数学理科卷·浙江省温州市2009届高三下学期第一次适应性考试卷(2009.02)

浙江省温州市2009届高三下学期第一次适应性考试卷
数学（理科）试题 2009.2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

考试时不能．．
使用计算器，选择题、填空题答案填写在答题纸上。

第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．集合{|21,}A x x n n Z ==-∈，{|41,}B x x n n Z ==-∈，则 （ ▲ ） A ．A B =∅ B ．A ＝B C ．A B ⊆ D ．B A ⊆
2．已知a 是实数，若(1)(2)i ai ++是纯虚数，则=a （ ▲ ） A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1
3．命题：“∀x R +∈，1
2x x +
≥”的否定是 （ ▲ ） A ．x R +∀∈，12x x +< B ．x R +∀∈，1
2x x +>
C ．0x R +∃∈，0012x x +≥
D ．0x R +∃∈，00
1
2x x +<
4．光线自点M （2，3）射到N （1，0）后被x 轴反射， 则反射光线所在的直线与圆C ：22(4)1x y +-=（ ▲ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心 D ．相交但不过圆心 5．如图是正四棱锥P －ABCD 的三视图，其中正视图是 边长为1的正三角形，则这个四棱锥的表面积是（ ▲ ） A 31 B ．3 C 3 D ．2
6．已知23()(1)(2)(3)f x x x x =+++，则'()f x 的表达式中含4
x 项的系数是 （ ▲ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6
7．已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是 （ ▲ ）
A ．//l m ，l α⊥
B ．l m ⊥，l α⊥
C ．l m ⊥，//l α
D ．//l m ，//l α
8．在平面直角坐标系中，不等式组0,
0,,x y x y x a +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，
则2
x y +的最小值 （ ▲ ） A ．14
- B ．0 C ．12 D ．20 9．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升
旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第 一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水 平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以 ▲ （米/秒）的速度匀速升旗． A ．
15（米/秒） B ．3
5
（米/秒） C 3（米/秒） D 6（米/秒）
10．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为 （ ▲ ） A ．
12 B ．14 C ．15 D ．110
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知某班级有女生20人，男生30人。

一次考试女生的平均分为 75分，全班的平均分为72分，则男生的平均分为 ▲ 。

12．如图给出一个算法流程图，如果输入的m ＝10，则输出的S ＝ ▲ 。

13．已知△AOB ，点P 在线段AB 上，已知4OP mOA nOB =+，
则mn 的最大值为 ▲ 。

14．已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该
椭圆的离心率等于 ▲ 。

15．数列{}n a 中，已知11a =，且22
11112()n n n n n n a a a a a a +++++=+-，
则n a = ▲ 。

16．已知函数2
log (1)2
(0)()(1)(0)
a x x f x a x a
x ++≥⎧=⎨
-⋅+<⎩(0a >且1a ≠）在R 上是增函数，则a 的取值
范围是 ▲ 。

17．设()f x ax b =+（其中,a b 为实数），1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,
n =，若22a b +=-，
且()243244k f x x =-+，则k ＝ ▲ 。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）
已知向量(cos ,sin )x x =-m ,(cos ,sin 23)n x x x =-,R x ∈,设()m n f x =⋅. （I ）求函数()f x 的最小正周期。

（II ）[,]42
x ππ
∈,求()f x 的值域。

19．（本小题满分14分）
已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，现沿对角线BD 折成二面角C BD A --，使1AC =（如图）。

（I ）求证：DA ⊥面ABC
（II ）求二面角C BD A --平面角的大小。

20．（本小题满分14分）
在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

假设：答对题i （1,2i =），就得到奖金i a 元，且答对题i 的概率为i p （1,2i =），并且两次作答不会相互影响。

（I ）当1200a =元，10.6p =，2100a =元，20.8p =时，某人选择先回答题1，设获得奖金为
ξ，求ξ的分布列和E ξ。

（II ）若122a a =，121p p +=，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？
21．（本小题满分15分）
如图，已知抛物线24x y =，过抛物线上一点
11(,)A x y （不同于顶点）作抛物线的切线l ，并交x 轴
于点C ，在直线1y =-上任取一点H ，过H 作HD 垂直x 轴于D ，并交l 于点E ，过H 作直线HF 垂直直线l ，并交x 轴于
点F 。

（I ）求证：|OC|＝|DF|；
（II ）试判断直线EF 与抛物线的位置关系并说明理由。

22．（本小题满分15分）
已知函数()(0x f x ba a =>且1)a ≠，且()8(3)f k f k =-，（*
4,k k N ≥∈） （I ）若8,b =求(1)(2)()f f f n ++
+（*n N ∈）
； （II ）若(1)f ，16，128依次是某等差数列的第1项，第k －3项，第k 项，
试问：是否存在正整数n ，使得2
()2(100)f n n =-成立，若存在，请求出所有的n 及相应的b
的值，若不存在，请说明理由？
2009年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案2009.2
一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
D
D
B
C
C
A
B
B
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．70分 12．
1011 13．116 14 15．n 16． 17．5 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）
已知向量m (cos ,sin )x x =-,(cos ,sin )n x x x =-,R x ∈,设()m n f x =⋅.
（I ）求函数()f x 的最小正周期。

