相似三角形的应用公开课获奖课件省赛课一等奖课件

测量数据：身高DE、人与镜子间的距离AE、 旗杆与镜子间距离AC.
找相似：△ADE∽△ABC.
B
找比例： DE AE . D BC AC
EA
C
小结：
•
现实生活中还有许多问题我们可以利用相
似三角形的知识去解决，上述题目只能算是沧
海一粟，这就需要我们做个有心人，从数学角
度学会发现问题，提出问题，并且尝试从不同
AB
C
怎么办？
方法2：利用标杆.
测量数据：身高AD、标杆BE、旗杆与标杆 之间距离BC、人与标杆间距离AB.
找相似：△AGD∽△BGE. △AGD∽△CGF
找比例： AD AG , AD AG
F
BE BG CF CG
E
D
G
A
B
C
方法3：利用镜子的反射.
B D
EA
C
怎么办？
方法3：利用镜子的反射.
（2） ∵ △ABC∽△DEF ∴ AB BC ∵ DED=E1，EEFF=2，BC=10 ∴ AB 10
12
∴AB=5
借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗
D B
┐
┐
A
C
E
数学史话：
泰勒斯是古希腊的科学家、哲学家，历史上称其为“科学之祖”，他尤其 善于把现实中的许多问题转化为数学问题来解决。
位于埃及开罗西南15千米处，有一金字塔，被称为“第一金字塔”或“ 大金字塔”，其高146.5米，底面呈正方形。埃及人是如何堆成金字塔的，至 今仍是个谜，而泰勒斯能测量金字塔的高度，在当时算是个了不起的贡献。
所以△∴A∠BACC∽=△∠DEEDCC,由此可又得∵对∠C应是边公成共比角例，：
∴△ABC∽△DEC,
得：
AABBAACC DDEE DDCC
）
AB AC ED (10 5) 0.8 2.4( 米 )
DC
5
3. 如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看到
自己的影子DF，那么
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
图 18.3.12
解 由于太阳光是平行光线，因此 ∠OAB＝∠O′A′B′．
又因为 ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°． 所以 △OAB∽△O′A′B′，
OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
OB＝ AB OB 2741 137（米）
AB
2
答:该金字塔高为137米．
例2:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，
致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，
AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标
点B的长度BB′为（ ）
B
A．3 B．0.3 C．0.03 D．0.2
2.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动 竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面 的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗 杆相距22m，则旗杆的高为（ A ）
的角度、不同的途径去分析问题和解决问题，
不断锻炼我们的思维能力。
概括
1、在运用相似三角形的有关知识解 实际问题时，要读懂题意，
2、画出从实际问题中抽象出来的几 何图形，构建简单的数学模型，
3、然后运用已学的相似三角形的有 关知识（相似三角形的识别、相似 三角形的性质等）列出有关未知数 的比例式，求出所求的结论.
A．24m B．25m C．28m D．30m
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物 体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学 问题,建立相似三角形模型,再利用对应边成 比例来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
中考
生活实践
1、如图，是一池塘的平面图， 请你利用相似三角形的知识， 设计出一种测量A、B两点间 距离的方案，并对这种方案作 出简要的说明。
A．12m B．10m C．8m D．7m
3.（2009年兰州）如图，丁轩同学在晚上由路 灯走向路灯，当他走到点P时，发现身后他影 子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前 再步行20m到达点Q时，发现身前他影子的顶 部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的 身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两 路灯之间的距离是（ D ）
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选 点D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视 线EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两 岸间的大致距离AB了。 A
此时如果测得DE＝120米，
BC＝60米，BD＝50米，求
两岸间的大致距离AB．
B
C
请同学们自已解答
（2）如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为
1.6m,你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F
D
B
• 有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光 下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿 BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=4m, 如果小明的身高为1.6m,求路灯杆AB的高度.
