一题多解“论”变式,化归思想“谈”解法——以不等式恒成立问题为例
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1 巧设情境初探问题 在课堂教学中，开始阶段非常重要，能够影响 学生整节课学习状态，因此，数学教师必须重视上
课初始阶段．成功的开端教学能够引起学生的学习 兴趣，营造出民主、和谐的学习氛围，激发他们的 创新思维，提升自身的数学核心素养．在教学过程 中，教师要重视吸引学生的注意力，发散他们的数 学思维，使其快速进入学习状态．
新能力的核心，同时要教会学生从归纳概括得到猜 想和规律，并加以验证等创新的重要方法．因为数 学不仅是思维的科学，也是实验科学．数学推理不 仅包括演绎推理，还包括了合情的归纳推理．
教材是《课程标准》落实的具体平台，是课程 目标的具体化，是教与学的总指针．中考既是选拔 性考试，又兼顾学业评价考试的功能．所以，近年 来的中考试题编写常常取材于课本例题或课后的 习题，或是取问题情境，或是弱化条件强化问题的 结论．纵观各种情况，都不外乎教材的例题、习题 或探究活动都具有导向性、典型性，是《课程标准》 和课程总目标落实的具体化．在平日教学中，教师 不要盲目的抛开教材，一味追求试题的难点或广 度，而应高度重视开发教材、挖掘和利用好教材．具 体就是以典型例题、习题为范本，举一反三，做到 “一题多解、一题多变、一题多法”，把知识融会贯 通．这样，教师教得容易学生学得轻松，轻负优质 的教学也必然实现．
在本节课中，笔者首先引导学生回顾了以前学 过的二次函数求最值的方法，要求他们完成当 x ∈[2，4] 时，求函数 y = x2 − 2x +1 的最大值和最小
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福建中学数学
2019 年第 3 期
值，（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，
为下面引出二次函数求最值的方法做铺垫）．学生
画出函数图象，观察图象得到最高点和最低点，进
启示 数学基本思想是《课程标准》的“四基” 之一，而中考考纲应符合《课程标准》要求．近几 年全国各地中考数学试题把数学基本思想和方法 作为必考．因此试题中把数学思想方法、数感、运 算能力、推理能力、几何直观、模型思想等有机地 综合屡见不鲜．所以教学过程中要注意以下问题：
（1）关注数学的基本思想和方法的渗透 过去的“双基”本意是指：经过此阶段的学习， 学生为适应今后进一步学习或工作所必备的最基 础、最基本的知识或技能．但在“知识爆炸”的时代， 现代信息技术突飞猛进的时代，必须与时俱进．而 数学思想和方法是数学知识的精髓．在课堂教学 中，数学思想方法应渗透在教学的所有环节，学生 不仅要掌握理解好定理、概念、公式等，而且要领 悟其中的数学思想方法，并通过不断地积累，逐渐 内化，培养提出问题、解决问题的数学问题意识． （2）提升数学思维品质 中考试题要求学生独立思考、创新地应用数学 知识和思想方法、灵活多样地分析问题和解决问 题．这就要求我们平日教学里，把能力培养扎实落 实好．要重视培养学生的独立思考、学会思考等创
一题多解“论”变式，化归思想“谈”解法
——以不等式恒成立问题为例
李庆林 福建省宁德市霞浦第一中学（355100）
不等式恒成立问题贯穿于整个高中阶段，笔者 以高一初始阶段的不等式恒成立为例，与学生共同 复习总结判别式法、分离参数法等方法，通过一题 多解来展开教学，从中渗透化归思想，厘清解决不 等式恒成立问题的基本方法．
习过的知识，为本节课学习打下坚实的基础．
2 变式训练积淀经验
在日常数学教学中，无论是讲授新知识还是复
习课都要用到变式训练，因此，变式训练在数学教
学中起到了重要的作用．借助于变式训练，教师能
够将问题进行不断深化，学生也可以在熟悉的问题
情境中不断地训练，深入研究和探讨问题，这就大
大节约了读题所需要的时间．此外，变式训练还能
帮助学生深入理解问题，引导他们思考条件改变时
结论如何变化，从而积淀对本类型题目的解题经验，
提高解题效率．在实际教学中，笔者一直强调传授
学生解题方法，变式训练就是一种较好的授之以渔
的训练方法，这也是我们核心素养教学根本之所在．
在课堂探究阶段，笔者先给出引例：若关于 x 的 不等式 2x2 − 8x + 4 − a > 0 在 x ∈ R 上恒成立，求实数
a 的取值范围．
学生很快得到以解法：
2 > 0， 根据题意可知 ∆ = (−8)2 − 8(4 − a) < 0，
即