（II ）[,]42
x ππ
∈,求()f x 的值域。

解：（I ）因为22()m n cos sin 2cos22f x x x x x x =⋅=-= =2sin(2)6
x π
+
………………………………………………………4分
所以函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=.……………………………………6分 （II ）因为[,]42
x ππ
∈,
272[
,]6
36
x π
ππ
+
∈………………………………………………………………………8分
所以13
sin(2)[,]62x π+∈-……………………………………………………………12分
所以()[1,3]f x ∈-。

……………………………………………………………… 14分
19．（本小题满分14分）
已知矩形ABCD 中，2=
AB ，1=BC ，现沿对角线BD 折成二面角A BD C --，使1
=AC （如图）。

（I ）求证：DA ⊥面ABC
（II ）求二面角C BD A --平面角的大小。

证明：（I ）1,2DA AC DC ===.
222CD AD AC =+∴
AC DA ⊥∴,又AB DA ⊥ ，AB AC A ∴= ⊥∴DA 平面ABC ……………4分
（II ）方法一：取AB 中点M ，连CM ，过M 作BD MN ⊥交BD 于N ，连CN 。

1==CB CA ，∴AB CM ⊥ ⊂DA 平面ABD ,
⊥DA 平面ABC ,
∴ 平面ABC ⊥平面ABD …………………………………………………7分 ∴⊥CM 平面ABD ，
∴⊥CM BD ，又 ⊥MN BD ，MN CM M ⋂=
∴⊥BD 平面CMN ，
∴∠CNM 为二面角A BD C --的平面角。

……………………………11分
∴ 2
6213
MN =⋅=，2
CM =，
tan 3CM
CNM MN
∠=
=，︒=∠∴60CNM ，
即二面角A BD C --平面角的度数为︒60。

…………………………14分
方法二：取AB 中点M ，连CM ，∵AC ＝AB ＝1 ∴CM ⊥AB 又∵平面ABC ⊥平面ABD ，∴CM ⊥平面ABD
取BD 中点H ，∴MH ∥AD ∵AD ⊥AB ∴MH ⊥AB
分别以AB ，MH ，MC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 ……………7分 有：)2
2,0,0(),0,21,0(),0,0,22(
C H B ∴)2
2
,0,22(),0,21,22(-=-
=BC BH ……………………9分 设平面BCD 的法向量为),,(z y x n =
D
C
B
A
M
A B
C
D
N D
A
B
C
∴)1,2,1(02222021
2200=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-⇒=⋅=⋅z x y x ………………12分 又∵平面ABD 的法向量为)1,0,0(= ∴2
1
|
|||,cos =
⋅<n m 显然二面角A BD C --为锐角，所以它的大小为︒60。

……………14分 20．（本小题满分14分）
在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

假设：答对题i （1,2i =），就得到奖金i a 元，且答对题i 的概率为i p （1,2i =），并且两次作答不会相互影响。

（I ）当1200a =元，10.6p =，2100a =元，20.8p =时，某人选择先回答题1，设获得奖金为
ξ，求ξ的分布列和E ξ。

（II ）若122a a =，121p p +=，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？
解：（I ）分布列：
ξ 0 200 300
P
0．4 0．12 0．48
…………………………………………………………3分
00.42000.123000.48168E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………5分 （II ）设选择先回答题1，得到的奖金为1ξ；选择先回答题2，得到的奖金为2ξ 则有11121212(1)()E a p p a a p p ξ=-++
22211212(1)()E a p p a a p p ξ=-++…………………………………8分 根据题意可知：
22212112221211211(1)(1)[2(1)](21)E E a p p a p p a p p a p p ξξ-=---=--=+-，
当211210p p -+=
时，11p =-10分
111p <<时，211210p p -+>，12E E ξξ>，先答题1可能得到的奖金更高；……12分
当11p =时，211210p p -+=，12E E ξξ=，先答题1或题2可能得到的奖金一样多;
当101p <<时，211210p p -+<，12E E ξξ<，先答题2可能得到的奖金更多。

…14分 【注：第（II ）问，学生如有按其他条件进行讨论的参照以上评分标准给分，另解参考如下： 另解1：
22212112221222222(1)(1)[2(1)](42)E E a p p a p p a p p a p p ξξ-=---=--=-+
当222420p p -+=
时，22p =±
∴
当202p <<-222420p p -+>，12E E ξξ>，先答题1可能得到的奖金更高；
当222p =-时，222420p p -+=，12E E ξξ=，先答题1或题2可能得到的奖金一样多； 当2221p -<<时，222420p p -+<，12E E ξξ<，先答题2可能得到的奖金更高。

