(好题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>:相交于B 、D 两点，且
BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B C ．3 D 2．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴
分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=
B ．221k e +=
C ．
221
1e k
-= D ．
221
1e k
+= 3．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭
圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
1
3
B C ．
12
D ．
2
4．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，
M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
3
5．过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，
过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒
B ．30
C ．45︒
D ．60︒
6．如图，已知曲线2y
x 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，
M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）
A ．()3
10y x x a a
=
≤≤ B ．()31022a
y x x x a a =+≤≤ C ．()2
20y x ax x a =-≤≤
D ．()2022
a a
y x x x a =
+≤≤ 7．已知双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的
垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（ ）
A 3
B ．2
C 5
D 2
8．已知椭圆22
:11612
x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆
()2
2
:21T x y -+=上的动点，则
PF PQ
的最小值是（ ）
A ．
12
B ．27
C ．
23
D ．
34
9．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交
双曲线左支于P ，交渐近线b
y x a
=
于点Q ，点Q 在第一象限，且1
2FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A B C 1 D 1
10．设双曲线2
2
14
y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为
锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）
A ．
B ．(6,8)
C ．
D ．(6,10)
11．斜率为14的直线l 与椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>相交于A ，B 两点，且l 过C 的
左焦点，线段AB 的中点为()2,1M -，C 的右焦点为F ，则AFB △的周长为（ ）
A B C ．
7
D ．
7
12．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2
a
x c
=上一
点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）
A ．
1
2
B ．
2
C ．
34
D ．
45
二、填空题
13．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平
行于抛物线的轴.已知抛物线2
2y x =，平行于x 轴的光线在抛物线上点P 处反射后经过抛
物线的焦点F ，在抛物线上点Q 处再次反射，又沿平行于x 轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.
14．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为1
2
e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．
15．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-->>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线
有唯一交点P ，若124
sin 5
F PF ∠=
，则该双曲线的离心率为___________. 16．F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，且||6PQ =，则||MF =__________．
17．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______
18．设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆C 相交于A ，B
两点.当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为2b ，则椭圆C 的离心率e =________．
19．在双曲线22
221x y a b -=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，
121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.
20．抛物线24y x =的焦点为F ，点(2,1)A ，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则MAF ∆周长的最小值为____．
三、解答题
21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，则椭圆在其上一点
()'
'
,A x y 处的切线方程为''221x y x y
a b
+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
22．已知椭圆22
:143
x y E +=，其右焦点为F ，直线l 与圆22:3O x y +=相切于点Q ，设
直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A 、B .
（1）若M 点是椭圆E 上任意一点，求出MF 的最大值；
（2）已知过椭圆E 上的动点P 引圆О的两条切线PC 、PD （C 、D 为切点），探究在椭圆E 上是否存在点P ，使得由点P 向圆O 引的切线互相垂直； （3）当点Q 在y 轴右侧时，求证：AF AQ BF BQ +=+.
23．已知抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点为F ，点(4,)A m 在抛物线C 上，且
OAF △的面积为
2
12
p （O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；
（2）直线l ：1y kx =+与抛物线C 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方
程．
24．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点
31,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；
（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.
25．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个
端点，离心率为
1
2
，12MF F △的面积3S =. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求
POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的四个顶点围成的四
边形的面积为42，椭圆的左焦点1(2,0)F -
（1）求椭圆的方程；
（2）11,3A ⎛⎫
⎪⎝⎭，是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆相交于两点M ，N ，且AM AN =，
若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．
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一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】
设()()1122,,B x y D x y 、,则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：2222
121222
0x x y y a b
---=， 整理得：()()
()()
2121221212y y y y b a x x x x +-=+-
BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611
262b a =⨯=
即2221
2
c a a -=，解得62
c
e
a . 故选：D 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
2．B
解析：B 【分析】
首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则21
1222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，得
1112y k x =⋅，再利用点差法化简得22
12214y b x a
=，两式化简得到选项.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，
,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，
()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭ ，得21
1222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
1
1211211
31232
y y y y k x x x x -===⋅-，
利用点差法22
112222
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，
整理得到2212214y b x a =，即2222
222
44b a c k k a a
-=⇒=， 即221k e +=
故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到21
1222x x y y =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，再将斜率和离心率表示成坐标的
关系，联立判断选项.
