西昌市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

∵∠F1MF2= ，
∴由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos ，① 在椭圆中，①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2，
即
= ﹣1，②
在双曲线中，①化简为即 4c2=4a12+r1r2，
即
=1﹣ ，③
联立②③得， + =4，
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由柯西不等式得（1+ ）（ + ）≥（1× + × ）2，
（Ⅱ）若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为
，求二面角 A﹣PC﹣D 的平面角的余弦值．
22．已知 cos（ +θ）=﹣ ，
＜θ＜ ，求
的值．
23．已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为 F1，F2，该椭圆的离心率为 ，以原点为圆心 ，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 y=x+ 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）如图，若斜率为 k（k≠0）的直线 l 与 x 轴，椭圆 C 顺次交于 P，Q，R（P 点在椭圆左顶点的左侧）且 ∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线 l 过定点，并求出斜率 k 的取值范围．
2． 若椭圆
椭圆的离心率 e 的取值范围是（
A．
B．
和圆 ） C．
为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则 D．
3． 设函数 f（x）=
，f（﹣2）+f（log210）=（
）
A．11 B．8 C．5 D．2
4． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ）
∴圆的半径
，
和圆
为椭圆的半焦距）的中心都在原点
由
，得 2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴
；
由
，得 b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2， ∴3c2+4bc＜3a2， ∴4bc＜3b2， ∴4c＜3b， ∴16c2＜9b2，
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∴16c2＜9a2﹣9c2， ∴9a2＞25c2，
20．已知 m≥0，函数 f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为 3．
（Ⅰ）求实数 m 的值；
（Ⅱ）若实数 a，b，c 满足 a﹣2b+c=m，求 a2+b2+c2 的最小值．
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21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面 PAB⊥平面 ABCD ， （Ⅰ）求证：平面 PED⊥平面 PAC；
②当 a＜0 时，
+ =﹣（
）=﹣（ + ）=f（a），f′（a）= ﹣ Nhomakorabea=﹣
，
当
时，f′（a）＞0，此时函数 f（a）单调递增；当
递减．
∴当 a=﹣ 时，
+ 取得最小值．
时，f′（a）＜0，此时函数 f（a）单调
综上可得：当 a= 或 时，
+ 取得最小值．
故选：C． 【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难 题． 6． 【答案】 C 【解析】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，（a＞a1），半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2
即（ + ）2≤ ×4= ，
即+≤ ，
当且仅当 e1= ，e2= 时取等号．即取得最大值且为 ． 故选 C． 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大 ． 7． 【答案】D 【解析】
考点：球的表面积和体积． 8． 【答案】B
【解析】解：因为 y=f（x）为奇函数，所以当 x＞0 时，﹣x＜0， 根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即 f（x）=x﹣2， 当 x＜0 时，f（x）=x+2， 代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即 2x＜﹣3， 解得 x＜﹣ ，则原不等式的解集为 x＜﹣ ； 当 x≥0 时，f（x）=x﹣2， 代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即 2x＜5， 解得 x＜ ，则原不等式的解集为 0≤x＜ ， 综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣ 或 0≤x＜ }． 故选 B 9． 【答案】C 【解析】
B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得 x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有 x2+x+1＞0”
D．命题“在△ABC 中，若 A＞B，则 sinA＞sinB”的逆否命题为真命题 11．如图，设全集 U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（
∴∁M={x|x≤2}，
∴∁M∩N={0，1，2}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键． 12．【答案】B
【
解
析
再根据所得图象关于原点对称，可得 2a=kπ+ ，a= + ，k∈Z．
则实数 a 的最小值为 ． 故选：D 【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数 、余弦函数的奇偶性，属于基础题． 2． 【答案】 A
【解析】解：∵椭圆
， 且它们有四个交点，
三、解答题
19．（本小题满分 12 分） 中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的 40 名学生参加，各 大学邀请的学生如下表所示：
大学
甲
乙
丙
丁
人数
8
12
8
12
从这 40 名学生中按分层抽样的方式抽取 10 名学生在第一排发言席就座. （1）求各大学抽取的人数； （2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出 2 名学生发言，求这 2 名学生来自同一所大学的 概率.
2
e
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西昌市民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D 【解析】解：由函数 f（x）=sin2（ωx）﹣ =﹣ cos2ωx （ω＞0）的周期为 =π，可得 ω=1，
故 f（x）=﹣ cos2x．
若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a＞0），可得 y=﹣ cos2（x﹣a）=﹣ cos（2x﹣2a）的图象；
题．则命题的逆否命题也成立，故 D 正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命
题的否定，比较基础． 11．【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N，
∵全集 U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，
A．2 B． C． D．4
7． 直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ）
A．144 ,144
B．144 ,36
C． 36 ,144
D． 36 ,36
8． 己知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，f（x）=x+2，那么不等式 2f（x）﹣1＜0 的解集是
（）
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试题分析：由
a1Aa2 Aa3 an

