概率论与数理统计(经管类第三版)第3章多维随机变量及其分布

概率论与数理统计(经管类第三版)第3章多维随机
变量及其分布
多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布随机变量的独立性
概率论与数理统计
3.1 二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布函数二维随机变量(p53) 1、二维随机变量(p53) 是随机试验E的样本空间设S是随机试验的样本空间，X=X(e),Y=Y(e)是是随机试验的样本空间，, 是
定义在S上的随机变量上的随机变量，定义在上的随机变量，则由它们构成的一个二维向称为二维随机变量量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。

称为二维随机变量或二维随机向量。

二维随机变量(X,Y)的性质不仅与及Y有关，而的性质不仅与X及有关有关，二维随机变量的性质不仅与且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

因此，且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

因此，单独讨论X和的性质是不够的需要把(X,Y)作为一个整的性质是不够的，讨论和Y的性质是不够的，需要把作为一个整体来讨论。

随机变量X常称为一维随机变量常称为一维随机变量。

体来讨论。

随机变量常称为一维随机变量。

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一维随机变量X――R1上的随机点坐标；上的随机点坐标；一维随机变量二维随机变量(X,Y)――R2上的随机点坐标；上的随机点坐
标；二维随机变量。

n维随机变量1,X2,。

,Xn)―――Rn上的随维随机变量(X 维随机变量机点坐标。

机点坐标。

多维随机变量的研究方法也与一维类似，多维随机变量的研究方法也与一维类似，分布函数、概率密度函数或分布律来描述其用分布函数、概率密度函数或分布律来描述其统计规律。

统计规律。

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二维随机变量的(联合) 2、二维随机变量的(联合)分布函数定义3.1 是二维随机变量，定义3.1 设(X,Y)是二维随机变量，二元是二维随机变量实值函数F(x,y)=P({X≤x}∩{Y≤y})=P(X≤x,Y≤y) ≤ ≤ ≤ ≤ x∈(-
∞,+∞), y∈(-∞,+∞) ∈∈称为二维随机变量的分布函数，称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称与Y 二维随机变量的分布函数或称X与的联合分布函数。

的联合分布函数。

为事件{X≤ 与≤ 同时发生的概率同时发生的概率。

即F(x,y)为事件≤x}与{Y≤y}同时发生的概率。

为事件
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几何意义：几何意义：若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，看成平面上随机点的坐标，若把二维随机变量看成平面上随机点的坐标则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值在处的函数值F(x,y)就表示随则分布函数处的函数值就表示随机点(X,Y)落在区域落在区域机点-∞X≤ x, -∞Y≤ y , 中的概率。

如图阴影部分：中的概率。

如图阴影部分：y (x,y) x
O
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对于(x 对于1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1 x2, y1y2 ),则随机点∈
, , (X,Y)落在矩形区域1X≤ x2,y1Y≤y2]内的概率可用分落在矩形区域[x ≤ ≤ 内的概率可用分落在矩形区域布函数表示为P(x1X≤
x2,y1Y≤y2) ≤ ≤ =F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1) - - +y y2 (x2, y2)
y1 O x1
(x1, y1)
x2
x
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分布函数F(x, y)具有如下性质：(p54) 具有如下性质：分布函数具有如下性质(1)对任意y) ∈R2 , 对任意(x, 对任意0≤ F(x, y) ≤ 1。

≤ 。

(2)F(x, y)是变量或y的非降函数，即是变量x或的非降函数，是变量的非降函数对任意y∈ 对任意∈R, 当x1x2时，F(x1,y)≤F(x2,y); ≤ ; 对任意x∈R, 当y1y2时，F(x,y1)≤F(x,y2)。

对任意∈ ≤ 。

(3) F ( +∞ , +∞ ) = lim F ( x , y ) = 1 x → +∞ y → +∞
F ( ∞ , ∞ ) = lim F ( x , y ) = 0x → ∞ y → ∞
F ( x , ∞ ) = lim F ( x , y ) = 0 F ( ∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0y → ∞x → ∞
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(4)函数函数F(x,y)关于是右连续的，关于也是右连续的，关于x
是右连续的也是右连续的，函数关于是右连续的，关于y也是右连续的对任意x∈ , ∈ , 即对任意∈R,y∈R,有
F ( x0 + 0, y ) = lim+ F ( x, y ) = F ( x0 , y )x → x0
F ( x, y0 + 0) = lim+ F ( x, y ) = F ( x, y0 )y → y0
(5)对于任意1, y1),(x2, y2)∈R2,(x1x2,y1y2), 对于任意(x 对于任意，∈ , F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0。