3．B
解析：B 【分析】
由10MD NF ⋅=得1MD NF ⊥，结合D 是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F 是MN 中点，从而MN x ⊥轴，利用勾股定理可得,a c 的关系得离心率． 【详解】
因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =， 因为12//MF DF ，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴， 设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23
a
m =， 在12MF F △中，由勾股定理得22242()()(2)33m m c +=，变形可得3c e a ==． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,a b c 的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MF N 的性质（实质上它是等边三角形），特别是MN x ⊥轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．
4．B
解析：B 【分析】
先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出12120
2
y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计
算出0y ，求出斜率k . 【详解】
由抛物线2
:4C y x =知：焦点()1,0F
设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y
因为M 是线段AB 的中点，所以012
1222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩
将2
114y x =和2
224y x =两式相减可得：()22
12124y y x x -=-，
即12120
2
y y k x x y -=
=- ∵000k y >∴>
∴001
13,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163
k y ∴===.
故选：B 【点睛】
“中点弦”问题通常用“点差法”处理.
5．D
解析：D 【分析】
设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2
y k x π
=-
，1122(,),(,)A x y B x y ，
代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN
的方程，由MN =
MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．
【详解】
由题意(
,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2
y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，
由22()
2y px
p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++
=， 2122
(2)p k x x k
++=，2
124p x x =， 221222
(2)2(1)
++=++=+=p k p k AB x x p p k k
， 2122(2)22N x x p k x k ++==，2
2
()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N k
k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1
()N N y y x x k
-=-
-，
MN ==
=，
∵AB =，
∴222(1)p k k += 整理得23k =，∵0k >，
∴k =∴倾斜角为60︒．
故选：D ． 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．
6．A
解析：A 【分析】
设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】
设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点(
)2
,M x x
，
ME 与直线x a =垂直，则点
()2,E a x ，
因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，3
1y x a
∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()3
10y x x a a
=≤≤. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
7．A
解析：A 【分析】
由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =
，则1MF =，
1cos a
FOM c
∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】
由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，
则2||MF b =
=，
OM a =
=，
1MF =，
1
2cos cos a
FOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222
222111
||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c
+-+-==-⋅，
化为223c a =，
即有=
=c
e a
故选：A ． 【点睛】
方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
8．B
解析：B 【分析】
作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ
的最小值.
【详解】 如下图所示：
在椭圆22
:11612
x y C +=中，4a =，23b =222c a b -，
圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，
8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，
由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，
8992
111
1
1617
PF PF PT PQ
PT PT PT -≥
=
=
-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：
（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到
2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；
（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围；
（3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.
9．A
解析：A 【分析】
由1
2FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ． 【详解】
∵1
2FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =， 设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y b
x a x y c
⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，
12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得
23
3P P a c x b y -⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 又P 在双曲线上，∴2222
(2)199a c b a b --=
，解得12e =
（12
舍去）． 故选：A ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用
P 在双曲线上列式，由1
2FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．
10．D
解析：D 【分析】
由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值
范围． 【详解】
12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，
当P 在1P 处，11290F PF
∠=，又1,2,5a b c ===
由222111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PF
PF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；
当P 在2P 处，12290F F P ∠=，25P x = 易知24P y = 则224P F =
此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=
∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】
关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.
11．C
解析：C 【分析】
由已知得直线l 的方程可得c ，设()11,A x y ()22,B x y 代入椭圆的方程做差可得2
2b
a
18=，
然后利用222b c a =-可得2a ，再利用椭圆定义可得答案. 【详解】
易得直线l 的方程为113
(2)1442
y x x =
++=+， 当0y =时，6x =-，所以6c =，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则22
112222
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222
2
2121220x x y y a b --+=，
整理得
22
2
212121 222
2121
21
y y y y y y
b
a x x x x x x
-+-
=-=-⋅
-+-
2
2
21136
448
a
a
--
=-⨯==，
解得
1214
7
a=，则FAB 的周长为
4814
4
7
a=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程，这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围.
