【2019最新】高一数学下学期第一次月考试题普通班

【2019最新】高一数学下学期第一次月考试题普通班
分值：150分时间120分钟
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A． (，－) B． (，－) C． (－，) D． (－，)
2.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于( )
A．－1 B． 0 C． 1 D． 2
3.在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
4.已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，
则|a－b|的值为( )
A． B． 1 C． 2 D． 3
5.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于( )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b
6.若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b
等于( )
A． (－3,6) B． (3，－6) C． (6，－3) D． (－6,3)
7.河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速
度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A． 13 m/s B． 12 m/s C． 17 m/s D． 15 m/s
8.在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为
( )
A． B． 2 C． 5 D． 10
9.在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB
的长为( )
A． 1 B． C． D．
10.锐角△ABC三边长分别为x，x＋1，x＋2，则x的取值范围是( )
A． (－1,3) B． (1,3) C． (3，＋∞) D．(1,3)∪(3，
＋∞)
11.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB
＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
12.在△ABC中，若c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则C等于
( )
A．90° B．120° C．60° D．120°或60°
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝
________.
14.若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，
则m的值为________．
15.在△ABC中，a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝________.
16.关于平面向量有下列四个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②已知a＝(k,3)，b＝(－2,6)，若a∥b，则k＝－1；
③(＋)·(－)＝0.
其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
18.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，
f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)＋＋.
19.已知＝(1,0)，＝(0,1)，＝(t，t)(t∈R)，O是坐标原点．
(1)若A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，·取到最小值？并求出最小值．
20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
21.(1)已知在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝＋，求A，B，C；
(2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，解此三角形．22.如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c＝5，求sin∠BAC；
(2)若∠BAC为钝角，求c的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，
因此与同方向的单位向量是＝(，－ )，故选A.
2.【答案】C
【解析】∵2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，
故选C.
3.【答案】B
【解析】由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.
4.【答案】B
【解析】如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a －b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因为|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.
5.【答案】B
【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a ＋b.
6.【答案】A
【解析】设b ＝ka ＝(k ，－2k)，k ＜0，而|b|＝3，则＝3，∴k＝－3，
b ＝(－3,6)．
7.【答案】A
【解析】设小船在静水中的速度为v1， 河水的流速为v2，
v1与v2的合速度为v ，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸， 合速度v 指向对岸，
∴静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．
8.【答案】C
【解析】∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD 的面积
S ＝||||＝××2＝5.
9.【答案】B
【解析】设AB 的长为a(a ＞0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝·－2＋2＝－a2＋a ＋1.
由已知，得－a2＋a ＋1＝1，
又因为a＞0，所以a＝，即AB的长为.
10.【答案】C
【解析】首先x＋(x＋1)>x＋2，x>1，其次x2＋(x＋1)2>(x＋2)2，解得x<－1或x>3，综上x>3.故选C.
11.【答案】B
【解析】因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，又sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA．联立两式得sinA＝sinAsinA．由于A∈(0，π)，sinA≠0，所以sinA＝1，A＝.选B.
12.【答案】D
【解析】由c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，得(a2＋b2)2－2(a2＋b2)c2＋c4＝a2b2，∴(a2＋b2－c2)2＝a2b2，∴a2＋b2－c2＝±ab，
∴cosC＝＝±，
∴C＝120°或C＝60°.
13.【答案】
【解析】∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，
∴∴
14.【答案】
【解析】由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝.
15.【答案】30° 16.【答案】②③
【解析】①中，a·b＝a·c ⇒a·(b－c)＝0， 当a ＝0时也成立，故①错；
②中，若a∥b，则有6×k＝－2×3⇒k ＝－1，故②正确；
③中，(＋)·(－)＝()2－()2＝－＝0，故③正确．
17.【答案】解 (1)设b ＝(x ，y)， 因为a∥b，所以y ＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，
解得b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)． (2)由已知(2a ＋c)⊥(4a－3c)，
得(2a ＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0， 由|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a 与c 的夹角θ＝.
【解析】
18.【答案】解 (1)＝－＝c －a.
(2)＝＋＝－＋＝d －a.
(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
【解析】
19.【答案】解(1)＝－＝(－1,1)，
＝－＝(t－1，t)．
∵A，B，M三点共线，∴与共线，
∴－(t－1)－t＝0，∴t＝.
(2)∵＝(1－t，－t)，＝(－t,1－t)，∴·＝2t2－2t＝22－，易知当
t＝时，·取得最小值－.
【解析】
20.【答案】解(1)由bsinA＝acosB及正弦定理
＝，
得sinB＝cosB.
所以tanB＝，所以B＝.
(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
【解析】
21.【答案】解(1)由余弦定理的推论，得cosA＝
＝＝.
∵0°<A<180°，∴A＝60°.
cosB＝
＝＝，
∴B＝45°，
∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°. (2)由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB
＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)×＝96，
∴b＝4，
∴cosA＝
＝＝，
∴A＝45°，
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.【解析】
22.【答案】解(1)方法一∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5，sinB＝.
当c＝5时，|BC|＝5，
|AC|＝＝2.
根据正弦定理，得
＝⇒sinA＝sinB＝.
方法二∵A(3,4)，B(0,0)，∴|AB|＝5，
当c＝5时，|BC|＝5，
|AC|＝＝2.
根据余弦定理，得
cosA＝＝.
sinA＝＝.
(2)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，根据余弦定理，得cosA＝.
若∠A是钝角，则cosA<0⇔|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c－3)2＋42]－c2＝50－6c<0，
解得c>.。