- - + ≥ 。

反之，任一满足上述五个性质的二元函数F(x,y)都反之，任一满足上述五个性质的二元函数都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。

的分布函数。

可以作为某个二维随机变量的分布函数
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二、二维离散型随机变量及其分布1、二维离散型随机变量(定义
3.2)(p54) 、二维离散型随机变量(定义3.2 3.2) 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多若二维随机变量的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变对或可列无限多对，则称是量。

2、联合分布律、联合分布律(p55) 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取是二维离散型随机变量，是二维离散型随机变量值为(x , 取数对(x 值为i,yj),i=1,2,。

,j=1,2,。

若(X,Y)取数对i,yj) , 。

取数对的概率P(X=xi, Y=yj)=pij,满足的概率(1)pij≥0 ;(2)
∑∑ pi =1 j =1
+∞ +∞
ij
=1
则称P(X=xi, Y=yj)=pij ,i=1,2,。

,j=1,2,。

为二维离散则称，为型随机变量(X,Y)的联合分布律或分布律。

的联合分布律或型随机变量的联合分布律分布律。

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二维离散型随机变量的分布律也可用表格二维离散型随机变量的分布律也可用表格形式表示为：形式表示为：Y X
y1 p11 p21...
y2 p12 p22...
... ... ... ... ... ...
yj p1j p2j...
... ... ... ... ... ...
x1 x2...
xi...
pi1...
pi2...
pij...
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袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1 例3.2 袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1,有2个球编号均为2 个球编号均为3 每次从中任取两个球，均为2,有2个球编号均为3。

每次从中任取两个球，以X 和Y分别和分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。

表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。

求X和Y的联合和的联合
分布律。

分布律。

的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),5个球从解(X,Y)的全部可能取值为的全部可能取值为，个球从中任取2个共有C 种取法。

中任取个，共有52=10种取法。

试验样本点总数为，种取法试验样本点总数为10,1 1 C1 C 2 2 P( X = 1, Y = 2) = = = 0.2 2 10 C52 C2 1 P( X = 2, Y = 2) = 2 = = 0 .1 C 5 10
1 1 C1 C
2 2 P( X = 1, Y = 3) = = = 0.2 2 10 C51 1 C2C2 4 P ( X = 2, Y = 3) = = = 0.4 2 10 C5
2 C2 1 P( X = 3, Y = 3) = 2 = = 0.1 C 5 10
Y X 1 2 3
2 0.2 0.1 0
3 0.2 0.
4 0.1
用表格表示为
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三、二维连续型随机变量及其密度函数1、定义、定义(p50) 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y), 设二维随机变量的分布函数为，若存在非负可积函数f(x,y),使对任意实数，y 任意实数x, 若存在非负可积函数，使对任意实数x y ,有 F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u ,
v)dudv ∞ ∞
则称(X,Y)为二维连续型随机变量，且称函数为二维连续型随机变量，f(x,y)为二维随机变量的密度函数(概率密为二维随机变量(X,Y)的密度函数概率密的密度函数度),或X与Y的联合密度函数，可记为，
与的联合密度函数，(X,Y) ~ f (x,y),(x,y)∈R , ∈2
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2、联合密度、联合密度f(x, y)的性质的性质(p56) 的性质(1)非负性：f(x,y)≥0,(x,y)∈R2; 非负性：非负性≥ , ∈ (2)归一性：F (+∞,+∞) = 归一性：归一性+∞ +∞ ∞ ∞
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = 1
(3)若f (x, y)在(x,y) 处连续，则有若处连续，在
2 F ( x, y ) = f ( x, y ) x y x y y 事实上F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u, v)dv du = ∫ f ( x, v)dv x x ∞ ∞ ∞ y 2 F ( x, y ) = ∫ f ( x, v)dv = f ( x, y ) x y y ∞概率论与数理统计
(4)设D是平面上一个区域，则二维连续型随机变设是平面上一个区域是平面上一个区域，落在D内的概率是概率密度函数量(X,Y)落在内的概率是概率密度函数落在内的概率是概率密度函数f(x, y)在在D 上的积分，即上的积分，上的积分
P (( X , Y ) ∈ D ) =
∫∫D
f ( x , y ) dxdy
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设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为例3.3 设二维随机变量的联合概率密度函数为kx 2 y 0 x y 1 f ( x, y ) = 其它0y y=x 1
(1)求常数；(2)求
概率求常数k; 求概率求概率P(X+Y≤1)。