2 > 0， 32 + 8a
<
解得 0，
2 a
> <
0， −4，
因此 a 的取值范围为 (−∞，− 4) ．
在教师进一步地引导下，学生想到了参数分离
法，从而化归到求函数的最值问题．解法如下： 依题意得 a < 2x2 − 8x + 4 在 x ∈ R 上恒成立， 设函数 g(x) = 2x2 − 8x + 4 ，
参考文献 [1]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011 年版） [M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [2]教育部基础课程教材专家工作委员会组织编写．义务教育数学课程 标准（2011 年版）解读[M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [3]范良火、金才华等．义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书 八年级下册（2006 年版）[M]．杭州：浙江教育出版社，2009 [4]范良火、金才华等．义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书 八年级上册（2005 年版）[M]．杭州：浙江教育出版社，2007 [5]范良火、金才华等．义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书 九年级下册（2006 年版）[M]．杭州：浙江教育出版社，2009
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题，第（2）问源自课本探究活动．本题综合了“方 程思想”、“数形结合”的思想、“函数思想”和“化归 思想”等．同时又考查了待定系数法的方法求函数 解析式，考查的知识点是三角函数，二次函数．本 题虽然是压轴题，但起点并不高，使试题既具有选 拔功能又兼具学业考试功能．
而得到函数的最值及取得最值时自变量 x 的值，让学
生复习巩固了当对称轴在区间 [2，4] 左侧时的二次函
数最值的求法．接着笔者再利用自制的抛物线教具
结合黑板上已画的直角坐标系，引导学生思考：“当
随着抛物线的对称轴落在给定区间 [2，4] 内或右侧
时，如何求二次函数的最大值和最小值？”随着问题
解决过程的逐步深入，充分调动学生回忆起已经学
课初始阶段．成功的开端教学能够引起学生的学习 兴趣，营造出民主、和谐的学习氛围，激发他们的 创新思维，提升自身的数学核心素养．在教学过程 中，教师要重视吸引学生的注意力，发散他们的数 学思维，使其快速进入学习状态．
新能力的核心，同时要教会学生从归纳概括得到猜 想和规律，并加以验证等创新的重要方法．因为数 学不仅是思维的科学，也是实验科学．数学推理不 仅包括演绎推理，还包括了合情的归纳推理．
教材是《课程标准》落实的具体平台，是课程 目标的具体化，是教与学的总指针．中考既是选拔 性考试，又兼顾学业评价考试的功能．所以，近年 来的中考试题编写常常取材于课本例题或课后的 习题，或是取问题情境，或是弱化条件强化问题的 结论．纵观各种情况，都不外乎教材的例题、习题 或探究活动都具有导向性、典型性，是《课程标准》 和课程总目标落实的具体化．在平日教学中，教师 不要盲目的抛开教材，一味追求试题的难点或广 度，而应高度重视开发教材、挖掘和利用好教材．具 体就是以典型例题、习题为范本，举一反三，做到 “一题多解、一题多变、一题多法”，把知识融会贯 通．这样，教师教得容易学生学得轻松，轻负优质 的教学也必然实现．
在本节课中，笔者首先引导学生回顾了以前学 过的二次函数求最值的方法，要求他们完成当 x ∈[2，4] 时，求函数 y = x2 − 2x +1 的最大值和最小
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福建中学数学
2019 年第 3 期
值，（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，
为下面引出二次函数求最值的方法做铺垫）．学生
画出函数图象，观察图象得到最高点和最低点，进
启示 数学基本思想是《课程标准》的“四基” 之一，而中考考纲应符合《课程标准》要求．近几 年全国各地中考数学试题把数学基本思想和方法 作为必考．因此试题中把数学思想方法、数感、运 算能力、推理能力、几何直观、模型思想等有机地 综合屡见不鲜．所以教学过程中要注意以下问题：