12．B
解析：B
【分析】
设直线
2
a
x
c
=交x轴于点M，推导出22
2
PF F M
=，可得出关于a、c的等式，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】
设直线
2
a
x
c
=交x轴于点M，
21
F PF
△是底角为30的等腰三角形，
2
60
PF M
∠=，
212
2
PF F F c
==，
在2
Rt PF M中，
2
90
PMF
∠=，
2
30
MPF
∠=，
22
2
PF F M
∴=，
P为直线
2
a
x
c
=上一点，
2
22
a
c c
c
⎛⎫
∴-=
⎪
⎝⎭
，即22
2
a c
=，
2
2
c
e
a
∴==．
故选：B．
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、填空题
13．【分析】作出图像设题中问题即为求的最小值设直线联立用韦达定理表示即可得解【详解】根据题意作出图像如图所示设题中问题即为求的最小值设由得所以所以当时最小为2故答案为：2 解析：2
【分析】
作出图像，设1122(,),(,)A x y B x y ，题中问题即为求12||y y -的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解. 【详解】
根据题意作出图像，如图所示，设1122(,),(,)A x y B x y ，题中问题即为求12||y y -的最小值.
设1:2
AB x ty =+
， 由2122x ty y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，得2210y ty --=，
所以12122,1y y t y y +==-. 所以22121212||()444y y y y y y t -=+-=+
当0t =时，12||y y -最小为2. 故答案为：2.
14．【分析】由椭圆定义得由余弦定理得结合可得的值从而得答案【详解】由已知得所以由椭圆定义得由余弦定理得即则的面积为故答案为：【点睛】本题
考查了椭圆的简单的性质关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题考
解析：24-【分析】
由椭圆定义得128F P PF +=，由余弦定理得222
1212
1212
cos 2F P PF F F F PF F P PF +-∠=⨯，结
合可得12F P PF ⨯的值，从而得答案. 【详解】 由已知得1
2,2
c e ==
，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=， 由余弦定理得222
1212
1212
3
cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠=
==
⨯， 即()
2
12
1212216F P PF
F P PF P PF +-⨯-=⨯，
12F P PF
⨯=
， 则
12F PF △的面积为
12111sin 30242
22
S F P PF =⨯⨯=⨯=-
故答案为：24
- 【点睛】
本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
15．或【分析】首先设出直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标利用弦长公式求得并根据定义表示中根据余弦定理表示再求离心率【详解】如图当直线与渐近线平行时与双曲线有唯一交点设与双曲线方程联立得解得：中由余弦
【分析】
首先设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，求得点P 的坐标，利用弦长公式求得1PF ，并根据定义表示2PF ，12F PF △中，根据余弦定理表示122
8
1cos 3
F PF e ∴-∠=+，再求离心率. 【详解】
如图，当直线与渐近线平行时，l 与双曲线有唯一交点P ，设():b
l y x c a
=
+，与双曲线方程联立，得2
2
2cx a c -=+，解得：22a c
x c
+=-，
()22222
122
122P b c a c b PF x c c a a c a +=+--=-+=，
22
21422b a PF PF a a +=+=
，122F F c =， 12F PF △中，124sin 5F PF ∠=
，123cos 5
F PF ∴∠=±， 由余弦定理2
2
2
12
1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠
()
()2
12
121221cos PF PF PF PF F PF =-+-∠，
()()()2222
2122
44221cos 4b a b c a F PF a
+∴=+⋅
-∠，
221222222888
1cos 433
a a F PF
b a
c a e ∴-∠===
+++， 当123cos 5F PF ∠=
时，2
82
35e =+，17e =， 当123cos 5F PF ∠=-
时，2
88
35
e =+，2e =，
172 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.公式法：22
21
11c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
16．3【分析】先根据抛物线方程求出p 的值再由抛物线性质求出的垂直平分线方程即可得到答案【详解】∵抛物线∴p=2焦点F(10)可设直线l ：P(x1y1)Q(x2y2)将代入抛物线得：∴设PQ 中点为N(x0
解析：3
【分析】
先根据抛物线方程求出p 的值，再由抛物线性质求出PQ 的垂直平分线方程，即可得到答案. 【详解】
∵抛物线2:4C y x =,∴p =2，焦点F (1,0) 可设直线l ：(1)y k x =-,P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)
将(1)y k x =-代入抛物线2:4C y x =得：2222(24)0k x k x k -++= ∴122
42x x k +=+
122
4
||226,PQ x x p k k =++=+
+=∴=设PQ 中点为N (x 0,y 0),则2120004242,(1)222
x x k x y k x k
+
+=====-= 所以线段PQ 的垂直平分线方程：1
(2)y k x k
-=--
令y =0，可得x =4，所以||413MF =-=
故答案为：3 【点睛】
坐标法是解析几何的基本方法,利用坐标法把几何关系转化为代数运算.
