平面法向量的求解及应用

例谈平面法向量的求解方法及应用
郭兴甫 云南会泽一中 邮编：654200
平面法向量是空间向量中的一个重要内容，是解决立体几何问题的强有力工具，对解决线面平行，面面平行，二面角的大小，点面距离，线面角等问题具有公式化，程序化的作用，本文举例说明怎样求一个平面的法向量及其法向量在解决相关问题的应用，以期对同学们的学习有所帮助！ 一、平面法向量的求解方法
例1.在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为
BC AB AA F E G a 、、分别为、、1,的中点，求
平面GEF 的法向量.
解：如图1所示，以D 为坐标原点建立空间 直角坐标系xyz D -，则)0,,2
(),0,2,(a a F a a E ,
),2,0,(a a G 由此得)0,2,2(),2,2,0(a
a FE a a GE -=-=−→−−→−
设平面GEF 的法向量为).,,(z y x n =−→
−则由−→
−−→
−−→−−→
−⊥⊥FE n GE n ,可得
⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙−→
−→−→−→,,,0212
1,
02
12100y x z y y x z y FE n GE n 令.1,1,1===x z y 则 故平面GEF 的一个法向量为).1,1,1(=−→
−n
评注：由上例可看出，在求平面α的法向量时，应建立空间直角坐标系，求 平面α内两个不共线的向量的坐标，并设平面α的一个法向量为).,,(z y x n =−→
−由法向量的定义可知法向量必需与α内的向量垂直，进而得两个关于z y x ,,的三元一次方程令其中一个未知数为1，进而可得另两个未知数，即得平面的法向量→
n .
二、平面法向量的应用 1.证明两平面平行
例2如图 2，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是正方体六个面的 中心，证明平面EFG//平面HMN
证明：建立如图 2所示的空间直角坐 标系xyz D -,设正方体的棱长为2，易得：
．
)1,1,0(),1,2,1(),2,1,1(),1,1,2(),1,0,1(),0,1,1(N M H G F E .
)1,0,1(),1,1,0(),1,0,1(),1,1,0(--=-==-=∴−→
−−→−−→−−→−HN HM EG EF .
设n 1=（x 1,y 1,z 1）,n 2=(x ,y 2,z 2)分别是平面EFG ，平面HMN
的法向量，则由 1,1,1,0,011111111
1
-===⎩⎨⎧=+=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥−→
−→−→−
→x y z z x z y EG
n EF
n 则令 所以平面EFG 的一个法向量)1,1,1(1-=→
n
同理由)1,1,1(,222-=⊥⊥→
−→−→−→−→n HMN HN n HM n 的法向量可得平面
→
→
→
→
=∴2121//,n n n n 即
即平面E F G//平面HMN
评注：证明两个平面平行可由以下方法去证明：（1）转化为相应的线线平行或线
面平行，（2）求出两个平面的法向量，然后证明这两个平面的法向量平行而获证。

这种方法过程虽复杂，但思路清晰，是解决立体几何问题常用方法. 2.求直线与平面所成的角
例3如图3，已知点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的 对角线1BD 上，∠PDA =60°
（1）求DP 与CC 1所成角的大小；
（2）求D P 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

解：（1）略
（2）建立如图3所示的空间直角坐标系D －,xyz 记AB=1,则)0,1,0(),0,0,1(C A .
连接,,11D B BD 延长DP 交D 1B 1于H ，设)1,,(m m DH =−→
−,由已知得
60,>=<−→−−→−DA DH ,122,cos 2+=><=∙∴−→
−−→−−→−−→−−→−−→−m m DH DA DH DA DH DA 可得解之
得)1,2
2,22(,22==−→−DH m 故 又易知)0,1,0(=−→
−DC 为平面AA 1D 1D 的一个法向量，设DP 与面AA 1D 1D 所成
y
的角为θ，则,2
1
,cos sin =
∙=
><=−→
−−→−−→
−−→−−→
−−→
−DC
DH DC DH DC DH θ 故直线DP 与面AA 1D 1 D 所成的角为30°.
评注：如图 4所示若直线AB 是平面α的一条斜线，→
n 是
平面α的一个法向量，直线AB 与平面α的夹角为θ，则
→
−→−→
−→
−→
−→−∙=
><=n
AB n
AB n AB ,cos sin θ.应用该公式可把求直线与平面所成
角的问题转化为求直线与平面法向量所成角的问题。

3.求二面角的大小
例4.如图5，四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 为矩形,侧面ABC ⊥底面BCDE ， BC=2,CD=2,若AB=AC=BC,求二面角C-AD-E 解：由于已知侧面ABC 与底面BCDE 垂直，
且BCDE 为矩形。

因为三角形ABC 为等边 三角形，取BC 的中点为O,则有AO ⊥BC, 取DE 的中点为M,射线OC,OM,OA 分别为
轴轴，轴，z y x 的正半轴建立如图所示的空间
直角坐标系O —xyz ，因BC=2,CD=2,所以得到 A(0,0,
)0,2,1(),0,0,1(),0,2,1(),3-E C D
则)0,0,2(),0,2,0(),3,2,1(-==-=−→
−−→
−−→
−DE CD AD
设ACD z y x n 为平面),,(=→
的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧==-+⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=∙=∙−→
−→−→−
→020
3200y z y x CD n AD n
)1,0,3(,3,1,0====∴→
n x z y 可得则令
图4
n
又设的一个法向量，则为平面ADE z y x m ),,(=→
⎩⎨⎧=-=-+⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=∙=∙−→
−→−→−
→020
3200x z y x DE m AD m
.0=∴x 令)2,3,0(,3,2===→
m y z 可得则
所以10
102
0310*******,cos =
++++⨯+⨯+⨯=
∙>=
<→
→→
→→
→n
m n m n m . 设二面角C-AD-E 的大小为θ,观察图形可知θ为钝角， 故10
10,cos cos -
>=<-=→
→n m θ 评注：在求二面角的大小时，可求两个半平面的法向量，由两个法向量所成的角求得二面角的大小。

即设二面角α—AB —β的大小为
θ，→
→m n ,为α，β的法向量，则θ=＜→
→m n ,＞或θ= -π＜→
→m n ,＞.。