用向量解决立体几何的垂直问题

z
C1
A1
M
B1
C
N
A
x
B
y
练习4
如图所示，已知PA 正方形ABCD所在平面，点M 、N 分别
2 在AB、PC上，AM AB，PC 3NC 3 （）求证：面 1 PAD 面PCD；
（2）若PA AB，求二面角N DM C的大小。
z P
N
D A
O
C
M B y
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是 近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明” 转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几 何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们 以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)， 大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。
P
D N
C
A
M
B
. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA AD ,求证: MN 平面 PDC
可设 DA i , AB j , AP k , PA 1 P N 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系A xyz D
A ' F (1,1, 2), DB (2, 2,0), DE (0, 2,1) A ' F DB (1,1, 2) (2, 2,0) 0
X A ' F DB, A ' F DE, 又DB DE D. A ' F 平面BDE Y Z
E
F
A ' F DE (1,1, 2) (0, 2,1) 0
证明:
PA AD AB, 且PA 平面AC , AD AB
z
C
y
MN (
A(0,0,0), B(0,1,0), C ( 1,1,0), D( 1,0,0), P (0, 0,1) M (0, 1 , 0), N ( 1 , 1 , 1 ) A 2 2 2 2 x 1 1
又 PD DC D MN 平面PDC
题型三：面面垂直
例3、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点， 求证：面AED⊥面A1FD1
证明 : 如图直角坐标系. 设正方体的棱长为2,则 D (0, 0, 0) , A(2, 0, 0), E (2, 2,1), A1 D1 (0, 0, 2), F (0,1, 0) 则AE (0, 2,1), DA (2, 0, 0) D1F (0,1, 2) AE D1F 0, DA D1F 0 AE D1F, DA D1F D1F 平面AED 平面A1 FD 平面AED
DC (0,1,0)
, 0, ) PD (1,0, 1) 2 2
M
B
1 1 MN PD ( , 0, ) ( 1, 0, 1) 0 MN PD 2 2 1 1 MN DC ( , 0, ) (0,1, 0) 0 MN DC 2 2
例 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
证明:如图取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2. A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2) E(0,2,1),F(1,1,0)
A X B D F Z D1 B1 E C Y C1
或证明两平面的法向量垂直
练习2
已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD， PD＝DC＝a，AD＝ 2a ，M、N分别是 AD、PB的中点。 P
⑴求证：平面MNC⊥平面PBC； ⑵求点A到平面MNC的距离。
D M A B N C

练习3
如图，直三棱柱ABC A1 B1C1中，CA CB 1 ， BCA 90O ，棱AA1 2，M 、N 分别是A1B1、AA1的 中点，求： (1) BN的长； (2) cos BA1 , CB1 的值； (3)证明：A1 B C1M。
C' A' B'
AB' ( 3,1, h), A' C ( 3,1,h), BC' (0,2, h)
C
B A
0 AB ' A ' C 3 1 h2 , h2 2. AB ' BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
题型二：线面垂直
空间向量证明 立体几何垂直 问题
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
用空间向量处理“垂直”问题
线线垂直
线面垂直
面面垂直
l ⊥m a ⊥b ab 0； l ⊥ a ∥ u a ku ；
⊥ u ⊥ v u v 0.
或先求平面BDE的法向量 n 再证明 A ' F n
练:ห้องสมุดไป่ตู้：
已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA AD ,求证: MN 平面 PDC
分析:坐标系容易建立, 应考虑用坐标法,解题思路 水到渠成.
画出图形意会
用空间向量处理“垂直”问题
m
↑
n m
n
m
n
nm 0
题型一：线线垂直
例.在三棱柱ABC A ' B ' C '中，底面是正三角形， AA ' 底面ABC，A ' C AB ', 求证：BC ' AB '
解.建立如图空间坐标系不妨设底面边长为 . 2, 高为h, A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), C (0, 1, 0). A '( 3, 0, h), B '(0,1, h), C '(0, 1, h).