高考最新-2018届高三数学高考模拟考试卷二[下学期] 精

2018届高三数学高考模拟考试卷二
第Ⅰ卷 （选择题）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1、若n
x x )213(3
2
-
的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是 A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
2、α-απ
<α<π=
ααsin cos ,2
4,83cos sin 则且的值是 A ．21 B ．－21 C ．41 D ．－4
1
3、函数)1)(1(log 2
1<-=x x y 的反函数是
A ．)(21R x y x ∈-=-
B ．)(21R x y x ∈+=-
C ．)(21R x y x ∈-=
D ．)(21R x y x ∈+=
4、从1,2，3,…，9中任取两个数，其和为偶数的概率是 A ．
12 B ．16 C ．49 D ．518
5、已知O 为ΔABC 所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+,则点O 是ΔABC 的
A. 外心
B. 内心
C. 垂心
D. 重心 6、已知m 、l 是直线， α、β、γ是平面，下列命题中正确的有 ①若m∥l，m ⊥α，则l ⊥α ； ②若m∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若βγ＝l ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，则l ⊥m ，m ∥β ；
④若α
γ＝m ，β
γ＝l ，α∥β，则m∥l .
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 7、若1,0=+<<b a b a 且，则下列四个数中，最大的是 A ．)(log 32232b ab b a a +++- B ．1log log 22++b a
C ．)(log 222b a +
D ．－1
8、直线l 经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S=
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
9、甲、乙两公交车往返于相距24公里的A 、B 两地之间, 现两车分别从两地同时驶出, 甲每小时行驶36公里, 乙每小时行驶24公里, 到达异地后立即返回, 若不计转向时间, 则
从开始到4小时止, 他们相遇次数为
A. 4次
B. 5次
C. 6次
D. 7次
10、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是
3
3
2的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 A. π33 B. π2
3 C. π3 D. π36
5
11、有5个座位连成一排，现安排3个人就座，则有两个空位不相连的不同坐法共 A.28种 B.36种 C.60种 D.72种
12、双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段
PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为
A .相交
B .相切
C .相离
D .以上情况都有可能.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（t 本大题共4小题，每小题4分，共计16分） 13、不等式
1
||x x
<的解集为 .
14、函数sin cos y x a x =+在区间[0,
]6
π
，则实数
a =________________.
15、在平面几何中,ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比
||||||||AE EB AC CB =∶∶。

把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图）平面CDE
平
分二面角A CD B --且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是 .
16、对于任意)()()(,0)(,0)(,0,21212121x x f x f x f x f x f x x +<+>>>且都有成立，则
称函数)(x f 具有性质M.给出下列四个函数：①3x y =，②),1(log 2+=x y ③12-=x
y ，
④x y sin =.其中具有性质M 的函数是 .（注：把满足题意的所有．．函数的序号都．填上） 三、解答题：（本大题共6小题，共计74分x ） 17、（本小题满分12分）
已知向量1)(),cos 2,cos 3(),cos ,sin 2(-⋅===b a x f x x b x x a 定义函数.
（1）求函数)(x f 的最小正周期及单调减区间； （2
心
18EF （1（2）由于情况有变，现要将此水渠改造为横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 19、（本小题满分12分）
已知实数集R 上的函数,)(2
3
d cx bx ax x f +++=其中a 、b 、c 、d 是实数.
（1）若函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且18)0(,7)0(-='-=f f ，求函数)(x f 的表达式；
（2）若a 、b 、c 满足,032
<-ac b 求证：函数)(x f 是单调函数.
20、（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． （1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（2）当α为何值时，AB 1⊥BC 1，且使D 恰为BC 中点？ （3）若α = arccos 13
，且AC=BC=AA 1时,求二面角C 1—AB —C
C 1
A
B
C
D
A 1
B 1
的大小. 21、（本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 满足1(01)a a a =<<，且11n
n n
a a a +≤
+． （1）求证：1(1)n a
a n a ≤+-；
（2）求证：
12
123
1
n
a a a n +++
<+． 22、（本小题满分14分） 如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B ′；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关
系式EM EB EB '=+.
(1)建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；
(2)若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点， BA
BF
= 4，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q
两点，且→PF =λ→FQ
，求实数λ的取值范围.
A
D
B ′
E
B
C
C ′
2018届高三数学 高考模拟考试参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13、(,0)
(1,)-∞+∞ 14、
ACD
BCD
S AE EB S ∆∆=
16、①③ 三、解答题：
17、解：（1）2()1cos 2cos 1f x a b x x x =⋅-=+-
2cos2x x =+＝2sin(2)6
x π+
故：T π=，令：3222262k x k πππππ+≤+≤+，则：2,63
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+
∈即为单调减区间。

（2）图象略，函数()f x 在75[,]1212
ππ
-
上对称中心为(,0)12π-，对称轴不存在。

18、解：（1）建立如图所示坐标系
则抛物线方程为)2
3
(322
+=
y x 当y=0.5时，3
6±
=x ∴水面宽m EF 3
6
2=
（2）如图，设抛物线一点)2
3
23,
(2-t t M （t>0） 因改造水渠中准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土。

