高中数学北师大必修三 几何概型复习
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5 11
3.3.1 几何概型
问题1（转盘游戏）
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两 种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
分析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
P 1. 3
2.在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点 Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率 是__________. 3
2
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家 去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲 在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多 少?
求AM小于AC的概率.
2
2
变式1:在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射
线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率. 1 6
变式2: 在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一
点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2
能力提升
1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰到的 概率。
面积为 ( ) B
3
A. 4 3
B. 8 3
C. 2 3
D.无法计算
3.体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从 这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概 率.
解：由题意可得
设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。
则：基本事件的全体 对应的几何区域为体积为1升
的水
事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水
结论：若A是不可能事件，则P(A)=0； 反之不成立 即：概率为0的事件不一定是不可能事件。 若A是必然事件，则P(A)=1； 反之不成立 即：概率为1的事件不一定是必然事件。
提升训练
如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线
围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,
它落在阴影区域内的概率为 则2阴, 影区域的
单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面
积１／２ 事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面
积３／８
故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：
p(
A)
m A m
1 2
p(B)
mB m
3 8
思考: 在单位圆内有一点A，现在随 机向圆内扔一颗小豆子。
A
（1）求小豆子落点正好为点A的概率。 （2）求小豆子落点不为点A的概率。
特征：
（1）无限性：基本事件的个数无限
（2）等可能性：基本事件出现的可能性相同
问题1（转盘游戏）
几何概型的概率公式：
构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积)
P(A)=
试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
记为：
P A
m A m
复习题：在0至10中，任意取出一数， 则该数小于5的概率.
任取一点P，则 PM 10的概率为 1/6
几何概型问题
1.长度问题 2.面积问题 3.体积问题 4.角度问题
1.长度问题
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多 大？
解：由题意可得
1m
1m
3m
设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。
则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生
2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目
P
A
m A m
3.注意理解几何概型与古典概型的区别。
4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几 何概型公式求解。
THANKS
解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y
试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD
AD
SABCD 11 1
事件A包含的区域为阴影部分
B
C
S阴影部分=
1-
1 2
1 2
1 2
=
7 8
这是一个几何概型
则，P(A)= S阴影部分 = 7 SABCD 8
课堂小结
1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化
故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
p( A)
m A m
1 3
提升训练
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听 电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。 (电台整点报时)
解：设A={等待的时间不多于10分钟}， 事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60] 内
因此由几何概型的求概率公式得： P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
2.面积问题
如右下图所示的单位圆,假设你在每个图形上随 机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
解：由题意可得
设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A， “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。
从而：基本事件的全体 对应的几何区域为面积为１的
1 2
古典概型
同
等可能性
有限性
几何概型
等可能性
异
无限性
p
A
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
p
A
m A m
判断
判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率.
（1）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中任一个
元素,则 a 的3 概率为 7/10
（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上
复习
1.古典概型
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
复习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.
故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
p( A)
m A m
1 10
提升训练
已知棱长为2的正方体，内切球O，若在正 方体内任取一点，则这一点不在球内的概率
为_______.
16
4.角度问题
1.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射
线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率. 3
4
2.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,
3.3.1 几何概型
问题1（转盘游戏）
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两 种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
分析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
P 1. 3
2.在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点 Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率 是__________. 3
2
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家 去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲 在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多 少?
求AM小于AC的概率.
2
2
变式1:在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射
线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率. 1 6
变式2: 在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一
点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2
能力提升
1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰到的 概率。
面积为 ( ) B
3
A. 4 3
B. 8 3
C. 2 3
D.无法计算
3.体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从 这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概 率.
解：由题意可得
设 “取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。
则：基本事件的全体 对应的几何区域为体积为1升
的水
事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水
结论：若A是不可能事件，则P(A)=0； 反之不成立 即：概率为0的事件不一定是不可能事件。 若A是必然事件，则P(A)=1； 反之不成立 即：概率为1的事件不一定是必然事件。
提升训练
如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线
围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,
它落在阴影区域内的概率为 则2阴, 影区域的
单位圆 事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面
积１／２ 事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面
积３／８
故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：
p(
A)
m A m
1 2
p(B)
mB m
3 8
思考: 在单位圆内有一点A，现在随 机向圆内扔一颗小豆子。
A
（1）求小豆子落点正好为点A的概率。 （2）求小豆子落点不为点A的概率。
特征：
（1）无限性：基本事件的个数无限
（2）等可能性：基本事件出现的可能性相同
问题1（转盘游戏）
几何概型的概率公式：
构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积)
P(A)=
试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
记为：
P A
m A m
复习题：在0至10中，任意取出一数， 则该数小于5的概率.
任取一点P，则 PM 10的概率为 1/6
几何概型问题
1.长度问题 2.面积问题 3.体积问题 4.角度问题
1.长度问题
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多 大？
解：由题意可得
1m
1m
3m
设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。
则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生
2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目
P
A
m A m
3.注意理解几何概型与古典概型的区别。
4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几 何概型公式求解。
THANKS
解：设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y
试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD
AD
SABCD 11 1
事件A包含的区域为阴影部分
B
C
S阴影部分=
1-
1 2
1 2
1 2
=
7 8
这是一个几何概型
则，P(A)= S阴影部分 = 7 SABCD 8
课堂小结
1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化
故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
p( A)
m A m
1 3
提升训练
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听 电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。 (电台整点报时)
解：设A={等待的时间不多于10分钟}， 事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60] 内
因此由几何概型的求概率公式得： P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
2.面积问题
如右下图所示的单位圆,假设你在每个图形上随 机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
解：由题意可得
设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A， “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。
从而：基本事件的全体 对应的几何区域为面积为１的
1 2
古典概型
同
等可能性
有限性
几何概型
等可能性
异
无限性
p
A
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
p
A
m A m
判断
判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率.
（1）在集合 A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中任一个
元素,则 a 的3 概率为 7/10
（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上
复习
1.古典概型
（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)
（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型， 简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
复习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.
故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：
p( A)
m A m
1 10
提升训练
已知棱长为2的正方体，内切球O，若在正 方体内任取一点，则这一点不在球内的概率
为_______.
16
4.角度问题
1.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射
线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率. 3
4
2.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,