(精校版)湖北省文数卷文档版(有答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，607
i
=（ ）
A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石
3.命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ）
A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-
B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-
C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-
D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-
4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（ ） A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关
5. 12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线，q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
6.函数256
()4||lg 3
x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)
(3,4] D ．(1,3)(3,6]-
7.设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，则（ ）
A ．{||sgn |}x x x =
B ．{|sgn ||}x x =
C ．{||sgn x x x =
D ．{|sgn x x x = 8.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2
P 为事件“1
2
xy ≤”的概率，则（ ） A ．1212p p <<
B ．2112p p <<
C ．2112p p <<
D ．121
2
p p <<
9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b ()a b ≠同时增加m (0)m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）
A ．对任意的a ，b ，12e e <
B ．当a b > 时，12e e <；当a b <时，12e e >
C ．对任意的a ，b ，12e e >
D ．当a b > 时，12e e >；当a b <时，12e e <
10.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+≤∈，{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合
12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）
A ．77
B ．49
C ．45
D ．30
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

答错位置，书写不清、模棱两可均不得分。

11.已知向量OA OB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙= .
12.设变量x ，y 满足约束条件4230x y x y x y +≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
，则3x y +的最大值为 .
13.函数2()2sin sin()2
f x x x x π
=+
-的零点个数为 .
14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的a= .
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为
.
15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北0
30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北0
75的方向上，仰角为0
30，则此山的高度CD= m.
16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =. （1）圆C 的标准方程为 .
（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为
.
17.a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a = 时，()g a 的值最小.
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18、（本小题满分12分）
某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ) (w>0,︱φ︱<2
π
)在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如下表：
5
（I ） 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f(x)的解析式； （II ）
将y= f(x)图像上所有点向左平行移动
6
π
个单位长度，得到y=g （x ）图像，求y=g （x ）
的图像离原点O 最近的对称中心。

19、（本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知1b =1a -2b =2，q=d ，
100S =100.
（I ） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式 （II ）
当d>1时，记n c =
n
n
a b ，求数列的前n 项和T n 。

20、（本小题满分13分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

在如图所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE 。

(I) 证明：DE ⊥平面PBC.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑。

若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(II)
记阳马P-ABCD 的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2
V ，求
1
2
V V 的值
21（本小题满分14分）
设函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+ g(x)=x e ，其中e 为自然对数的底数。

（I ）
求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1;
（II ） 设0,1a b ≤≥。

证明：当x>0时，(x)
(x)(1b)(x)(1a)f bg x
ag <
<+-+-
22、（本小题满分14分）
一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。

（I ） 求椭圆C 的方程；
（II ）
设动直线l 与两定直线1l ：x-2y=0和2l ：x+2y=0分别交于P,Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.A
2.B
3.C
4.A
5.A
6.C
7.D
8.B
9.D 10.C
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
11. 9 12. 10 13. 2 14. （Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 15. 1006
16. （Ⅰ）22
(1)(2)2x y -+-= ；（Ⅱ）12-- . 17. 222-
三、解答题（本大题共5小题，共65分） 18.（12分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ωϕ===-.数据补全如下表：
x ωϕ+
π2 π
3π2 2π
x
π12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+
5
5-
且函数表达式为π
()5sin(2)6
f x x =-；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ
()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x
=的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +
=，解得ππ212
k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，）
，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π
(,0)12-. 19.（12分）
（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即11
2920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，
解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩ 故1
21,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n
a n
b -⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩
. （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1
21
2n n n c --=
，于是 2341357921
122222
n n n T L --=+
+++++， ① 234511357921
2222222
n n n T L -=++++++. ② ① -②可得
221111212323222222n n n n
n n T L --+=++++-=-，
故n T 1
23
62n n -+=-
.
20.（13分）
（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.
由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD
CD D =，
所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC
BC C =，所以DE ⊥平面PBC .
由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠
∠ （Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以111
33
ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；
由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，
所以211
36
BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.
在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2
2
DE CE CD ==
， 于是 121
23 4.
16BC CD PD V CD PD V CE DE
BC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅
21.（14分）
（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及
()()e x f x g x +=,①
得： ()()e .x f x g x --+= ②
联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1
()(e e )2
x x g x -=+.
当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③
又由基本不等式，有1
()(e e )e e 12
x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1
()(e )(e )(e e )()2e 2e 2
x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤
2111e 1
()(e )(e )(e e )()2e 2e 2
x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥
当0x >时，()
()(1)f x ag x a x
>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦
()
()(1)f x bg x b x
<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，
由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，
（1） 若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而
（2） ()(0)0h x h >=，
3） 即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.
（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而
()(0)0h x h <=，
即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()
()(1)()(1)f x ag x a bg x b x
+-<
<+-.
22.（16分）
（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；
同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.
所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为22
1.164
x y +=
（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1
4482
OPQ S ∆=⨯⨯=.
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1
:()2
l y kx m k =+≠±，
由22
,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩
消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,
y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.
由原点O 到直线PQ 的距离为2
||1m d k =
+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得
2
2
111222||||||||222121214OPQ
P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=
-+-. ② 将①代入②得，22
2241281441
OPQ
k m S k k ∆+==--. 当2
1
4k >时，2224128()8(1)84141
OPQ k S k k ∆+==+>--；
当2
1
04k ≤<时，222
4128()8(1)1414OPQ k S k k
∆+==-+--. 因2104k ≤<
，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k
∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.
所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.。