由2
3
322-=
x y ,求导得y’=3x ∴过点M 的切线斜率为3t 切线方程为：)(3)2
3
23(2t x t t y -=--
令y=0，则2
,2321221t x y t t x =-=+=则令
故截面梯形面积为：2
2
3)21(2323)22(2121≥
+=⋅+=
t t x x S 当且仅当22=
t 时所挖土最少，此时下底宽2
2
m 。

答：故截面梯形的下底边长为0.718米宽时，才能使所挖的土最少。

19、解：（1）∵,7)0(-=f ∴d=－7
,18)0(,23)(2-='++='f c bx ax x f ∴c=－18，
∴,1823)(2-+='bx ax x f ∵函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数， 在区间（－1，3）上是减函数， ∴－1和3必是0)(='x f 的两个根， ∴⎩⎨
⎧-==⎩⎨
⎧=-+=--6
2
:,01862701823b a b a b a 解得 ∴71862)(23---=x x x x f . （2）,23)(2c bx ax x f ++='由条件,0,0,032≠≠<-c a ac b 可知
)(x f '为二次三项式，并且0)3(4)3(4)2(22<-=-=∆ac b ac b
∴当a >0时，)(x f '>0恒成立，此时函数)(x f 是单调增函数， 当a <0时，)(x f '<0恒成立，此时函数)(x f 是单调减函数， ∴对任意给定的非零实数a ，函数)(x f 总是单调函数. 20、（1）∵ B 1D ⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，
B 1D ⊥A
C , 又AC ⊥BC , BC ∩B 1
D =D ． ∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．
(2) ∵ AC ⊥平面BB 1C 1C ，要使AB 1⊥BC 1 ，由三垂线定理可知，只须B 1C ⊥BC 1， ∴ 平行四边形BB 1C 1C 为菱形， 此时，BC=BB 1．
又∵ B 1D ⊥BC , 要使D 为BC 中点，只须B 1C= B 1B ，即△BB 1C 为正三角形， ∴ ∠B 1BC= 60°． ∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且使D 为BC 中点． （3）过C 1作C 1E ⊥BC 于E ，则C 1E ⊥平面ABC ．
过E 作EF ⊥AB 于F ，C 1F ，由三垂线定理，得C 1F ⊥AB ．
∴∠C 1FE 是所求二面角C 1—AB —C 的平面角． 设AC=BC=AA 1=a ， 在Rt △CC 1E 中，由∠C 1BE=α=1arccos
3，C 1E=3
2
2a ．
在Rt △BEF 中，∠EBF=45°，EF=
22BE=3
22a ． ∴∠C 1FE=45°，故所求的二面角C 1—AB —C 为45°． 解法二：（1）同解法一
（2）要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →
|， ∴11()0AC CB BC +=， ||||11B BC ⋅=0，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；
∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上， ∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角． 故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点．
（3）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，－
34a ，3
2
2a ）， 平面ABC 的法向量n 1=（0，0，1），设平面ABC 1的法向量n 2=（x ，y ，z ）． 由⋅n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得
⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43
y ＋2 2 3 z =0 . ∴n 2=（22，22
，1）． cos<n 1, n 2>＝
112 +1
2
+1 =
2 2
， 故n 1 , n 2所成的角为45°，即所求的二面角为45°． 21、解：（1）因为a n + 1≤
n n
a a +1(n ∈N *)且为正数，所以11111n n n n
a a a a ++≥=+， 所以
111
1n n
a a +-≥(n ∈N *) （＊）
， 在（＊）中分别令n 取n-1,n-2,…,3,2,1，将得到的n-1个代数式相加得：
n a 1
1a ≥+（n – 1），a n 1(1)a n a
≤+-(n ∈N *)． （2）由已知a n ≤
n
n a
a n a 1
)1(11)1(1<-+=-+（∵0 < a < 1），
所以
)1(13212111432321+⨯++⨯+⨯<+++++n n n a a a a n =11
1
1<+-n ．
22、（1）在BC 所在的直线为x 轴，以BA 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设00(,2)(02),(,)B t t M x y '≤≤，则2
BB k t
'
=，从而直线l 的斜率为2
t -。

设,B B '的中点为G ，则(,1)2t
G 。

故直线l 的方程为：1()22t t y x -=--，从而得点2
(0,1)4
t E +，由
EM EB EB '=+得：222
00(,1)(0,1)(,1)444
t t t x y t --=--+-，所以：
022********x t t t t y =⎧⎪⎨--=--+-⎪⎩，即：[]020(0,2,)14
x t
t t t y =⎧⎪∈⎨=-⎪⎩为参数，消去t 得： []2
1(0,2)4
x y x =-+∈即为点M 的轨迹方程。

（2）由题意知：曲线C 的方程为[]2
1(2,2)4
x y x =-
+∈-，1(0,)2F 。

设111:()244PQ y kx k =+-≤≤与[]2
1(2,2)4
x y x =-
+∈-联立，得：2420x kx +-=。

设1122(,),(,)P x y Q x y ，则124x x k +=- ① 122x x =- ②
,PF FQ λ= 12x x λ∴=- ③
由①②③得：22
(1)8k λλ
-=，而1144k -≤≤，所以2
2520λλ-+≤，故：122λ≤≤。