17．【分析】由抛物线的定义可知结合圆的性质当且仅当三点共线时等号成立取得最值【详解】由圆可得圆心设的焦点为则抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为过点作于点则由抛物线的定义可知所以当且仅当三点共线时等号成立
2
【分析】
由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值. 【详解】
由圆2
2
:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r
，
设2
8y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，
抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ， 过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =， 由抛物线的定义可知PH PF =，
所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-
()()
22
3242412=
--+-=，
当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立， 所以m PA +412， 412. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.
18．【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内 解析：
12
【分析】
首先根据椭圆定义分析，分析当ABF 的周长最大时，直线AB 的位置，再求ABF 的面积，得到椭圆的离心率. 【详解】
设椭圆的右焦点为F '，AF BF AB ''+≥，当直线AB 过右焦点F '时，等号成立，
∴ABF 的周长4l AF BF AB AF BF AF BF a ''=++≤+++=，
此时直线AB 过右焦点，2
2b AB a =，
2
21222ABF
b S
c b a
=⨯⨯=，得12c e a ==.
故答案为：1
2
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.
19．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所
解析：5 【分析】
首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为
24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心
率. 【详解】
设12PF PF >，并且122PF PF a -=，
12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，
则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又
1290F PF ∠=，()()22
224224c a c a c ∴-+-=，
整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，
2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），
所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.
20．【分析】求△MAF 周长最小值即求|MA|+|MF|的最小值设点M 在准线上的射影为D 根据抛物线定义知|MF|＝|MD|转为求|MA|+|MD|的最小值当DMA 三点共线时|MA|+|MD|最小即可得到答
解析：3
【分析】
求△MAF 周长最小值，即求|MA |+|MF |的最小值．设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物
线定义知|MF |＝|MD |，转为求|MA |+|MD |的最小值，当D 、M 、A 三点共线时|MA |+|MD |最小，即可得到答案． 【详解】
求△MAF 周长的最小值，即求|MA |+|MF |的最小值， 设点M 在准线上的射影为D ，则 根据抛物线的定义，可知|MF |＝|MD |
因此，|MA |+|MF |的最小值，即|MA |+|MD |的最小值
根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小， 因此最小值为x A ﹣（﹣1）＝2+1＝3， ∵|AF |＝
()
()
22
2110-+-＝2，
∴△MAF 周长的最小值为3+2， 故答案为3+2
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小，是解题的关键．
三、解答题
21．（1）2
212
x y +=；（22.
【分析】
（1）根据椭圆离心率为22，以及椭圆经过点22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，结合椭圆的性质列方程求解即可；
（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】
（1）由题意知222
22
2
21112c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
2
1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，
所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，
联立()0000
01020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，
所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫
- ⎪--⎝
⎭，
所以PQ ==
===为定值. 【点睛】
方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22．（1）3；（2）不存在；（3）证明见解析. 【分析】
（1）设出()00,M x y ，把MF 表示出来，利用函数求最值； （2）假设存在点P ，作出切线
PC 、PD ，由OCPD
为正方形推出||OP =
||2OP ≤，矛盾，所以判断点 P 不存在；
（3）用坐标法分别求出AF AQ BF BQ 、
、、，证明AF AQ BF BQ +=+ 【详解】
由椭圆22
:143
x y E +=，知右焦点为()1,0F ，
（1）设()00,M x y ，则()22
0001,2243
x y x +=-≤≤，所以
MF =
==
因为()()22
0000124444
x f x x x =-+=-在 []02,2x ∈-上单减，
所以当02x =-时，()4
22434
MF =-⨯-+=最大， 即MF 的最大值为3. （2）
假设存在点P 符合题意，如图示，,,OC OD PC PD ⊥⊥又有,PC PD ⊥ 所以OCPD 为矩形；
因为|OC |=|OD |,所以OCPD 为正方形，所以||2||236OP OC =
=⨯=；
又P 在椭圆22
:143
x y E +=上，所以3||26OP ≤≤≠,故这样的点P 不存在；
（3）
设()()1122,,,A x y B x y ，连结 OQ ，OA ，OB ，则△AOQ 为直角三角形，所以
222211||3AQ OA OQ x y =-=+-又A 在椭圆22
:143x y E +=上，所以 2211143
x y +=，得
22
211
11
||342
x x AQ x y =+-=
=
而
11
||22AF x =
=-
所以1111
2222