（1）关注数学的基本思想和方法的渗透 过去的“双基”本意是指：经过此阶段的学习， 学生为适应今后进一步学习或工作所必备的最基 础、最基本的知识或技能．但在“知识爆炸”的时代， 现代信息技术突飞猛进的时代，必须与时俱进．而 数学思想和方法是数学知识的精髓．在课堂教学 中，数学思想方法应渗透在教学的所有环节，学生 不仅要掌握理解好定理、概念、公式等，而且要领 悟其中的数学思想方法，并通过不断地积累，逐渐 内化，培养提出问题、解决问题的数学问题意识． （2）提升数学思维品质 中考试题要求学生独立思考、创新地应用数学 知识和思想方法、灵活多样地分析问题和解决问 题．这就要求我们平日教学里，把能力培养扎实落 实好．要重视培养学生的独立思考、学会思考等创
一题多解“论”变式，化归思想“谈”解法
——以不等式恒成立问题为例
李庆林 福建省宁德市霞浦第一中学（355100）
不等式恒成立问题贯穿于整个高中阶段，笔者 以高一初始阶段的不等式恒成立为例，与学生共同 复习总结判别式法、分离参数法等方法，通过一题 多解来展开教学，从中渗透化归思想，厘清解决不 等式恒成立问题的基本方法．
习过的知识，为本节课学习打下坚实的基础．
2 变式训练积淀经验
在日常数学教学中，无论是讲授新知识还是复
习课都要用到变式训练，因此，变式训练在数学教
学中起到了重要的作用．借助于变式训练，教师能
够将问题进行不断深化，学生也可以在熟悉的问题
情境中不断地训练，深入研究和探讨问题，这就大
大节约了读题所需要的时间．此外，变式训练还能
帮助学生深入理解问题，引导他们思考条件改变时
结论如何变化，从而积淀对本类型题目的解题经验，
提高解题效率．在实际教学中，笔者一直强调传授
学生解题方法，变式训练就是一种较好的授之以渔
的训练方法，这也是我们核心素养教学根本之所在．
在课堂探究阶段，笔者先给出引例：若关于 x 的 不等式 2x2 − 8x + 4 − a > 0 在 x ∈ R 上恒成立，求实数
a 的取值范围．
学生很快得到以解法：
2 > 0， 根据题意可知 ∆ = (−8)2 − 8(4 − a) < 0，
即
2 > 0， 32 + 8a
<
解得 0，
2 a
> <
0， −4，
因此 a 的取值范围为 (−∞，− 4) ．
在教师进一步地引导下，学生想到了参数分离
法，从而化归到求函数的最值问题．解法如下： 依题意得 a < 2x2 − 8x + 4 在 x ∈ R 上恒成立， 设函数 g(x) = 2x2 − 8x + 4 ，
参考文献 [1]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011 年版） [M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [2]教育部基础课程教材专家工作委员会组织编写．义务教育数学课程 标准（2011 年版）解读[M]．北京：北京师范大学出版社，2012 [3]范良火、金才华等．义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书 八年级下册（2006 年版）[M]．杭州：浙江教育出版社，2009 [4]范良火、金才华等．义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书 八年级上册（2005 年版）[M]．杭州：浙江教育出版社，2007 [5]范良火、金才华等．义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书 九年级下册（2006 年版）[M]．杭州：浙江教育出版社，2009
2019 年第 3 期
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题，第（2）问源自课本探究活动．本题综合了“方 程思想”、“数形结合”的思想、“函数思想”和“化归 思想”等．同时又考查了待定系数法的方法求函数 解析式，考查的知识点是三角函数，二次函数．本 题虽然是压轴题，但起点并不高，使试题既具有选 拔功能又兼具学业考试功能．
而得到函数的最值及取得最值时自变量 x 的值，让学
生复习巩固了当对称轴在区间 [2，4] 左侧时的二次函
数最值的求法．接着笔者再利用自制的抛物线教具
结合黑板上已画的直角坐标系，引导学生思考：“当
随着抛物线的对称轴落在给定区间 [2，4] 内或右侧
时，如何求二次函数的最大值和最小值？”随着问题
解决过程的逐步深入，充分调动学生回忆起已经学