与g(x)在
突破2
题型五
跟踪训练1(2018湖南衡阳一模,21改编)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a>0).
讨论f(x)在(0,1)上的极值点的个数.
解
1
22 -+1
f'(x)= +2x-a=
,令


g(x)=2x2-ax+1,由 g(x)=2x2-ax+1=0

得 Δ=a2-8,函数 g(x)的图象是抛物线,对称轴为 x=4,
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函数与导数的综合压轴大题
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题型四
-17-
突破2
题型五
∴g(x)在(0,+∞)内是增函数,函数 g(x)无极值点;
1
-2 +(1-)+1 - (+1)
1
当 a>0 时,g'(x)=
=,令 g'(x)=0,得 x= ,
2
当 2 ≤a<1 时,函数 y=f(x)在[a2,a]上的最大值是 2ln a-a5+a3-2a2.
解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,
比较极值与定义域的端点值确定最值.
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一
题型一
题型二
题型三
函数与导数的综合压轴大题
突破1
[c,d]上的值域的交集非空;
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高考大题专项
一
考情分析
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破2
知识梳理
(6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在[c,d]
上的值域;
(7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在[c,d]
说明理由.
1
1
1
解 定义域为(-1,+∞),f'(x)=+1+a(2x-1)=+1(2ax2+ax+1-a),由+1>0,令
g(x)=2ax2+ax+1-a(x>-1),
当 a=0 时,g(x)=1,则 f'(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立,
则 f(x)在(-1,+∞)上单调递增,即当 a=0 时,函数无极值点;
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
解 (1)因为 f(x)=ln x-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞).
所以
1
1-22 +(-2)
f'(x)=-2ax+(a-2)=

=
-(2-1)(+1)
.

因为 f(x)在 x=1 处取得极值,即 f'(1)=-(2-1)(a+1)=0,解得 a=-1.
9
8
值点;当 Δ>0 时,得
a<0 两个不同的范围,当 a> 时,设方程
9
1
2
2ax +ax+1-a=0 的两根分别为 x1,x2(x1<x2),∵x1+x2=-2,函数 g(x)的图
1
象如下:x1,x2 的中点为-4,
1
1
∴x1<-4,x2>-4,由
1
g(-1)=1>0,可得-1<x1<-4,
则当 x∈(-1,x1)时,g(x)>0,则 f'(x)>0,f(x)单调递增,
1
当 a=-1 时,在(2,1)上 f'(x)<0,在(1,+∞)上 f'(x)>0,
此时 x=1 是函数 f(x)的极小值点,所以 a=-1.
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一
题型一
题型二
题型三
函数与导数的综合压轴大题
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题型四
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突破2
题型五
(2-1)(+1)
题型二
题型三
函数与导数的综合压轴大题
突破1
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题型四
突破2
-9-
题型五
由 g(-1)=1>0,可得 x1<-1,则当 x∈(-1,x2)时,g(x)>0,则 f'(x)>0,f(x)
单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则 f'(x)<0,f(x)单调递减,因此,当 a<0
时,函数有一个极值点.综上所述,当 a<0 时,函数有一个极值点;当



1
1
∴当 x∈ 0, 时,g'(x)>0;当 x∈ , + ∞ 时,g'(x)<0.
1
1
因此 g(x)在 0, 内是增函数,在 , + ∞ 内是减函数.
1
1
1

1
1
1
∴当 x=时,g(x)有极大值,g =ln − 2 × 2 +(1-a)×+1=2-ln
当 x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则 f'(x)<0,f(x)单调递减,
当 x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则 f'(x)>0,f(x)单调递增,
因此,当
下:
8
a>9时,函数有两个极值点;当
a<0 时,Δ>0,函数 g(x)的图象如
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一
题型一
8
8
0<a≤9,函数无极值点;当 a>9,函数有两个极值点.
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题型一
题型二
题型三
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破1
题型四
-10-
突破2
题型五
解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间→极值→最值→
恒成立问题的步骤:
1.求函数定义域;
2.求导→通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”);
1.常见恒成立不等式
(1)ln x<x-1;(2)ex>x+1.
2.构造辅助函数的四种方法
(1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-
g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数等,
第四页，编辑于星期日：一点 三十九分。
高考大题专项
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考情分析
函数与导数的综合压轴大题
突破1
突破2
知识梳理
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在
[c,d]上的最大值;
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]
当 a>0 时,由 Δ=a(9a-8)≤0,得
8
0<a≤9,
第七页，编辑于星期日：一点 三十九分。
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题型一
题型二
函数与导数的综合压轴大题
题型三
突破1
突破1
题型四
-8-
突破2
题型五
8
9
此时 g(x)≥0,则 f'(x)≥0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增,即 0<a≤ ,函数无极
8
a> 或
(0,1)上有 2 个极值点.
第十一页，编辑于星期日：一点 三十九分。
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题型二
题型三
函数与导数的综合压轴大题
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突破1
题型四
-12-
题型五
- 2 -8
(ⅱ)当 a≥3 时,x2≥1,x1=
突破2
4
=
2
+ 2 -8
≤
2
3+1
=
1
<1,f(x)在(0,1)
2
上有 1 个极值点.综上可知,当 0<a≤2 2时,f(x)在(0,1)无极值点;当
.

(2)因为 a2<a,所以 0<a<1,f'(x)=-
1
因为 x∈(0,+∞),所以 ax+1>0,所以 f(x)在(0, )上单调递增,
2
1
在( ,+∞)上单调递减.
2
1
①当 0<a≤2时,f(x)在[a2,a]上单调递增,