另解2：
2212112221212-(1-)-(1-)(2-)E E a p p a p p a p p ξξ==
当122p p >时，12E E ξξ>，先答题1可能得到的奖金更高； 当122p p =时，12E E ξξ=，先答题1或题2可能得到的奖金一样多； 当122p p <时，12E E ξξ<，先答题2可能得到的奖金更高。

】
21、（本小题满分15分）
如图，已知抛物线24x y =，过抛物线上一点11(,)A x y （不同于顶点）作抛物线的切线l ，并交x 轴于点C 。

在直线1y =-上任取一点H ，过H 作HD 垂直x 轴于D ，并交l 于点E ，过H 作直线HF 垂直直线l ，并交x 轴于点F 。

（I ）求证：|OC|＝|DF|；
（II ）试判断直线EF 与抛物线的位置关系。

解：（I ）∵24x y = ∴'2x
y = ∴11'|2
l x x x k y ===
∴22
11111:()2424
x x x x l y x x x =-+
=- ………3分 ∴1
(
,0)2
x C ……………………………………………………………………………4分 设(,1)H a - ∴(,0)D a
12:()1FH y x a x =-
-- ∴1(,0)2
x
F a -…………………………………………6分 ∴1
||||2
x OC DF ==
……………………………………………………………………7分 （II ）∵211(,)24x a x E a -，1(,0)2
x
F a - ………………………………………………………8分 ∴2
11112422EF x a x x k a x -=
=-…………………………………………………………………9分 ∴2
11:()()22
x x EF y a x a =---…………………………………………………………10分
由22
2112
1144()4()022()()
22
x y
x x x a x a x x y a x a ⎧=⎪⇒--+-=⎨=---⎪⎩……………………13分 221116()16()022
x x
a a ∆=-
--=…………………………………………………………15分 ∴直线EF 与抛物线相切。

22、（本小题满分15分）
已知函数()(0x f x ba a =>且1)a ≠，且()8(3)f k f k =-，（*
4,k k N ≥∈） （I ）若8,b =求(1)(2)()f f f n ++
+（*n N ∈）
； （II ）若(1)f ，16，128依次是某等差数列的第1项，第k －3项，第k 项，
试问：是否存在正整数n ，使得2
()2(100)f n n =-成立，若存在，请求出所有的n 及相应的b
的值，若不存在，请说明理由？
解：（I ）∵()128k f k ba ==，3
(3)16k f k ba
--==
∴3
128
816
a =
=，∴2a =……………………………………………………………3分 又∵8b =，
∴()82n
f n =⋅为等比数列， 则(1)(2)()16(21)n f f f n ++
+=- ……………………………………………6分
（II ）∵(1)f ，(3)f k -，()f k 依次是某等差数列的第1项，第k －3项，第k 项。

设等差数列的公差为d ，∴()(3)112
33
f k f k d --=
=
………………………………7分 由（1）可知2a =，∴(1)2f b =
∴()(1)(1)f k f k d =+- 即112
1282(1)3
b k =+- ∴24856(4,)3
k
b k k Z -=
≥∈（*）……………………………………………………8分 由题意知：要使方程2
22(100)n
b n =-有正整数解，结合（*）式可知b 的取值为整数， 故2485619256(1)
6456,33
k k b m m N +---=
==-∈……………………………………9分 令2
2
()()2(100)22200x
g x f x x b x =--=-+，
则x b x g x
422ln
)('-⋅=
（1）当0>b 时8b =，2
()822200x
g x x =⋅-+
)22ln 2(4422ln )('x x b x g x
x -⋅=-⋅=
当),1[+∞∈x 时，0222ln 2>->-⋅x x x
x ，（这里可以利用二次求导或二项式展开来证明） 则0)('>x g ，∴()g x 在),1[+∞内单调递增 而(1)2140g =>，∴0)(>x g ，),1[+∞∈x
∴当8b =时，不存在正整数n ，使得2
()2(100)f n n =-成立。

……………………11分 （2）当0b <时，由+∈-=N m m b ,5664可知： ① 若2,m m N +>∈，即6456104b m =-≤-， 则2
()222000x
g x b x =-+<对一切),1[+∞∈x 都成立，
∴不存在正整数n ，使得2
()2(100)f n n =-成立。

………………………………………13分 ② 当2m =时b 为48-，2
()4822200x
g x x =-⋅-+ ∴()g x 在),1[+∞内单调递减
又(1)1020g =>，(2)48482000g =-⋅-+=
∴存在2n =满足2
()2(100)f n n =-； ……………………………………………15分 综上所述：存在正整数n ＝2，使得2
()2(100)f n n =-，此时48-=b 。

命题：林 荣
审题：谢树光 徐芳芳 戴海林 徐进光。