2-2 连续时间信号的取样及取样定理

0 m

0

sam 2m
m T m
1 T
2π 2 m
π
X ( e j )



0


sam 1.6 m
m T m
1 T
2π 1.6 m
1.25 π


0



1 T
X ( e j )
因此，滤波器输出端恢 复的信号为y(t)=xa(t)， 等于原始信号。
H ( j ) T， 0, s s 2 2
图2-8 取样信号的恢复与理想低通滤波器的传输函数
抗混叠滤波 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t )
x (t )
抗混叠
x1 ( t )
低通滤波器
X ( j )
s 2 h
否则称：混叠现象。 上式即为香浓取样定理。其中，Ω h为原始信号 的截止频率，又称奈奎斯特频率。 它指出：取样频率必须大于原模拟信号频谱中 最高频率的两倍，则原始信号xa（t）可以由其取样 信号x（nT）来唯一表示。
所以，能够恢复原始信号的最小取样率为
Ω s = 2Ω h ，称奈奎斯特取样率。
n
a
(nT )ha t nT
sin t T h a (t ) t T

h a (t nT )
sin

T
(t nT )

T
(t nT )
称：内插函数
频域上：通过L.P.F，频谱不交叠就可恢复 时域上： sin (t nT ) T y (t ) xa (nT ) xa (t ) n (t nT ) T 此公式以Sa(Wht)为核函数，称为取样内 插公式
X a ( j) F[ xa (t )] xa (t )e


jt
dt
对比两式，发现频域的频谱变化规律如图： （23页）
图 取 样 过 程 的 时 域 与 频 域 关 系
如果，抽样后的频谱 没有交叠，则可以用 L.P.F无失真的恢复 原始信号。
2 1 间隔： 2 H , T T 2 fH
四、信号的恢复
1 X ' ( j) X a ( j jm s ) T m
设信号的最高频率不超过折叠频率，则 1 s X ' ( j) Xa j） （ 2 T
让取样信号x’（t） 通过一个带宽等于折 叠频率的L.P.F。由
于滤波器只允许通过基 带频谱，所以：
1 Cm T

T /2
T / 2
n
(t nT )e
jm 2 t T

2 jm t T
dt
一个积分周期内，只有一个冲激脉冲（n=0时）：
1 Cm t e T T / 2
T /2
1 dt T
所以，冲激函数序列pδ(t)的时域表达式可写为：
1 p (t ) (t nT ) e T m n
fH
x‘(t)
公式推导：
抽样的原理图：
m(t)
×
ms(t)
δ T(t)
时域上： 波形和冲激序列相乘，得到一系列时间上离散的抽样点。
x' (t ) xa (t ) p(t )
因为 p (t )
n

(t nT )

所以
x' (t ) xa (t ) p (t ) xa (t ) (t nT )
图 2 9 连 续 信 号 的 内 插 表 示
-
Matlab实现
(1) 零阶和一阶保持内插 (2) 三次样条内插
信号的重建
x[k]
D/A
x s (t )
k


x[ k ] (t kT )
T
理想D/A模型框图
x[k] xs(t)
k 0 1 2 3 4 0 T 2T 3T 4T
是单位冲击函数序列，而是窄脉冲
函数序列，则如图2-6所示。
图 2 6 理 想 取 样 和 非 理 想 取 样 的 比 较
-
三、折叠频率
Ω0= Ωs / 2 ，系统所能通过的信号频谱分量中 的最高频率。 s X a ( j)， 所以，有： 2 X a ( j ) s 0, 2
n

n
x (nt) (t nT )
a

频域上：先看冲激函数序列pδ (t)的时域表达式
pδ(t)的傅氏级数展开：
p (t )
n
(t nT ) C
m


m
e
jm
2 .t T
其中fs=1/T为取样频率；Ω s=2π /T为取样角频率 由傅氏级数定义得：
设有一限带信号xa(t)。当|Ω|≤Ω max，它 的付氏变换为Xa(Ω)。 将xa(t)乘一取样函数p(t) 就得到x^(t)，如 图2.5所示。
设有一限带信号xa(t)。当|Ω|≤Ω max，它的 付氏变换为Xa(Ω)。 将xa(t)乘一取样函数 p(t) 就得到x^a (t)，如图2.5所示。
jt
dt xa (t ) p (t )e jt dt


1 1 jmst jt xa (t ) e e dt T T m m


xa (t )e j ( ms )t dt
设原信号xa(t)的频谱为Xa（jΩ ），即：
图2-5 连续信号取样的数学模型
若xa(t)的频谱在某一角频率ωH以上 为零，则xa(t)中的全部信息完全包含在 其间隔不大于1/2fH秒的均匀抽样序列里。 在信号最高频率分量的每一个周期内至 少应抽样两次。即抽样速率fS （每秒内 的抽样点数）应不小于2fH ，称奈奎斯特 速率。若抽样速率小于2fH ，则会产生失 真，这种失真叫混叠失真。
图2-4 1/3周期点采样结果
上面的简单过程说明，对模拟信号 的采样恢复精确程度和抽样点距，即抽 样频率的设置有着非常重要的关系。 要重建原信号，抽样速率必须要达 到一定的数值。按理论来看，抽样点距 取值越小，信号的重建度就越高。但是 抽样过程中不可能无限制的去减少抽样 点距，一方面硬件设备不支持无限制的 减少抽样点距，另一方面抽样点过多， 将导致采样信号的数字化值过大。