AF AQ x x +=-
+=； 同理可证：2BF BQ +=. 所以AF AQ BF BQ +=+，即证 【点睛】
解析几何问题常见处理方法：
(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； (2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算． 23．（1）24y x =；（2）1
14
y x =-+． 【分析】
（1）分析题意，列方程组，用待定系数法求抛物线C 的方程；
（2）用“设而不求法”联立方程组，把OM ON ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，得到直线方程 【详解】
解：（1）由题意可得228,11,
22
2m p p m p ⎧=⎪
⎨⨯⋅=⎪⎩
解得2p =．
故抛物线C 的方程为2
4y x =． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ．
联立21,4,
y kx y x =+⎧⎨=⎩整理得22
(24)10k x k x +-+=．
由题意可知0k ≠，则12224k x x k -+=-，12
2
1
x x k =． 因为OM ON ⊥，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 则()()()
()2
1212121211110x x kx kx k x x k x x +++=++++=，
即(
)
2
22124110k k k k k -⎛⎫
+⋅+⋅-+= ⎪⎝
⎭，整理得2140k k +=， 解得14
k =-
． 故直线l 的方程为1
14
y x =-+． 【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
24．（1）22143x y +=；（2
. 【分析】
（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；
（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】
（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为
22
214x y b
+=， 将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得29
1414b +=，解得23b =，
因此，椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）易知椭圆C 的右焦点为()21,0F ，
由于直线MN 的斜率为1，所以，直线MN 的方程为1y x =-，即1x y =+， 设点()11,M x y 、()22,N x y ，
联立22114
3x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得2
7690y y +-=，364793680∆=+⨯⨯=⨯>，
由韦达定理可得1267y y +=-，129
7
y y =-， 所以，
212112277
OMN
S
OF y y =⋅-===⨯=.
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.
25．（1）22
143
x y +=；（2）POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P
点坐标为(0,
和
(.
【分析】
（1
）由面积得bc =,,a b c ，得椭圆方程；
（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y ，写出直线,PA PB 方程，求得,C D 两点的横坐标，计算C D x x ⋅，注意点,A P 是椭圆上的点由此可得
4C D x x ⋅=为常数，这样可计算出POC POD S S ⋅△△＝2
P y ，最大值易得．
【详解】 解：（1）由1
2
c a =，2a c =
，得b =，
又121
22
MF F S c b =
⨯⨯=△ 所以1c =，2a =
，b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y 则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101
C x y x y
x y y -=-， 同理1001
01
D x y x y x y y +=
+，
所以22221001
2
2
01C D x y x y x x y y -⋅=-， 又点A 与点P 均在椭圆上，故2
2
00
413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，22
11413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
得()2
22
20122
0101222
2
010*********C D y y y y y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⋅===--， 所以4C D OC CD x x ⋅=⋅=为定值， 因为221114224
POC POD P p p p S S OC y OD y y y ⋅=
⋅⋅⋅=⨯⨯=△△ 由P 为椭圆上的一点，所以要使POC POD S S ⋅△△最大，只要2
p y 最大
而2
p y 最大为3，
所以POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P
点坐标为(
0,
和(. 【点睛】
关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程：设点,A P 坐标，：求直线方程，求交点坐标，计算面积之积，得出结论：即设点,A P 坐标，求出直线,AP BP 方程，求出交点,C D 的坐标（横坐标，纵坐标为0），而2111
224
POC POD P p C D p S S OC y OD y x x y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⋅⨯△△，再计算C
D x x ⋅可得最大值时P 点位置．
26．（1）22
142
x y +=；（2）存在，:2l y x =-+.
【分析】
（1
）利用四边形面积为2a =
，b =的方程；
（2）假设存在:l y x m =-+，使得AM AN =，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出MN 中点E 的坐标，再利用AE MN ⊥列方程求出2m =，从而可得结论. 【详解】 （1）
∵
1
222
a b ⋅⋅=
c ==解得2a =
，b =
∴椭圆方程为22
142
x y +=；
（2）存在，理由如下，
假设存在:l y x m =-+，使得AM AN =，设()()1122,,,M x y N x y ，
由2214
2y x m x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得22134240x mx m -+-=，
1243m
x x +=
，()1212223
m y y x x m +=-+=+， 28480m ∆=-+>
，m <<
记E 为MN 中点，则2(
,)33
m m
E ， ∵||AM AN =，所以AE MN ⊥，
∴1331213
AE
m k m -=
=-
，∴2m =
∵{
2|m m ∈<<
，
∴存在直线:2l y x =-+． 【点睛】
方法点睛：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.。