AB（底部B不能直接
∵在△AOB和△A’OB’中 OA=OA’ ∠AOB=∠A’OB’ OB=OB’ ∴△AOB≌△A’OB’ ∴AB=AB’
A
B
O
B’
A’
在当时的条件下，泰勒斯能想出这种测量方法，简 直就是惊世骇俗的了。
阅读完上面材料后，如果让你用相 似的知识去尝试测量上图中A、B两 点间的距离你会吗？
• 例1. 如图所示，为了测量金字塔的高度OB， 先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的 影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出 金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′＝2， AB＝274，求金字塔的高度OB.
到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的
影长DF=3m,沿BD方向到达点G处再测得自己
的影长GH=4cm,如果小明的身高为1.6m，
GF=2m.
A
你能求出路灯杆AB的高度吗？
M
C
H
GF D
B
1.（2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动
中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，
要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，
给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端
点下降0.5m时,长臂端点升高 8 m?
B
16m
C
┏
┛ 0.5m
o
1m
D
A
(第1题)
我们主要是应用相似三角形的性质来解 决实际问题。
在实际生活中，请举出哪些地方用到了 相似三角形？
例如：在同一时刻人与树和各自的影子作为两条边 形成的三角形。
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求
两岸间的大致距离AB．
解：（方法一）因为 ∠ADB＝∠EDC,
∠ABC＝∠ECD＝90°，
A
所以 △ABD∽△ECD，
那么 AB BD EC DC
B
D
C
解得AB BD • EC 120 50 100(米) E
DC
60
答： 两岸间的大致距离为100米．
• 解：如图在池塘外选一点P，连AP并延长，
连BP并延PP长CA 使 PPDB 2
（或其他值），
则△ABP∽△CDP得 出 AB的长。
，量出CD的长AB就 可PA算
CD PC
2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，
而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高
度h.
B
E
C
D
A
（解分：析∵：AB由、于CADB都、垂C直D于都地垂面直,于地面, ∠C是公共角，
他先竖一根已知长度的
O
木棒O′B′，比较棒子的影长
A’B’与金字塔的影长AB，即
O’
可算出金字塔的高OB。
A
A′
B’
B
泰勒斯所用的这种比例法测物体的高度，当时非常有名。 除此之外，他还能间接求出两点间的距离，其测量方法一直延 用至今。
如图，在测量中间有障碍 A、B 两点的距离时，他 先确定一点 O，使 OA’=OA,OB’=OB,再测出 A’ B’ 的长度，即知 A、B 两点间的距离了
定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和 AE的交点D．
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．
A
B
D
C
E
例3:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选
定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和 AE的交点D．
一.相似三角形的判定方法
1.两角 对应相等 两个三角形相似。 2.两边 对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似。 3.三边 对应成比例的两个三角形相似。
二.相似三角形的性质
1.对应角 相等，对应边 成比例。 2.对应高 的比，对应中线 的比，对应角平分线 的 比都等于相似比。（相似形中的对应线段） 3.周长的比等于相似比 。 4.面积的比 等于相似比的平方 。
答：楼的高度是36米。
测量学校旗杆的高度。
例：如图，B、C、E、F是在同一直线上， AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
（1） △DEF与△ABC相似吗？为什么？
（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等 于多少？
• 解：（1）∵ AB⊥BF ，DE⊥BF ∴∠ABC=∠DEF=90° ∵ AC∥DF ∴ ∠ACB=∠DFE ∴ △ABC∽△DEF
例如：物理学的小孔呈像实验中，实物与影子同通 过小孔的光线所连成的三角形。
·
在同一时刻物体的高度与它 的影长成正比例.在某一时刻, 有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影 长为60米,那么高楼的高度是 多少米?
解：设楼的高度为x米， 由题意得；
x 60 1.8 3
解得x=36（米）
并进行交流
D
E
想一想
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
方法1：利用阳光下的影子.
D
A B CE
F 怎么办？
方法1：利用阳光下的影子.
测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.
找相似：△ABC∽△DEF.
D
找比例： AC BC DF EF
A
B CE
F
方法2：利用标杆.
F
E D
G