求常数。

解(1)1+∞ +∞ ∞ ∞
∫∫
f ( x, y )dxdy = 1
( ∫ kx 2 ydy)dx = 1 ∫0 x
1
1
x+y=1 O 1 x
1 1 ( kx
2 kx 4 )dx = 1 ∫2 2 0
1 3 1 5 1 ( kx kx ) 0 = 1 6 101
2 1 x
x ≤ y ≤ 1 D: 0 ≤ x ≤ 1
解得k=15 解得(2)
2 P( X + Y ≤ 1) = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ 15 x ydy dx x + y ≤1 0 x 15 5 = = 192 64
x ≤ y ≤ 1 x D: 1 0≤ x≤ 2
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Ke 2 x 3 y 例3.5 已知( X , Y ) ~ f ( x, y ) = 0+∞+∞+∞ +∞
x 0, y 0 其它
(1)求常数；(2)求联合分布函数求常数K; 求联合分布函数求联合
分布函数F(x,y);(3) 求概率求常数；求概率P(X+2Y≤1)。

≤ 。

解(1) ∞ ∞
∫∫+∞ 0
f ( x, y ) dxdy = 1 2 x
dx ∫ Ke 2 x 3 y dy = 1 ∫0 0
y
K∫e
dx ∫ e0
+∞
3 y
K dy = = 1 6
K=6x+2y=1
(2) F ( x, y ) =x y
∫ ∫ 6e 2u 3v dudv = 0 0 0
∞ ∞
∫ ∫ f (u, v)dudv(3)x 0, y 0 其它O1 1 x 2
x y
x
P ( X + 2Y ≤ 1) = ∫ dx ∫ 6e 2 x e 3 y dy0 0
(1 e 2 x )(1 e 3 y ) x 0, y 0 = 0 其它
= 2 ∫ e0
1
1 (1 x )
2 x
3 y 2 0
e
dx ≈ 0.5135
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四边缘分布1、二维随机变量的边缘分布函数、二维随机变量
(X,Y)作为一个整体，具有作为一个整体，二维随机变量作为一个整体联合分布函数F(x,y),而X和Y都是随机变量，都是随机变量，联合分布函数，和都是随机变量各自也有它们的分布函数，各自也有它们的分布函数，记X的分布函数的分布函数随机变量(X,Y)关于的边缘分关于X的边缘分为FX(x),称为随机变量，称为随机变量关于布函数；的分布函数为的分布函数为F 布函数；Y的分布函数为Y(y),称为随机
变，称为随机变关于Y的边缘分布函数量(X,Y)关于的边缘分布函数。

关于的边缘分布函数。

由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系(P54)FX ( x) = P( X ≤ x) = P( X ≤ x, Y ≤ +∞) = F ( x,
+∞)FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P( X ≤ +∞, Y ≤ y ) = F (+∞, y )
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边缘分布的几何意义FX(x)的函数值表示随机点的函数值表示随机点的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区落入如下左图所示区域内的概率；域内的概率；FY(y)的函数值表示随机点的函数值表示随机点的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区落入如下右图所示区域内的概率。

域内的概率。

y y y
O
x
x
O
x
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设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为例3.6 设二维随机变量的联合分布函数为x y F ( x, y ) = A B + arctan C + arctan 2 2 其中A, , 为常数为常数，∈ 其中，B,C为常数，x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞) , ∈(1)试确定，B,C;(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X2) 试确定A, , ; 求和的边缘分布函数的边缘分布函数；求试确定解(1)由联合分布函数性质可知由联合分布函数性质2可知由联合分布函数性质
F ( +∞, ∞ ) = A B + C = 0 F ( ∞,+∞ ) = A B C + = 0 2 2 2 2 1 π π x π y π 1 F ( x, y ) = 2 + arctan + arctan C= 解得A = 2 B = 故π 2 2 2 2 2 2 π 1 π x 1 1 x (2) FX ( x) = F ( x,+∞) = 2 + arctan π = + arctan x ∈
( ∞,+∞ ) π 2 2 2 π 2 1 π π π y 1 1 y y ∈ ( ∞,+∞ ) FY ( y ) = F ( +∞, y ) = 2 + + arctan = + arctan π 2 2 2 2 2 π 2
π π F (+∞,+∞) = lim F ( x, y ) = A B + C + = 1 x → +∞ 2 2 y → +∞ π π π π
(3)由的分布函数可得(3)由X的分布函数可得
1 1 π 1 P ( X 2) = 1 P ( X ≤ 2) = 1 FX ( 2) = 1 + =
2 π 4 4。