0


sam 2.5 m
1 T
X ( e j )
0
1 T


sam 2m

X ( e j )

0


sam 1.6 m
1 T
X ( e j )



0


最后需要说明一点：上述取样 定理是理想取样，如果取样函数不
IIR FIR
0
Gain, dB
-1 -2 -3 -4 0 sam sam sam 20log10(|Hz(j)|)

sam
sam
根据卷积公式有：y(t)=x’(t)* ha(t)
即LPF恢复的输出信号的时域表达式为：
y (t ) x' ( )ha t d
n
x

a
( ) nT ha t d

n
x



x a ( )ha t nT d
3、抽样定理Βιβλιοθήκη 证明X’（t） …… X’（t） LPF h（t） H(ω)
Xa(t)
×
Xa(t)
pδ(t)
发 端
收 端？
入端抽样的时、频域图形
X(f)
xa(t)
-fH δT(t) t 0 Ts 2Ts 3Ts －fS X’(f) t 0 Ts 2Ts 3Ts -fH fH 0 fS δT(f)
0
例: 已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图 所示， 试分别抽样角频率sam=2.5m, 2m , 1.6m抽样时，抽样后离散序列x[k]的频谱。
解：
sam 2.5 m
m T m
2π 2.5 m 0.8 π
X ( e j )
1 T
X ( j )
1
m
它的频域表达式为：


jm
2 .t T
1 P ( j) F[ p (t )] p (t )e jt dt m s T m

频谱图：
接下来分析理想取样信号x‘（t）的频谱： 即x‘（t）的傅里叶变换：
X ' ( j) F[ x' (t )] x' (t )e
H ( j )
1
X 1 ( j )
1 0

m
1
0 m

m
0
m

五、内插公式
——信号的重建
我们知道:
-1
h(t)
H(jΩ )
1 h a (t ) F [ H ( j)] H ( j)e jt d 2 s s sin t sin t T 2 jt 2 T e d 2s s 2 t t 2 T
2、抽样定理的含义
低通型模拟 信号xa（t）
已抽样信 号x’（t） Ts
当fs（=1/Ts）满足抽样定理（即：fs≥2fH）时：
收端重建的模 拟信号x’（t）
回顾：取样定理——Shannon定理
任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高频 率分量为fh，则当对它进行取样时，只要选择 取样率等于或大于2fh ，就可以由这个取样序 列xa (nT)来唯一准确地恢复xa (t)。
t
理想D/A输入和输出
X s ( j ) X ( e jT )
X (e ) X s ( j ) X (e
j
jT
)
A/T 2
T m

Xs ( j ) A/T
T m
2

sam sam 2 m
m 2
sam sam

X s ( j )
第02章 连续时间信号的取样及 取样定理
张荣芬 zrfen77@
2.2 连续时间信号的取样及取样定理
一、信号的取样 抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列 时间上离散的抽样值的过程。下面用一个简单的 模拟正弦波来分析抽样过程。 (1)假设在该正弦波上取足够小的抽样间隔，直 接连接用黑点表示的采样点就可充分表现正弦波 形，如图所表示。
k
x[k ]Sa ( (t kT) / T )
k
x[k]
k 0
零阶保持D/A
1 xz(t)
2
t 0 T 2T
x[k]
理想D/A
xs(t)
hz(t)
xz(t) 1
hz(t)
T
0
T
t
零阶保持D/A模型框图
零阶保持D/A输出信号的频谱为 Xz(j)= Hz(j) Xs(j) H z ( j ) TSa (T / 2)e jT / 2
|Hz(j)|
0 |Xs(j)|
sam
(a)
sam

0 |Xz(j)|
m
samm sam
(b)
sam

0
m
samm sam
(c)
sam

离散域进行补偿的FIR和IIR滤波器
1 9 1 1 2 H1 ( z ) z z 16 8 16
9 H 2 ( z) 8 1 1 1 z 8
抽样定理不仅为模拟信号的数字 化奠定了理论基础，它还是时分多路 复用及信号分析、处理的理论依据。
二、抽样定理 1、内容：一个频带限制在（0，fH） 赫内的时间连续信号xa（t） ，如果以 每秒不小于2fH的速率（或1/2fH秒的间 隔）对它进行等间隔（均匀）抽样， 则 xa(t)将被所得到的抽样值xa (nT)完 全确定。
A/T
sam

sam
2 m
m 2
sam
sam

T sam / 2 H r ( j ) 0 其它
hr ( t ) Sa(t / T )
xr (t ) x(t ) xs (t ) hr (t )
{ x[k ] (t kT)} Sa (t / T )
图2-1 足够小采样结果
(2)若抽样间隔为正弦波信号周期T，导 致采样后的信号成为直流信号，显然抽 样间隔太宽将导致信号得不到恢复。
图2-2 周期点采样结果
(3)若取抽样间隔为正弦波信号周 期的一半，将得出全为0的数据，信 号仍然得不到恢复。
图2-3 半周期点采样结果
(4)若在正弦波信号一个周期T内 抽样三次,即抽样间隔T/3，则可以 近似地恢复原正弦波信号。