n2 ， 则
a1Aa2 Aa3 an1

(n 1)2
，两式作商，可得
an

n2 (n 1)2
，所以
a3
a5

32 22

52 42
61 ，故选 16
C．
考点：数列的通项公式．
10．【答案】D
【解析】解：A．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2≠1，则 x≠1”，故 A 错误，
5． 【答案】C 【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且 a≠0．
①当 0＜a＜3 时，
+=
= + =f（a），
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f′（a）=
+
=
，
当
时，f′（a）＞0，此时函数 f（a）单调递增；当
减．
∴当 a= 时，
+ 取得最小值．
时，f′（a）＜0，此时函数 f（a）单调递
， f [g(x)] 的 值 域
为
．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
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18．已知
f (x) = ìïí
ex, x ³
0
，则不等式
f (2 -
x2) >
f (x) 的解集为________．
ïî 1, x < 0
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．
，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为
．
16．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（﹣2 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是
．
17 ． 已 知 函 数
f
(
x)


x2 1, x 1,
x0 x0
，
g(x) 2x 1， 则
f (g(2))
D． 31 15
）
A．{3} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
12．若
f
x

x f
2, x 10 f x 6 , x
10 ,则
f
5 的值为（
）
A． 10
B． 11
C. 12
D．13
二、填空题
x 2x , x 0,
考 点：空间直线与平面的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行 的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档 试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5． 设 a，b∈R 且 a+b=3，b＞0，则当 + 取得最小值时，实数 a 的值是（ ）
A． B． C． 或 D．3 6． 已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2=
，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
B．由 x2+5x﹣6=0 得 x=1 或 x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故 B 错误，
C．命题“∃x∈R，使得 x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有 x2+x+1≤0﹣5，故 C 错误，
D．若 A＞B，则 a＞b，由正弦定理得 sinA＞sinB，即命题“在△ABC 中，若 A＞B，则 sinA＞sinB”的为真命
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24．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 1 x2 (a 3)x ln x . 2
（1）若函数 f (x) 在定义域上是单调增函数，求的最小值；
（2）若方程 f (x) (1 a)x2 (a 4)x 0 在区间[1 , e] 上有两个不同的实根，求的取值范围.
西昌市民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1． 已知函数 f（x）=sin2（ωx）﹣ （ω＞0）的周期为 π，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a＞0），所 得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ） A．π B． C． D．
∴
，
∴
．
综上所述，
．
故选 A． 3． 【答案】B
【解析】解：∵f（x）=
，
∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，
=5，
∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8． 故选：B． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 4． 【答案】B 【解析】
A．
B．
或
C．
D．
或
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9． 数列{an} 中， a1 1，对所有的 n 2 ，都有 a1Aa2 Aa3 an n2 ，则 a3 a5 等于（
）
A． 25 9
B． 25 16
C． 61 16
10．下列命题中的说法正确的是（ ）
A．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2=1，则 x≠1”
13．【2017-2018
第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数
f
x

{x
lnx,
x

在其定义域上恰有两
0
a
个零点，则正实数 a 的值为______．
14．已知命题 p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是 ．（用区间表
示）
15．已知双曲线的标准方程为